Khám phá phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Mỗi bước trong quá trình lập hệ phương trình đều có vai trò riêng giúp ta định hình bài toán 1 cách tổng quát. Dưới đây là 4 bước cơ bản để thực hiện.

Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Chọn ẩn số là việc bạn chọn những kết quả chưa biết trong bài toán để giải quyết.

Ví dụ, nếu đề bài yêu cầu tìm hai số có tổng bằng 10 và hiệu bằng 2, ta có thể chọn:

+ x là số thứ nhất

+ y là số thứ hai

Ngoài việc chọn ẩn, bạn cũng phải đặt điều kiện cho chúng. Đối với nhiều bài toán, điều kiện là x và y đều phải thỏa mãn yêu cầu mà bài toán đưa ra. Đặt điều kiện chính xác sẽ giúp bạn tránh được những nghiệm không phù hợp ở bước sau.

Bước 2: Lập hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng

Tiếp theo là dùng những thông tin có sẵn để gắn ẩn đã đặt vào hệ phương trình. Đây là lúc bạn sẽ biến các mối quan hệ trong đề bài thành các phương trình.

Tiếp tục với ví dụ trên, chúng ta có hai thông tin: tổng hai số bằng 10 và hiệu hai số bằng 2. Như vậy, ta lập được hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Bước 3: Giải hệ phương trình bằng một trong các phương pháp

Khi đã có hệ phương trình, việc tiếp theo đơn giản chỉ là chọn một phương pháp giải để tìm ra ẩn số. Có hai phương pháp phổ biến là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Cả hai đều hiệu quả, nên bạn có thể linh hoạt lựa chọn.

Với hệ phương trình trên, ta thử dùng phương pháp cộng đại số. Bằng cách cộng hai phương trình:

$(x + y) + (x - y) = 10 + 2$

Ta sẽ có:

$2x = 12 \Rightarrow x = 6$

Sau khi tìm được x=6, thay vào phương trình x+y=10:

$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$

Bước 4: Kiểm tra nghiệm và kết luận

Đến đây, nhiều người thường quên mất rằng kiểm tra nghiệm. Đây là một bước không thể bỏ qua khi chúng ta đưa ra kết luận nghiệm của bài toán. 

Ta thay x=6 và y=4 vào hai phương trình ban đầu:

$x + y = 6 + 4 = 10$ (đúng)

$x - y = 6 - 4 = 2$ (đúng)

Vì cả hai đều thỏa mãn, ta có thể tự tin kết luận: nghiệm của bài toán là x=6 và y=4.

Các dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình

Hệ phương trình áp dụng trong rất nhiều bài toán đại số cấp 2, dưới đây là những ứng dụng vào các dạng bài tập.

Bài toán chuyển động

Chuyển động luôn là chủ đề quen thuộc trong toán học, yêu cầu bạn tìm ra các yếu tố như tốc độ, thời gian hay quãng đường. Giả sử, bạn gặp phải một bài toán về hai xe đang đi từ hai địa điểm khác nhau và tiến đến gần nhau. Với tốc độ và thời gian đã cho, nhiệm vụ của bạn là tìm ra thời điểm hai xe gặp nhau.

Bài toán công việc

Bài toán công việc giúp bạn hình dung về việc chia sẻ nhiệm vụ và tính toán thời gian hoàn thành khi có nhiều người cùng làm. Điều này cực kỳ thực tế trong cuộc sống như khi bạn và bạn bè cùng thực hiện một dự án nhóm.

Bài toán về số và chữ số

Các bài toán về số và chữ số thường xoay quanh việc tìm ra những con số đặc biệt với các điều kiện nhất định, như tổng hoặc hiệu giữa các chữ số.  

Bài toán hình học

Với bài toán hình học, hệ phương trình có thể được dùng để tìm chiều dài, diện tích hay các yếu tố hình học khác khi có những thông tin về quan hệ giữa các cạnh hay góc.

Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 34m. Khi chiều dài được tăng thêm 3m và chiều rộng tăng thêm 2m, diện tích của mảnh vườn tăng thêm 45m². Hãy tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn.

Giải

Giả sử chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x và y (với x>0 và y>0).

Theo đề bài, ta có:

- Chu vi hình chữ nhật là 2(x+y)=34 (1)

- Khi tăng chiều dài thêm 3m và chiều rộng thêm 2m, kích thước mới là (y+3) và (x+2). Diện tích mới này lớn hơn diện tích ban đầu 45m², nên ta có phương trình: (x+2)(y+3)=xy+45 (2)

Từ (1) và (2), ta lập được hệ phương trình như sau:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2(x+y)=34\\ (x+2)(y+3)=xy+45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2x+2y=34\\ 3x+2y=39\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=5\\ y=17-x\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=5\\ y=12\end{array}\right.(thỏa mãn x>0,y>0) \end{gathered}$$

Bài 2: Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một ô tô xuất phát từ A, trong khi một xe máy xuất phát từ B, cả hai đi ngược chiều và bắt đầu cùng lúc. Sau khi gặp nhau, ô tô mất thêm 30 phút để đến B, còn xe máy mất thêm 2 giờ để đến A. Hãy xác định vận tốc của ô tô và xe máy.

Giải

Gọi vận tốc của ô tô là x km/h và của xe máy là y km/h, với x>0 và y>0.

Gọi điểm gặp nhau của hai xe là C. Khi đó:

- Sau khi gặp nhau, ô tô đi quãng đường từ B đến C trong 30 phút, tức là 0,5 giờ. Quãng đường BC sẽ là 0,5x (km).

- Xe máy đi quãng đường AC trong 2 giờ. Quãng đường AC là 2y (km).

Do cả hai xe khởi hành cùng lúc và gặp nhau tại C, thời gian đi đến điểm gặp nhau của ô tô và xe máy bằng nhau. Thời gian di chuyển của mỗi xe là:

- Thời gian mà ô tô đi đoạn đường AC là 2y/x (km/h).

- Thời gian mà xe máy đi đoạn đường BC là 0,5x/y (km/h).

Vì quãng đường AB có độ dài 90km, thời gian hai xe đến điểm C bằng nhau. Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}0,5x+2y=90\\ \frac{0,5x}{y}=\frac{2y}{x}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}0,5x+2y=90 \left(1\right)\\ {0,5x}^2={2y}^2 \left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ (2) suy ra x = 2y, sử dụng phương pháp thế vào (1) ta có phương trình:

3y = 90 

⇔ y = 30 

=> x = 60 (thỏa mãn x, y > 0).

Vận tốc ôtô là 60km/h và vận tốc xe máy là 30km/h.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Một người đi xe máy từ A đến B trong khoảng thời gian đã dự kiến. Nếu người này tăng vận tốc lên 14 km/h, anh ta sẽ đến B sớm hơn 2 giờ so với dự định. Ngược lại, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h, anh ta sẽ đến B muộn hơn 1 giờ so với kế hoạch. Hãy xác định vận tốc và thời gian dự kiến ban đầu.

Giải

Giả sử vận tốc dự định của xe máy là x (km/h), với x>0, và thời gian dự định để hoàn thành quãng đường là y (h), với y>0.

Khi đó, quãng đường từ A đến B có thể biểu diễn là xy (km).

Nếu vận tốc tăng lên 14 km/h, thời gian đi sẽ giảm 2 giờ so với dự kiến. Ta có phương trình:
(x+14)(y−2)=xy (1)

Nếu vận tốc giảm 4 km/h, thời gian đi sẽ kéo dài thêm 1 giờ so với dự kiến. Khi đó, ta có phương trình:
(x−4)(y+1)=xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}(x+14)(y-2)=xy\\ (x-4)(y+1)=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}xy-2x+14y-28=xy\\ xy+x-4y-4=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}-x+7y=14\\ x-4y=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}-x+7y=14\\ 3y=18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}-x+7.6=14\\ y=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=28\\ y=6\end{array}(thỏa mãn)\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc dự định là 28km/h và thời gian dự định là 6h

Bài tập tự luyện

Bài 4. Hai năm trước, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em. Còn cách đây 8 năm, tuổi của anh lại gấp 5 lần tuổi của em. Hỏi hiện nay anh và em bao nhiêu tuổi?

Bài 5. Có hai loại quặng chứa lần lượt 75% và 50% sắt. Tính khối lượng của từng loại quặng cần đem trộn để thu được 25 tấn quặng với hàm lượng sắt chiếm 66%.

Bài 6. Một hình chữ nhật có chu vi 90m. Nếu chiều rộng tăng lên gấp đôi và chiều dài giảm đi 15m, diện tích hình chữ nhật mới sẽ bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tìm kích thước của các cạnh hình chữ nhật này.

Kết luận 

Vậy là chúng ta đã cùng nhau đi qua hành trình khám phá cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Khi bạn hiểu được quy tắc và nắm vững các phương pháp giải, bạn sẽ nắm bắt được cách giải nhanh hơn đối với nhiều bài toán nâng cao. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng với kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn mỗi khi đối mặt với các bài toán hệ phương trình trong tương lai.