Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Định nghĩa: Một tứ giác được gọi là nội tiếp đường tròn khi cả bốn đỉnh của nó đều nằm trên cùng một đường tròn.

- Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

Ví dụ: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đồng thời (O) cũng là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD.

Tính chất tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp có các tính chất đặc trưng sau bạn cần lưu ý:

- Trong tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo của hai góc đối diện luôn bằng ${180}^o$.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng ${180}^o$, thì tứ giác đó có thể nội tiếp trong một đường tròn.

Ví dụ: Trong hình trên, tứ giác ABCD nội tiếp có $\hat{A}+\hat{C}={180}^o$ và $\hat{B}+\hat{D}={180}^o$.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Các dấu hiệu để nhận biết một tứ giác nội tiếp đường tròn:

+ Một tứ giác nội tiếp đường tròn nếu tổng số đo hai góc đối diện của nó bằng 180∘.

+ Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm, điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

+ Tứ giác có hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc α.

Lưu ý: Trong các hình như hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân đều có thể nội tiếp trong một đường tròn.

Bài tập tứ giác nội tiếp

Để nắm rõ kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Xét tam giác ABC với hai đường cao BB′ và CC′. Chứng minh tứ giác BCB′C′ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cách 1: Chứng minh bốn điểm cách đều một điểm

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác BB′C:

Góc $BB'C = 90^\circ$ (theo giả thiết).

OB′ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

Do đó, OB′=OB=OC=r (1).

Xét tam giác BC′C:

Góc $BC'C = 90^\circ$ (theo giả thiết).

Tương tự, OC′=OB=OC=r (2).

Từ (1) và (2), suy ra B,C′,B′,C cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính r.

Vậy, tứ giác BC′B′C nội tiếp đường tròn.

Cách 2: Dựa vào dấu hiệu góc nhìn

Một tứ giác có hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau thì là tứ giác nội tiếp.

Theo giả thiết, BB′ vuông góc với AC, nên $\widehat{B{B}^{\text{'}}C}=90^{\circ }$.

Tương tự, CC′ vuông góc với AB, nên $\widehat{B{C}^{\text{'}}C}=90^{\circ }$.

Suy ra, B′ và C′ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông.

Do đó, B′ và C′ nằm trên đường tròn đường kính BC.

Kết luận: Tứ giác BC′B′C nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O với đường kính AB=2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn so với đoạn AB. Từ điểm M trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). Đoạn AC cắt OM tại E, và đoạn MB cắt nửa đường tròn tại D (D≠B). Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Vì MA và MC là các tiếp tuyến, ta có $\widehat{MAO}=\widehat{MCO}=90^{\circ }$.

Do đó, đối với tứ giác AMCO, ta có:

$\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180^{\circ },$

vì vậy, tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MO.

Tiếp theo, ta có $\widehat{ABD}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), từ đó suy ra $\widehat{ADM}=90^{\circ }$(1).

Ngoài ra, ta có OA=OC=R và MA=MC (do tính chất của tiếp tuyến). Do đó, OM là đường trung trực của đoạn AC, và từ đó $\widehat{AEM}=90^{\circ }$ (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra $\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=90^{\circ }$.

Vì tứ giác AMDE có hai đỉnh A và E liền kề, đồng thời cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi, ta kết luận rằng tứ giác AMDE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MA.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC tại A. Trên đoạn AC, lấy điểm D. Hình chiếu của điểm D lên BC là E, và điểm đối xứng của E qua BD là F. Cần chứng minh rằng năm điểm A, B, E, D, F đều nằm trên cùng một đường tròn và xác định tâm O của đường tròn đó.

Vì DE⊥BC, ta có $\widehat{DBE}={90}^o$.

Do E và F đối xứng qua BD, suy ra BD là đường trung trực của đoạn EF, vì vậy BF=BE và DF=DE.

Xét tam giác BFD và tam giác BED, ta có △BFD=△BED (theo cạnh-cạnh-cạnh), từ đó suy ra $\widehat{BFD}=\widehat{BED}={90}^o$.

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A, vì AO là trung tuyến nên AO=$\frac{1}{2}$BD=OB=OD (1).

Xét tam giác vuông BDE vuông tại E, vì OE là trung tuyến nên EO=$\frac{1}{2}$BD=OB=OD (2).

Xét tam giác vuông BFD vuông tại F, vì OF là trung tuyến nên FO=$\frac{1}{2}$BD=OB=OD (3).

Từ (1), (2) và (3), ta có OA=OB=OD=OE=OF.

Do đó, năm điểm A, B, E, D, F nằm trên một đường tròn với tâm O, là trung điểm của BD.

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ các điểm A và B, vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N vuông góc với NM cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại các điểm C và D.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACNM và BDNM đều là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD

c) Tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.

a. Xét tứ giác ACNM, ta có:

$\widehat{MNC}=90^{\circ }\left(\text{do tính chất tiếp tuyến}\right),$

do đó,

$\widehat{MNC}+\widehat{MAC}=180^{\circ }\mathrm{.}$

Như vậy, tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MC.

Tương tự, tứ giác BDNM cũng là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính MD.

b. Trong hai tam giác ANB và CMD, ta có:

$\widehat{ABN}=\widehat{CDM}\left(\text{do tứ giác }BDNM\text{ nội tiếp}\right),$

 $\widehat{BAN}=\widehat{DCM}(\text{do tứ giác }ACNM\text{ nội tiếp)}\mathrm{.}$

Do đó, ta kết luận rằng tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD (theo góc-góc).

c. Vì tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD, ta có:

$\widehat{CMD}=\widehat{ANB}=90^{\circ }\left(\text{do góc }ANB\text{ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn}\right(O\left)\right)\mathrm{.}$

Do đó,

$\widehat{IMK}=\widehat{INK}=90^{\circ },$

và

$\widehat{INK}+\widehat{IMK}=180^{\circ }\mathrm{.}$

Kết luận, tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính IK.

Xem thêm:

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

Kết luận

Kết thúc phần kiến thức về tứ giác nội tiếp, chúng ta đã thấy rõ sự quan trọng và hữu ích của những tính chất hình học này trong giải quyết các bài toán đường tròn. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi mong muốn các bạn sẽ nắm bắt và vận dụng những kiến thức này trong các bài tập về đường tròn 1 cách thành thạo nhé.