Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình vào 10

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp:

Ví dụ chuyển động trên đường bộ: Hai xe ô tô khởi hành từ hai điểm A và B đi ngược chiều nhau. Xe đi từ A có vận tốc 50 km/h, xe đi từ B có vận tốc 30 km/h. Nếu xe đi từ A khởi hành muộn hơn xe đi từ B là 2 giờ thì hai xe gặp nhau tại điểm cách đều A và B. Tính độ dài quãng đường AB.

Hướng giải

Gọi độ dài quãng đường AB là $\mathrm{x}(\mathrm{km}), \mathrm{x}>0$

Vì hai xe gặp nhau tại trung trung điểm nên mỗi xe đi được: $\frac{x}{2}$

Thời điểm đi cùa mỗi xe:
- Xe đi từ $\mathrm{A}: t_A=\frac{x / 2}{50}=\frac{x}{100}$ (giờ)
- Xe đi từ B: $t_B=\frac{x / 2}{30}=\frac{x}{60}$ (giờ)

Do xe A khởi hành muộn hơn xe B 2 giờ nên: $t_B-t_A=2$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \frac{x}{60}-\frac{x}{100}=2 \\
& \rightarrow \mathrm{x}=300
\end{aligned}
$$

Vậy quãng đường AB dài 300 km

Ví dụ chuyển động trên dòng nước: Một ca nô đi xuôi dòng 72 km, sau đó quay lại đi ngược dòng 54 km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là 3 km/h. Thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian đi xuôi dòng là 2 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.

Hướng giải

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), điều kiện x>3

Vận tốc xuôi dòng: x + 3 (km/h) 

Vận tốc ngược dòng: x - 3 (km/h)

Thời gian di chuyển:
- Xuôi dòng: $t_1=\frac{72}{x+3}$
- Ngược dòng: $t_2=\frac{54}{x-3}$

Thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian đi xuôi dòng là 2 giờ nên: $t_2-t_1=2$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \frac{54}{x-3}-\frac{72}{x+3}=2 \\
& \rightarrow x^2+9 x-198=0
\end{aligned}
$$

Giải phương trình: $\Delta=873$

$\rightarrow \mathrm{x}=\frac{-9 \pm \sqrt{873}}{2} \sim 10,3$

Vận tốc của ca nô khi nước yên lặng xấp xỉ $10,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

Xem thêm: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình - Bài tập chuyển động

Bài 1: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc đã định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h thì thời gian đi sẽ giảm được 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 3 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.

Bài 2: Quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng dài 120 km. Một người đi xe máy từ Hà Nội hướng về Hải Phòng. Sau khi đi được 2/3 quãng đường với vận tốc ban đầu, người đó dừng lại nghỉ 15 phút. Để đến Hải Phòng đúng giờ đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đi xe máy.

Bài 3: Một tàu tuần tra đi ngược dòng từ bến A đến bến B cách nhau 60 km. Sau đó tàu nghỉ tại bến B trong 1 giờ rồi quay trở về bến A xuôi dòng. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc về tới bến A (bao gồm cả thời gian nghỉ) là 8 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu, biết vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Dạng 2: Bài toán năng suất

Phương pháp theo kiến thức sách giáo khóa kết nối tri thức:

Tổng lượng công việc = Năng suất * Thời gian

Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian

Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng suất

Ví dụ: Một đội công nhân dự định hoàn thành 480 sản phẩm trong một số ngày với năng suất không đổi. Sau khi làm được 240 sản phẩm, đội đã tăng năng suất mỗi ngày thêm 8 sản phẩm, nhờ đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày đội làm được bao nhiêu sản phẩm?

Hướng giải

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là x (sản phẩm)
Điều kiện: $\mathrm{x}>0$
Vì thực tế hoàn thành sớm hơn 1 ngày, ta có phương trình:

$$
\begin{aligned}
& \frac{240}{x}+\frac{240}{x+8}=\frac{480}{x}-1 \\
& \rightarrow \frac{240}{x+8}=\frac{480}{x}-\frac{240}{x}-1 \\
& \rightarrow \frac{240}{x+8}=\frac{240}{x}-1 \rightarrow \mathrm{x}=40 \text { (thoả mãn) }
\end{aligned}
$$

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình - Bài tập năng suất

Bài 1: Trong học kỳ I, hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 90 học sinh giỏi. Sang học kỳ II, nhờ phong trào thi đua, số học sinh giỏi của lớp 9A tăng thêm 20%, số học sinh giỏi của lớp 9B tăng thêm 15% so với học kỳ I. Do đó, cả hai lớp có tổng cộng 106 học sinh giỏi. Tính số học sinh giỏi của mỗi lớp trong học kỳ II.

Bài 2: Một xưởng may theo kế hoạch phải may xong 3000 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Sau khi may được 6 ngày với năng suất dự định, xưởng đã cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày may thêm được 10 bộ nữa. Nhờ đó, xưởng không những hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày mà còn may thêm được 20 bộ quần áo nữa. Tính năng suất dự định của xưởng (số bộ quần áo may trong một ngày).

Bài 3: Một đội xe dự định vận chuyển 80 tấn hàng trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu làm việc, do có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 2 tấn hàng so với dự định mới có thể hoàn thành công việc đúng hạn. Tính số xe thực tế tham gia vận chuyển (biết năng suất mỗi xe như nhau).

Dạng 3: Bài toán làm chung công việc

Phương pháp: Coi khối lượng công việc là một đơn vị

Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất

Ví dụ: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành trong 18 ngày. Mỗi ngày, phần việc đội 1 làm được bằng $\frac{2}{3}$ phần việc đội 2 làm được. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?

Hướng giải

Gọi số ngày đội 2 làm một mình để hoàn thành công việc là $x$ (ngày)

Điều kiện: $\mathrm{x}>0$

Trong 1 ngày, đội 2 làm được: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong 1 ngày, đội 1 làm được: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x}=\frac{2}{3 x}$ (công việc)

Trong 1 ngày, cả hai đội làm được: $\frac{1}{18}$ (công việc)

Lập phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{2}{3 x}=\frac{1}{18} \rightarrow \mathrm{x}=30$

Vậy đội 2 làm một mình hết 30 ngày và đội 1 làm một mình hết 45 ngày

Bài 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể bằng 1,5 lần thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể. Hỏi nếu chảy riêng một mình, mỗi vòi cần bao lâu để chảy đầy bể?

Bài 2: Một đơn vị bộ đội chuyển gạo vào kho. Ngày thứ nhất chuyển 20 tấn và 1/8 số gạo còn lại. Ngày thứ hai chuyển 40 tấn và 1/8 số gạo còn lại. Ngày thứ ba chuyển 60 tấn và 1/8 số gạo còn lại. Cứ chia như vậy cho đến ngày cuối cùng thì vừa hết số gạo và số gạo mỗi ngày chuyển được là bằng nhau. Tính tổng số gạo của đơn vị và số ngày cần thiết để chuyển hết số gạo đó.

Bài 3: Trong năm ngoái, hai đơn vị nông nghiệp thu hoạch được tổng cộng 700 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất thu hoạch vượt mức 10%, đơn vị thứ hai thu hoạch vượt mức 12% so với năm ngoái. Vì vậy, tổng số thóc thu hoạch được của cả hai đơn vị là 778 tấn. Hỏi trong năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Dạng 4: Bài toán có chứa tham số

Phương pháp:

- Gọi ẩn số cần tìm là x. Đặt điều kiện cho ẩn (ví dụ: x > 0, x  Z).

- Dựa vào tham số m và ẩn x lập phương trình

- Phương trình thu được thường có dạng bậc nhất $\mathrm{ax}+\mathrm{b}=0$ hoặc bậc hai $a^2+ \mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$.

Ví dụ: Chị Bình gửi vào ngân hàng số tiền ban đầu là x (nghìn đồng) với lãi suất mỗi tháng là $\mathrm{a} \%$ (lãi được nhập vào vốn cho tháng sau).

a. Hãy biểu diễn:
- Số tiền lãi sau tháng thứ nhất
- Số tiền có được sau tháng thứ nhất
- Tổng số tiền lãi sau tháng thứ hai

b. Biết lãi suất là $1 \%$ mỗi tháng và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 20,1 nghìn đồng. Hỏi ban đầu chị Bình gửi bao nhiêu tiền?

Hướng giải
a. Số tiền lãi sau tháng thứ nhất: $a 100 x$

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau tháng thứ nhất: $\mathrm{x}+\mathrm{a} 100 \mathrm{x}=\mathrm{x}(1+\mathrm{a} 100)$

Số tiền lãi tháng thứ hai: $\mathrm{a} 100 . \mathrm{x} .(1+\mathrm{a} 100)$

Tổng số tiền lãi sau 2 tháng: $\mathrm{L}=\mathrm{a} 100 \mathrm{x}+\mathrm{x} \cdot(1+\mathrm{a} 100)=\mathrm{x}(\mathrm{a} 100)(2+\mathrm{a} 100)$

b. Thay $\mathrm{a}=1 \% \Rightarrow \mathrm{a}=0,01 \rightarrow \mathrm{~L}=0,0201 \mathrm{x}$

Mà 0,0201x = 20,1 $\to$ x = 1000
Số tiền ban đầu chị Bình gửi là: 1000 nghìn đồng $=1$ triệu đồng

Bài tập vận dụng

Bài 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trên quãng đường dài 120 km trong một thời gian nhất định. Tuy nhiên, sau khi đi được nửa quãng đường, ô tô đã tăng vận tốc thêm m (km/h) (m > 0). Chính vì vậy, ô tô đã đến B sớm hơn dự định 30 phút.

a) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc dự định (x) và tham số m

b) Nếu vận tốc dự định là 40 km/h, hãy tìm m để ô tô đến sớm hơn dự định đúng 30 phút.

Bài 2: Hai tổ công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Nếu làm riêng, tổ I hoàn thành công việc nhanh hơn tổ II là m giờ (m > 0). 

a) Gọi thời gian tổ I làm một mình xong việc là x (giờ). Hãy lập phương trình bậc hai đối với x có chứa tham số m.

b) Tìm m để thời gian tổ II làm một mình xong việc là 15 giờ.

Dạng 5: Bài toán phần trăm

Phương pháp theo kiến thức sách giáo khóa kết nối tri thức: Kế hoạch cho x

- Tăng $m \%$ khi đó: $x+m \% x=(100+m) \% x$

- Giảm n\% khi đó: $x-n \% x=(100-n) \% x$

Chú ý: $m \% x+n \% y=a \leftrightarrow m x+n y=100 a$

Ví dụ: Hưởng ứng phong trào quyên góp sách vở ủng hộ học sinh vùng cao, theo kế hoạch hai lớp 9 A và 9 B dự định quyên góp tổng cộng 900 quyển sách. Tuy nhiên, khi thực hiện, lớp 9 A đã huy động vượt mức $15 \%$ và lớp 9 B huy động vượt mức $20 \%$ so với chỉ tiêu ban đầu. Nhờ tinh thần tích cực đó, cả hai lớp đã quyên góp được tổng cộng 1060 quyển sách. Hỏi theo kế hoạch, mỗi lớp được giao chỉ tiêu quyên góp bao nhiêu quyển sách?

Hướng giải

Gọi số quyển sách lớp 9 A phải quyên góp theo kế hoạch là x (quyển).

Gọi số quyển sách lớp 9 B phải quyên góp theo kế hoạch là y (quyển).

Điều kiện: $\mathrm{x}, \mathrm{y} \in N^2 ; \mathrm{x}, \mathrm{y}<900$.

Theo kế hoạch, hai lớp dự định quyên góp tổng cộng 900 quyển sách, ta có phương trình đầu tiên: $\mathrm{x}+\mathrm{y}=900$ (1)

Thực tế, số sách quyên góp vượt mức (phần dôi ra so với kế hoạch) của từng lớp là:
- Lớp 9A vượt $15 \%: 15 \% \mathrm{x}=0.15 \mathrm{x}$
- Lớp 9B vượt 20\%: $20 \% \mathrm{y}=0.2 \mathrm{y}$

Tổng số sách vượt mức của cả hai lớp là: 1060-900 $=160$ (quyển)

Từ đó, ta có phương trình thứ hai: $0.15 x+0.2 y=160$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$$
\begin{aligned}
& x+y=900 \\
& 0.15 x+0.2 y=160 \\
& \rightarrow y=500 \text { và } x=400
\end{aligned}
$$

Vậy theo kế hoạch, lớp 9A được giao chỉ tiêu quyên góp 400 quyển sách và lớp 9B được giao chỉ tiêu quyên góp 500 quyển sách.

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình - Bài tập phần trăm

Bài 1: Theo kế hoạch, hai tổ công nhân phải may tổng cộng 1500 bộ quần áo. Do cải tiến kỹ thuật, tổ I đã may vượt mức 15%, tổ II may vượt mức 12% so với kế hoạch. Vì vậy, cả hai tổ đã may được tất cả 1707 bộ quần áo. Tính số bộ quần áo mỗi tổ phải may theo kế hoạch.

Bài 2: Hai thửa ruộng thu hoạch được tất cả 450 tấn thóc. Năm sau, nhờ áp dụng công nghệ tưới tiêu mới, thửa ruộng thứ nhất tăng năng suất thêm 20%, thửa ruộng thứ hai tăng năng suất thêm 15%. Tổng số thóc thu hoạch được của cả hai thửa ruộng là 527 tấn. Hỏi trong năm đầu tiên, mỗi thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Dạng 6: Bài toán hình học

Phương pháp:

Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn (thường là cạnh, diện tích hoặc góc). Đặt đơn vị và điều kiện cho ẩn (ví dụ: cạnh hình chữ nhật x > 0).

Dựa vào ẩn đã chọn và các giả thiết của đề bài để biểu diễn các đại lượng còn lại.

Sử dụng các định lý hình học (Pythagore, diện tích, hệ thức lượng...) để lập phương trình.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6 cm. Người ta vẽ một hình chữ nhật ADEF nội tiếp trong tam giác đó sao cho D nằm trên AB, E nằm trên BC và F nằm trên AC. Biết hình chữ nhật có chiều dài AD = 4 cm và chiều rộng AF = 3 cm. Hãy tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.

Hướng giải

Vì D nằm trên AB và AD = 4 cm nên đoạn BD = AB - AD = 6 - 4 = 2 cm.

Vì ADEF là hình chữ nhật nên cạnh DE song song với AC và DE = AF = 3 cm.

Vì $\mathrm{DE} / / \mathrm{AC}$, theo hệ quả của định lý Ta-lét (hoặc tam giác đồng dạng), ta có $\triangle \mathrm{BDE} \sim \triangle \mathrm{BAC}$.

Ta có tỉ số tương ứng: $\frac{B D}{B A}=\frac{D E}{A C}$
Thay số để tìm $\mathrm{AC} \rightarrow \mathrm{AC}=9 \mathrm{~cm}$
Đặt $\mathrm{AC}=\mathrm{x}$ (điều kiện $\mathrm{x}>3$ ).
Tính diện tích các hình thành phần:

$$
\begin{aligned}
& S_{A B C}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}=3 \mathrm{x}\left(\mathrm{~cm}^2\right) \\
& S_{B D E}=\frac{1}{2} \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DE}=3\left(\mathrm{~cm}^2\right) \\
& S_{E F C}=\frac{1}{2} \mathrm{EF} \cdot \mathrm{FC}=2(\mathrm{x}-3)\left(\mathrm{cm}^2\right) \\
& S_{A D E F}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AF}=12\left(\mathrm{~cm}^2\right)
\end{aligned}
$$

Thiết lập phương trình tổng diện tích: $S_{A B C}=S_{B D E}+S_{E F C}+S_{A D E F}$

$\rightarrow 3 \mathrm{x}=3+2(\mathrm{x}-3)+12$

→ x = 9

Vậy cạnh AC dài 9 cm.

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình - Bài tập hình học

Bài 1: Một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A có cạnh góc vuông AC = 12cm. Người ta cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật ADEF (D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC) có chiều rộng AF = 4cm. Biết diện tích hình chữ nhật bằng 1/3 diện tích tam giác ABC ban đầu. Tính độ dài cạnh AB của tam giác đó.

Bài 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 200m. Nếu người ta tăng chiều dài thêm 5m và giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích khu vườn giảm đi 25m2. Hãy tính chiều dài và chiều rộng thực tế của khu vườn này.

Bài 3: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích không đổi. Tính độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Dạng 7: Bài toán số học

Phương pháp: Nắm được các kiến thức liên quan:

Cách viết số trong hệ thập phân.

Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm...; điều kiện của các chữ số.

Ví dụ: Một số tự nhiên có hai chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được một số mới lớn hơn số cũ là 27 đơn vị. Tìm số đã cho.

Hướng giải

Gọi chữ số hàng chục là x

Điều kiện của $\mathrm{x}:(\mathrm{x} \in \mathrm{N}, 0<\mathrm{x}<7$ vì chữ số hàng đơn vị là $\mathrm{x}+3$ không được vượt quá 9).

Chữ số hàng đơn vị là: $\mathrm{x}+3$

Số đã cho được viết là: $10 x+(x+3)=11 x+3$

Khi đổi vị trí hai chữ số cho nhau, chữ số mới có hàng chục là $\mathrm{x}+3$ và hàng đơn vị là x . Số mới được viết là:

$10(x+3)+x=10 x+30+x=11 x+30$

Vì số mới lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị, nên ta có phương trình:

$(11 x+30)-(11 x+3)=27$

Tuy nhiên, nếu quan sát kỹ phương trình trên:

$11 x+30-11 x-3=27$

$27=27$ (luôn đúng với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện).

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình - Bài tập số học

Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được một số mới nhỏ hơn số ban đầu là 36 đơn vị. Tìm số đã cho ban đầu.

Bài 2: Tìm một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 7. Biết rằng nếu xóa chữ số 7 đó đi thì ta được một số mới kém số ban đầu là 1753 đơn vị.

Bài 3: Cho phân số $\frac{21}{31}$. Hãy tìm số tự nhiên k sao cho khi cộng thêm k vào cả tử số và mẫu số của phân số đã cho, ta được một phân số mới có giá trị bằng $\frac{3}{4}$.

Dạng 8: Bài toán về vật lý, hoá học

Phương pháp: Lập được phương trình dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán.

Ví dụ: Có 300g dung dịch muối nồng độ 10%. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam muối nguyên chất vào dung dịch đó để thu được một dung dịch mới có nồng độ 25%?

Hướng giải

Khối lượng muối có trong 300g dung dịch ban đầu là: 300. 10% = 30 (g)

Gọi x là lượng muối cần pha thêm vào dung dịch (x > 0, đơn vị: g).

Khi đó:

Tổng khối lượng chất tan (muối) là: 30 + x.

Tổng khối lượng dung dịch mới là: 300 + x.

Vì dung dịch mới có nồng độ $25 \%$, ta có phương trình: $\frac{30+x}{300+x}=\frac{25}{100}$
$\rightarrow \mathrm{x}=60$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy: Lượng muối cần pha thêm là 60 g .

Bài tập vận dụng

Bài 1: Biết rằng 300 g dung dịch chứa 60 g muối. Hỏi cần thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để thu được dung dịch chứa $15 \%$ muối?

Bài 2: Có hai dung dịch muối nồng độ $10 \%$ và $35 \%$. Cần trộn bao nhiêu gam mỗi loại để được 200 g dung dịch có nồng độ $25 \%$ ?

Bài 3: Một dung dịch axit có khối lượng 250 g , chứa 50 g axit. Hỏi phải thêm bao nhiêu gam dung dịch axit $40 \%$ vào dung dịch đó đề thu được dung dịch mới có nồng độ $30 \%$ ?

Hy vọng chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình Gia sư Học là Giỏi chia sẻ sẽ giúp bạn học tốt hơn và tự tin trong xử lý bài thi. Bạn cũng có thể tham khảo khóa luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán tại Học là Giỏi để được ôn tập chuyên sâu hơn, bài bản hơn và cải thiện tư duy giải toán một cách nhanh chóng.