Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp

schedule.svg

Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.

Mục lục [Ẩn]

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Định nghĩa: Một tứ giác được gọi là nội tiếp đường tròn khi cả bốn đỉnh của nó đều nằm trên cùng một đường tròn.

- Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

Ví dụ: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đồng thời (O) cũng là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đồng thời (O) cũng là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD.

Tính chất tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp có các tính chất đặc trưng sau bạn cần lưu ý:

- Trong tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo của hai góc đối diện luôn bằng 180o.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o, thì tứ giác đó có thể nội tiếp trong một đường tròn.

Ví dụ: Trong hình trên, tứ giác ABCD nội tiếp có A^+C^=180o và B^+D^=180o.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Các dấu hiệu để nhận biết một tứ giác nội tiếp đường tròn:

+ Một tứ giác nội tiếp đường tròn nếu tổng số đo hai góc đối diện của nó bằng 180∘.

+ Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm, điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

+ Tứ giác có hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc α.

Lưu ý: Trong các hình như hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân đều có thể nội tiếp trong một đường tròn.

Bài tập tứ giác nội tiếp

Để nắm rõ kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Xét tam giác ABC với hai đường cao BB′ và CC′. Chứng minh tứ giác BCB′C′ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Xét tam giác ABC với hai đường cao BB′ và CC′. Chứng minh tứ giác BCB′C′ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cách 1: Chứng minh bốn điểm cách đều một điểm

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác BB′C:

Góc BBC=90BB'C = 90^\circ (theo giả thiết).

OB′ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

Do đó, OB′=OB=OC=r (1).

Xét tam giác BC′C:

Góc BCC=90BC'C = 90^\circ (theo giả thiết).

Tương tự, OC′=OB=OC=r (2).

Từ (1) và (2), suy ra B,C′,B′,C cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính r.

Vậy, tứ giác BC′B′C nội tiếp đường tròn.

Cách 2: Dựa vào dấu hiệu góc nhìn

Một tứ giác có hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau thì là tứ giác nội tiếp.

Theo giả thiết, BB′ vuông góc với AC, nên BB'C^=90.

Tương tự, CC′ vuông góc với AB, nên BC'C^=90.

Suy ra, B′ và C′ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông.

Do đó, B′ và C′ nằm trên đường tròn đường kính BC.

Kết luận: Tứ giác BC′B′C nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O với đường kính AB=2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn so với đoạn AB. Từ điểm M trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). Đoạn AC cắt OM tại E, và đoạn MB cắt nửa đường tròn tại D (D≠B). Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cho nửa đường tròn tâm O với đường kính AB=2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn so với đoạn AB. Từ điểm M trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). Đoạn AC cắt OM tại E, và đoạn MB cắt nửa đường tròn tại D (D≠B).

Vì MA và MC là các tiếp tuyến, ta có MAO^=MCO^=90.

Do đó, đối với tứ giác AMCO, ta có:

MAO^+MCO^=180,

vì vậy, tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MO.

Tiếp theo, ta có ABD^=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), từ đó suy ra ADM^=90(1).

Ngoài ra, ta có OA=OC=R và MA=MC (do tính chất của tiếp tuyến). Do đó, OM là đường trung trực của đoạn AC, và từ đó AEM^=90 (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra ADM^=AEM^=90.

Vì tứ giác AMDE có hai đỉnh A và E liền kề, đồng thời cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi, ta kết luận rằng tứ giác AMDE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MA.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC tại A. Trên đoạn AC, lấy điểm D. Hình chiếu của điểm D lên BC là E, và điểm đối xứng của E qua BD là F. Cần chứng minh rằng năm điểm A, B, E, D, F đều nằm trên cùng một đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó.

Cho tam giác vuông ABC tại A. Trên đoạn AC, lấy điểm D. Hình chiếu của điểm D lên BC là E, và điểm đối xứng của E qua BD là F. Cần chứng minh rằng năm điểm A, B, E, D, F đều nằm trên cùng một đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó.

Vì DE⊥BC, ta có DBE^=90o.

Do E và F đối xứng qua BD, suy ra BD là đường trung trực của đoạn EF, vì vậy BF=BE và DF=DE.

Xét tam giác BFD và tam giác BED, ta có △BFD=△BED (theo cạnh-cạnh-cạnh), từ đó suy ra BFD^=BED^=90o.

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A, vì AO là trung tuyến nên AO=12BD=OB=OD (1).

Xét tam giác vuông BDE vuông tại E, vì OE là trung tuyến nên EO=12BD=OB=OD (2).

Xét tam giác vuông BFD vuông tại F, vì OF là trung tuyến nên FO=12BD=OB=OD (3).

Từ (1), (2) và (3), ta có OA=OB=OD=OE=OF.

Do đó, năm điểm A, B, E, D, F nằm trên một đường tròn với tâm O, là trung điểm của BD.

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ các điểm A và B, vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N vuông góc với NM cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại các điểm C và D.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACNM và BDNM đều là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD

c) Tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ các điểm A và B, vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N vuông góc với NM cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại các điểm C và D.

a. Xét tứ giác ACNM, ta có:

MNC^=90 (do tính chất tiếp tuyến),

do đó,

MNC^+MAC^=180.

Như vậy, tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MC.

Tương tự, tứ giác BDNM cũng là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MD.

b. Trong hai tam giác ANB và CMD, ta có:

ABN^=CDM ^(do tứ giác BDNM nội tiếp),

 BAN^=DCM ^(do tứ giác ACNM nội tiếp).

Do đó, ta kết luận rằng tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD (theo góc-góc).

c. Vì tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD, ta có:

CMD^=ANB^=90 (do góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)).

Do đó,

IMK^=INK^=90,

INK^+IMK^=180.

Kết luận, tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính IK.

Xem thêm:

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

Kết luận

Kết thúc phần kiến thức về tứ giác nội tiếp, chúng ta đã thấy rõ sự quan trọng và hữu ích của những tính chất hình học này trong giải quyết các bài toán đường tròn. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi mong muốn các bạn sẽ nắm bắt và vận dụng những kiến thức này trong các bài tập về đường tròn 1 cách thành thạo nhé.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Mẹo học bảng nhân 5 cực dễ hiểu cho học sinh tiểu học
schedule

Thứ sáu, 25/4/2025 07:16 AM

Mẹo học bảng nhân 5 cực dễ hiểu cho học sinh tiểu học

Bảng nhân 5 là một phần không thể thiếu trong hệ thống bảng cửu chương hỗ trợ học sinh ghi nhớ và vận dụng phép nhân với số 5 một cách nhanh chóng. Hôm nay gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn khám phá chi tiết bảng nhân 5 nhé.

Bí quyết tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội uy tín
schedule

Thứ ba, 22/4/2025 03:21 AM

Bí quyết tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội uy tín

Lớp 9 là dấu mốc quan trọng quyết định tương lai học tập của học sinh vào cấp 3, đặc biệt là tại Hà Nội, nơi có môi trường giáo dục cạnh tranh khốc liệt. Trong bối cảnh ấy, việc tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội trở thành nhu cầu cấp thiết với nhiều phụ huynh nhằm giúp con tự tin bước vào kỳ thi chuyển cấp. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn tìm hiểu những lưu ý gì khi tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà nội nhé.

Giải pháp tìm gia sư toán lớp 6 tại Hà Nội hiệu quả
schedule

Thứ hai, 21/4/2025 09:10 AM

Giải pháp tìm gia sư toán lớp 6 tại Hà Nội hiệu quả

Lớp 6 là bước ngoặt quan trọng khi con bắt đầu làm quen với tư duy Toán học nâng cao và chương trình đổi mới. Vì vậy, tìm gia sư Toán lớp 6 đang trở thành giải pháp thiết thực giúp học sinh tự tin hơn ngay từ những bài toán đầu tiên. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cho bạn cái nhìn tổng thể trong việc tìm gia sư toán lớp 6 tại Hà Nội ở bài viết dưới đây nhé.

Các công thức và cách tính xác suất từ cơ bản đến nâng cao
schedule

Thứ ba, 15/4/2025 10:22 AM

Các công thức và cách tính xác suất từ cơ bản đến nâng cao

Trong toán học và cuộc sống, việc dự đoán một sự kiện có xảy ra hay không luôn là điều khiến con người tò mò. Các công thức và cách tính xác suất sẽ giúp chúng ta đo lường mức độ xảy ra của một biến cố, từ những trò chơi may rủi cho đến các quyết định trong đời sống thực tế. Gia sư online Học là Giỏi giúp bạn hiểu rõ các công thức và cách tính xác suất từ những khái niệm cơ bản đến các công thức ứng dụng cao nhé.

Tổng hợp các ký hiệu toán học cần ghi nhớ
schedule

Thứ sáu, 11/4/2025 10:03 AM

Tổng hợp các ký hiệu toán học cần ghi nhớ

Trong toán học, ký hiệu đóng vai trò giúp con người biểu đạt những khái niệm trừu tượng một cách logic và hệ thống. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cung cấp các ký hiệu toán học ở trong bài viết để bạn có thể nắm bắt và biết cách sử dụng hơn nhé.

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị
schedule

Thứ ba, 11/3/2025 07:55 AM

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị

Bảng nhân 4 là một trong những kiến thức quan trọng trong toán học tiểu học, giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng tính nhẩm nhanh. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững bảng nhân 4 trong bài viết để bạn áp dụng phép nhân đối với các bài tập một cách hiệu quả.

message.svg zalo.png