Trọn bộ chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán trọng tâm

Kỳ thi vào 10 đòi hỏi sự chuẩn bị kỹ lưỡng và định hướng ôn tập rõ ràng. Dưới đây, Gia sư Học là Giỏi đã tổng hợp các chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán với nội dung trọng tâm, được lấy từ sách Kết nối tri thức và cuộc sống, giúp bạn học nhanh - ôn đúng - đạt điểm cao.

Căn thức đại số

Điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa $\leftrightarrow \mathrm{A} \geq 0$

Các công thức biến đổi công thức:

a) $\sqrt{A^2}=|\mathrm{A}|$

b) $\sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B}(\mathrm{~A} \geq 0 ; \mathrm{B} \geq 0)$

c) $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}(\mathrm{~A} \geq 0 ; \mathrm{B} \geq 0)$

d) $\sqrt{A^2 B}=|\mathrm{A}| \cdot \sqrt{B}(\mathrm{~B} \geq 0)$

e) $\mathrm{A} \sqrt{B}=\sqrt{A^2 B}(\mathrm{~A} \geq 0 ; \mathrm{B} \geq 0)$ hay$\mathrm{A} \sqrt{B}=-\sqrt{A^2 B}(\mathrm{~A}<0 ; \mathrm{B} \geq 0)$

f) $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B}(\mathrm{AB} \geq 0 ; \mathrm{B} \neq 0)$

g) $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A \sqrt{B}}{B}(\mathrm{~B}>0)$

h) $\frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A-B^2}\left(\mathrm{~A} \geq 0 ; \mathrm{A} \neq B^2\right)$

i) $\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B^2}(\mathrm{~A} \geq 0 ; \mathrm{B} \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B})$

Bài tập ví dụ: Tìm các số thực x sao cho $x^2=49$

Lời giải

Ta có: $x^2=49$

$$
\begin{aligned}
& x^2=7^2=(-7)^2 \\
& \rightarrow \mathrm{x}=7 \text { hoặc } \mathrm{x}=-7
\end{aligned}
$$

Vậy $\mathrm{x} \in\{-7 ; 7\}$

Hàm số bậc nhất

$y=a x+b(a \neq 0)$

Trong đó:
- a: hệ số góc, quyết định độ nghiêng của đường thẳng.
- b: tung độ gốc, là điểm mà đường thẳng cắt trục tung.

Tính chất:
- Hàm số đồng biến: nếu $\mathrm{a}>0, \mathrm{x}$ tăng thì y tăng.
- Hàm số nghịch biến: nếu $\mathrm{a}<0, \mathrm{x}$ tăng thì y giảm.
- Đồ thị của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ là một đường thẳng.

Xác định điểm trên trục:

Bài tập ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}-1$

Lời giải

Chọn $\mathrm{x}=0 \rightarrow \mathrm{y}=-1 \Rightarrow \mathrm{~A}(0 ;-1)$

Chọn $\mathrm{x}=1 \rightarrow \mathrm{y}=1 \Rightarrow \mathrm{~B}(1 ; 1)$

Nối hai điểm A và B ta được đường thẳng là đồ thị hàm số $y=2 x-1$

Vì $\mathrm{a}=2>0 \rightarrow$ hàm trên đồng biến
$\rightarrow 2$ điểm cắt trục tung tại $(0 ;-1)$ và trục hoành tại $\left(\frac{1}{2} ; 0\right)$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{~d}) \\
& \mathrm{y}=\mathrm{a}^{\prime} \mathrm{x}+\mathrm{b}^{\prime}\left(\mathrm{d}^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

(d) cắt (d') ↔ $\mathrm{a} \neq \mathrm{a}^{\prime}$
(d) $/ /\left(d^{\prime}\right) \leftrightarrow a=a \prime$ và $b \neq b^{\prime}$
(d) $\equiv\left(d^{\prime}\right) \leftrightarrow a=a^{\prime}$ và $b=b^{\prime}$
(d) ⟂ (d') ↔ a. $a^{\prime}=1$

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong:

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{~d}) \\
& \mathrm{y}=\mathrm{a} x^2(\mathrm{P})
\end{aligned}
$$

(d) cắt (P) tại hai điểm
(d) tiếp xúc với $(\mathrm{P})$ tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung

Bài tập ví dụ: Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng a. Tại sao?

Lời giải

a) Vì R = 3 cm < 4 cm nên đường tròn (O; 3 cm) không cắt đường thẳng a.

b) Vì R = 5 cm > 4 cm nên đường tròn (O; 5 cm) cắt đường thẳng a.

c) Vì R = 4 cm nên đường tròn (O; 4 cm) tiếp xúc với đường thẳng a.

Phương trình bậc hai

$$
\begin{aligned}
& a x^2+b y+c=0(a \neq 0) \\
& \Delta=b^2-4 a c
\end{aligned}
$$

$\Delta>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$
$\Delta=0$, phương trình có nghiệm kép: $\mathrm{x}=\frac{-b}{2 a}$
$\Delta<0$, phương trình vô nghiệm

Bài tập ví dụ: Giải phương trình bậc hai: $x^2-5 y+6=0$

Lời giải

Có $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-5, \mathrm{c}=6 \rightarrow \Delta=b^2-4 \mathrm{ac}=1>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{5+1}{2}=3$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{5-1}{2}=2$
Vậy phương trình có 2 nghiệm $x_1=3$ và $x_2=2$

Định lý Vi-et và ứng dụng

a) Hệ thức Vi-et

Cho phương trình bậc hai $\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ với hai nghiệm $x_1, x_2$ thì:

\begin{cases} S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}

b) Ứng dụng

Cho $\mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathrm{S}$ và u. $\mathrm{v}=\mathrm{P}$ ta giải phương trình: $x^2-\mathrm{Sx}+\mathrm{P}=0\left(\right.$ ĐK: $\left.S^2-4 \mathrm{P}>0\right)$

Cho phương trình bậc hai: $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$

- Nếu $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_1=1, x_2=\frac{c}{a}$

- Nếu $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}$

Bài tập ví dụ: Cho phương trình $x^2-6 \mathrm{x}+5=0$. Tìm $x_1$ và $x_2$ ?

Lời giải

Vì $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=1-6+5=0$ nên phương trình có 2 nghiệm $x_1=1, x_2=\frac{c}{a}=5$

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông ABC tại A , đường cao AH hạ từ đỉnh vuông góc với cạnh huyền BC . Ta có các công thức:

$$
\begin{aligned}
& A B^2=\mathrm{BH} \cdot \mathrm{BC} \\
& A C^2=\mathrm{CH} \cdot \mathrm{BC} \\
& A H^2=\mathrm{AH} \cdot \mathrm{CH} \\
& \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AH} \cdot \mathrm{BC}
\end{aligned}
$$

Bài tập ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A , có đường cao AH . Biết độ dài các đoạn $\mathrm{BH}=4 \mathrm{~cm}$ và $\mathrm{CH}=9 \mathrm{~cm}$. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng: $\mathrm{AH}, \mathrm{BC}$ và AB .

Lời giải

Vì H là trung điểm $\mathrm{BC} \rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{BH}+\mathrm{CH}=4+9=13$

Có đường cao $\mathrm{AH} \rightarrow A H^2=\mathrm{BH}$. $\mathrm{CH}=36 \rightarrow \mathrm{AH}=6$

Áp dụng hệ thức lượng ta có: $A B^2=\mathrm{BH} . \mathrm{BC} \rightarrow \mathrm{AB}=2 \sqrt{13}$

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tỉ số lượng giác của một góc nhọn $\alpha$ là các tỉ số được thiết lập giữa các cạnh của một tam giác vuông. Cụ thề:
- Sin $\alpha$ : Là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
- Cos α: Là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
- Tan $\alpha$ : Là tì số giữa cạnh đối và cạnh kề.
- Cot $\alpha$ : Là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Cho tam giác vuông có góc nhọn $\alpha$ :
- $\sin \alpha=\frac{\text { Cạnh đốî }}{\text { Cạnh huyền }}$
- $\cos \alpha=\frac{\text { Cạnh kề }}{\text { Cạnh huyền }}$
- $\tan \alpha=\frac{\text { Cạnh đối }}{\text { Cạnh kề }}$
- $\cot \alpha=\frac{\text { Cạnh kề }}{\text { Cạnh đối }}$

Bài tập ví dụ: Trong tam giác MNP vuông tại $\mathrm{M}, \sin \widehat{M N P}$ bằng?

Lời giải

Vẽ hình ta có: $\sin \widehat{M N P}=\frac{\text { Cạnh đối }}{\text { Cạnh huyền }}==\frac{M P}{P N}$

Hệ thức cạnh, góc trong tam giác vuông

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{b}=\mathrm{a} \sin \mathrm{~B}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C} \\
& \mathrm{c}=\mathrm{a} \sin \mathrm{C}=\mathrm{a} \cos \mathrm{~B} \\
& \mathrm{~b}=\mathrm{ctan} \mathrm{~B}=\mathrm{c} \cot \mathrm{C} \\
& \mathrm{c}=\mathrm{b} \tan \mathrm{C}=\mathrm{b} \cot \mathrm{~B}
\end{aligned}
$$

Bài tập ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh huyền a và các cạnh góc vuông $\mathrm{b}, \mathrm{c}$.

a) Viết các tỉ số lượng giác sin, cos của góc B và góc C theo độ dài các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và các tỉ số lượng giác trên của góc B và góc C.

Lời giải

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, cos và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$$
\begin{aligned}
& \sin \mathrm{B}=\cos \mathrm{C}=\frac{A C}{B C}=\frac{b}{a} \\
& \cos \mathrm{~B}=\sin \mathrm{C}=\frac{A B}{B C}=\frac{c}{a}
\end{aligned}
$$

b) Từ $\sin \mathrm{B}=\cos \mathrm{C}=\frac{b}{a} \rightarrow \mathrm{~b}=\mathrm{a} \sin \mathrm{B}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C}$.

Đường tròn

Đường tròn tâm O, bán kính R (R > 0), ký hiệu là (O; R), là tập hợp tất cả các điểm cách điểm O một khoảng đúng bằng R.

Một đường tròn được xác định duy nhất khi biết tâm và bán kính. Trong trường hợp không cần nhấn mạnh đến bán kính, ta ký hiệu ngắn gọn là (O).

Nếu điểm A thuộc đường tròn (O), ta viết A $\in$ (O). Khi đó, ta nói đường tròn (O) đi qua điểm A.

Cho điểm M và đường tròn (O; R), ta có ba trường hợp dựa trên khoảng cách từ tâm O đến điểm M (OM):
- $\mathrm{OM}=\mathrm{R}: \mathrm{M}$ nằm trên đường tròn
- $\mathrm{OM}<\mathrm{R}$ : M nằm trong đường tròn
- $\mathrm{OM}>\mathrm{R}: \mathrm{M}$ nằm ngoài đường tròn

Tính đối xứng của đường tròn:
- Đối xứng tâm: Đường tròn có duy nhất một tâm đối xứng, chính là tâm O của đường tròn đó.
- Đối xứng trục: Đường tròn có vô số trục đối xứng. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm O đều là một trục đối xứng của nó.

Khoảng cách từ tâm đến dây:
- Hai dây bằng nhau ↔ Chúng cách đều tâm.
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
- Đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại 2 điểm: $\mathrm{d}<\mathrm{R}$
- Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc tại 1 điểm: $\mathrm{d}=\mathrm{R}$
- Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: $\mathrm{d}>\mathrm{R}$

Vị trí tương đối của đường tròn và đường tròn:
- Đường tròn và đường tròn cắt nhau tại 2 điểm: $\mathrm{R}-\mathrm{r}<\mathrm{OO}^{\prime}<\mathrm{R}+\mathrm{r}$
- Đường tròn và đường tròn tiếp xúc tại 1 điểm:
◯ $\mathrm{OO}^{\prime}=\mathrm{R}+\mathrm{r}$ (Tiếp xúc ngoài)
◯ $\mathrm{OO}^{\prime}=\mathrm{R}-\mathrm{r}$ (Tiếp xúc trong)
- 2 đường tròn không giao nhau:
◯ $\mathrm{OO}^{\prime}>\mathrm{R}+\mathrm{r}$ (Khi O và $\mathrm{O}^{\prime}$ ở ngoài nhau)
◯ $\mathrm{OO}^{\prime}<\mathrm{R}-\mathrm{r}$ (Khi O đựng $\mathrm{O}^{\prime}$ )
◯ $\mathrm{OO}^{\prime}=0$ (Khi O và $\mathrm{O}^{\prime}$ đồng tâm)

Độ dài đường tròn: $\mathrm{C}=2 \pi \mathrm{R}=\pi \mathrm{d}$

Độ dài cung tròn: $1=\frac{\pi R n}{180}$

Diện tích hình tròn: $\mathrm{S}=\pi R^2$

Diện tích hình quạt: $\mathrm{S}=\frac{\pi R^2 n}{360}=\frac{l R}{2}$

Bài tập ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn đường kính BC .

Lời giải

Gọi O là trung điểm của BC .

Ta có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$

Suy ra $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ cùng thuộc đường tròn bán kính OA .

Tâm O là trung điểm của BC nên BC là đường kính.

Vậy điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Dấu hiệu nhận biết:

- Đường tròn và đường thẳng chỉ có một điểm chung.

- Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính.

- Đường thẳng đi qua điểm trên đường tròn sẽ vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Hai tiếp tuyến cắt nhau (Gọi $\mathrm{MA}, \mathrm{MB}$ là 2 tiếp tuyến với đường tròn O )
- $\mathrm{MA}=\mathrm{MB}$
- MO là phân giác $\widehat{A M B}$
- OM là phân giác $\widehat{A O B}$

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn

Bài tập ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường tròn $(\mathrm{C} ; \mathrm{CA})$. Chứng minh rằng đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn $(\mathrm{C})$.

Lời giải

Ta có đường thẳng AB đi qua điểm A nằm trên đường tròn $(\mathrm{C} ; \mathrm{CA})$.

Vì $\Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại A nên $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CA}$ tại A .

Theo dấu hiệu nhận biết: "Đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó là tiếp tuyến".

$\rightarrow \mathrm{AB}$ là tiếp tuyến của đường tròn $(\mathrm{C})$.

Góc với đường tròn

Bài tập ví dụ: Cho đường tròn tâm O và hai dây cung $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ cắt nhau tại điểm X nằm trong đường tròn. Chứng minh rằng $\triangle \mathrm{AXC} \sim \triangle \mathrm{DXB}$.

Lời giải

Xét đường tròn tâm O, có $\widehat{A C D}$ và $\widehat{A B D}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AD

$\rightarrow \widehat{A C D}=\widehat{A B D} \text { hay } \widehat{A C X}=\widehat{D B X}$

Xét $\triangle \mathrm{AXC}$ và $\triangle \mathrm{DXB}$ có: $\widehat{A X C}=\widehat{D X B}$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\triangle \mathrm{AXC} \sim \triangle \mathrm{DXB}$

Các loại hình khối

Bài tập ví dụ: Một ống cống bê tông có dạng hình trụ rỗng với các kích thước được cho như sau: bán kính ngoài $\mathrm{R}=60 \mathrm{~cm}$, bán kính trong $\mathrm{r}=50 \mathrm{~cm}$, Chiều dài ống cống: $h=2 m$. Tính thể tích khối bê tông cần thiết để đúc nên ống cống đó.

Lời giải

$\mathrm{h}=2 \mathrm{~m}=200 \mathrm{~cm} .$

Thể tích hình trụ lớn (bao gồm cả phần rỗng): $V_1=\pi R^2 \mathrm{~h}=720.000 \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$
Thể tích phần lõi rỗng bên trong: $V_2=\pi r^2 \mathrm{~h}=500.000 \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

$\rightarrow \mathrm{V}=V_1-V_2=220.000 \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

Hy vọng chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán được tổng hợp ở trên sẽ giúp bạn ôn tập hiệu quả và tự tin bước vào kỳ thi. Bạn cũng có thể tham gia khóa luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán tại Học là Giỏi với các bài tập ôn thi lộ trình rõ ràng, bám sát đề thi và hỗ trợ sát sao từ giáo viên.