Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

schedule.svg

Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.

Mục lục [Ẩn]

Khái niệm cung chứa góc

Khái niệm cung chứa góc

Cung chứa góc là kiến thức nâng cao của cung và góc trong đường tròn. Vì vậy dưới đây là lý thuyết bạn cần chú ý trước khi giải các bài tập nhé.

Định nghĩa cung chứa góc

Quỹ tích cung chứa góc: 

Với đoạn thẳng AB và góc α (0<α<1800^\circ < \alpha < 180^\circ) cho trước, quỹ tích các điểm M sao cho AMB^=α là hai cung tròn chứa góc α, được dựng dựa trên đoạn AB.

Định nghĩa cung chứa góc

Tính chất của cung chứa góc

- Hai cung tròn chứa góc α nêu trên đối xứng nhau qua đoạn thẳng AB.

- Hai điểm A và B được xem là nằm trên quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M mà đoạn thẳng AB tạo với chúng một góc vuông là đường tròn có đường kính là AB.

Cách vẽ cung chứa góc

Ta có bài toán: Với đoạn thẳng AB và góc α (0<α<1800^\circ < \alpha < 180^\circ), xác định tập hợp các điểm M sao cho AMB^=α.

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Dựng tia Ax tạo với AB một góc α.

Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với đường trung trực d.

Từ tâm O, vẽ cung tròn AmB có bán kính OA, nằm trong nửa mặt phẳng không chứa tia Ax. Cung tròn AmB chính là cung chứa góc α.

Hướng dẫn giải bài toán quỹ tích

Để chứng minh rằng quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H, cần thực hiện hai bước sau:

Phần thuận: Chứng minh rằng mọi điểm M có tính chất T đều nằm trên hình H.

Phần đảo: Chứng minh rằng mọi điểm thuộc hình H đều thỏa mãn tính chất T.

Từ hai phần trên, có thể kết luận rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất T chính là hình H.

Lưu ý: Khi giải bài toán dạng "Tìm quỹ tích...", nên phán đoán trước hình H để thuận tiện cho quá trình chứng minh.

Bài tập cung chứa góc

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến MAB đi qua tâm O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng bốn điểm B,C,M,K cùng nằm trên một đường tròn.

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến MAB đi qua tâm O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng bốn điểm B,C,M,K cùng nằm trên một đường tròn.

 

Theo giả thiết, MO là đường trung trực của CD, do đó AB cũng là đường trung trực của CD.

Suy ra, MBK^=MBC^.

Mặt khác, MBC^=MCK^(do góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CA).

Vì vậy, MBK^=MCK^.

Trong tứ giác MCBK, nếu MBK^=MCK^, thì các điểm M,C,B,K cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 2: Xét hình bình hành ABCD với AB//CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia OA, chọn điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB, chọn điểm N sao cho ON=OA. Chứng minh rằng bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Xét hình bình hành ABCD với AB//CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia OA, chọn điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB, chọn điểm N sao cho ON=OA. Chứng minh rằng bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Xét hai tam giác △AOB và △NOM, ta có:

Góc AOB^ là góc chung.

ON=OA, OM=OB (theo giả thiết).

Do đó, △AOB=△NOM (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Suy ra BAO^=MNO^.

Mặt khác, vì AB//CD (tính chất hình bình hành), nên BAO^=DCO^.

Từ đó, ta có MNO^=DCO^.

Xét tứ giác DMNC, hai góc MNO^ và DCO^ cùng chắn cung MD.

Do đó, bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Xét cung AB cố định, được tạo bởi hai bán kính OA và OB vuông góc với nhau. Điểm I di chuyển trên cung AB. Trên tia OI, lấy điểm M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ I đến OA và OB. Hãy xác định quỹ tích các điểm M.

 Xét cung AB cố định, được tạo bởi hai bán kính OA và OB vuông góc với nhau. Điểm I di chuyển trên cung AB. Trên tia OI, lấy điểm M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ I đến OA và OB. Hãy xác định quỹ tích các điểm M.

Phần thuận:

Kẻ IH⊥OA và IK⊥OB.

Điểm M thuộc tia OI, thỏa mãn OM=IH+IK (1).

Kẻ BE⊥OI.

Trong hai tam giác △OBE và △OIK, ta có:

BOE^=KOI^ (góc chung).

OB=OK (bán kính).

Do đó, △OBE=△OIK (theo cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra: OE=OK=IH và BE=IK (2).

Từ (1) và (2), ta có:
OM=IH+IK=OE+BE

Do đó, EM=EB.

Tam giác △EMB là tam giác vuông cân tại E, nên EMB^=45.

Điểm M nhìn đoạn OB cố định dưới góc 4545^\circ.

Vậy M nằm trên cung chứa góc 4545^\circ dựng trên OB. Tuy nhiên, vì M nằm bên trong góc vuông AOB, nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, là một phần của cung chứa góc 4545^\circ dựng trên OB.

Phần đảo:

Chọn điểm M bất kỳ trên cung AmB. Kẻ BE⊥OM, IH⊥OA, và IK⊥OB.

Chứng minh OM=IH+IK:

Do M thuộc cung chứa góc 4545^\circ, tam giác △EMB vuông cân tại E.

Suy ra EM=EB.

Trong hai tam giác △OBE và △OIK, ta có:

OB=OK (bán kính).

BOE^=KOI^ (góc chung).

Do đó, △OBE=△OIK.

Suy ra OE=OK=IH và BE=IK.

Do đó, OM=OE+EM=IH+IK.

Kết luận:
Quỹ tích điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc 4545^\circ dựng trên OB và nằm bên trong góc vuông AOB.

Xem thêm:

Lí thuyết về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Kết luận

Cung chứa góc trong toán 9 khi biết cách áp dụng sẽ rất hữu ích trong hình học, hỗ trợ chúng ta các chuyên đề và ứng dụng trong giải toán. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã học và nắm được những kiến thức này và có thể bắt đầu vận dụng với các bài tập hình học về cung chứa góc.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

15 chuyên đề hình học thi vào 10 trọng điểm thường gặp
schedule

Thứ năm, 16/4/2026 05:32 PM

15 chuyên đề hình học thi vào 10 trọng điểm thường gặp

Trong quá trình ôn thi vào lớp 10, hình học là phần quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi. Để giúp học sinh ôn tập hiệu quả, Gia sư Học là Giỏi tổng hợp 15 chuyên đề hình học thi vào 10 trọng điểm thường gặp, bám sát nội dung trong sách Kết nối tri thức và cuộc sống. Các chuyên đề được hệ thống rõ ràng, giúp người học nắm chắc dạng bài và cách làm.

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình vào 10
schedule

Thứ tư, 15/4/2026 04:01 PM

Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình vào 10

Kỳ thi vào lớp 10 đang đến gần, đòi hỏi học sinh cần nắm chắc kiến thức các dạng toán trọng tâm. Trong đó, chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình theo chương trình sách giáo khoa Kết nối tri thức với cuộc sống là nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Đồng hành cùng các em, Gia sư Học là Giỏi mang đến bộ tài liệu tổng hợp đầy đủ nhất với cách tiếp cận logic và dễ hiểu.

Ôn tập rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 cấp tốc
schedule

Thứ ba, 14/4/2026 12:31 PM

Ôn tập rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 cấp tốc

Ôn thi vào lớp 10 luôn là giai đoạn “nước rút” đầy áp lực, đặc biệt với những dạng toán thường xuyên xuất hiện như rút gọn biểu thức. Bài viết dưới đây, Gia sư Học là Giỏi sẽ giúp bạn ôn tập rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 cấp tốc, nhận diện dạng đề và xử lý nhanh các bài một cách hiệu quả.

Trọn bộ chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán trọng tâm
schedule

Thứ sáu, 10/4/2026 02:10 PM

Trọn bộ chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán trọng tâm

Trọn bộ chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán trọng tâm: Tổng hợp kiến thức sát đề thi thực tế, phương pháp giải toán tối ưu giúp học sinh bứt phá điểm 8, 9 và 10.

Cách tính số gần đúng và sai số nhanh và chính xác nhất
schedule

Thứ năm, 9/4/2026 04:09 PM

Cách tính số gần đúng và sai số nhanh và chính xác nhất

Trong thực tế, không phải lúc nào chúng ta cũng có được kết quả hoàn toàn chính xác, và đó là lý do xuất hiện khái niệm số gần đúng và sai số. Theo chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống, đây là nội dung quan trọng trong Toán 10. Dưới đây, Gia sư Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu rõ và áp dụng thành thạo phần kiến thức này.

Chuyên đề hàm số và đồ thị trọng tâm thi vào 10
schedule

Thứ tư, 8/4/2026 07:27 AM

Chuyên đề hàm số và đồ thị trọng tâm thi vào 10

Trong quá trình ôn thi vào lớp 10, chuyên đề Hàm số và đồ thị luôn xuất hiện với tần suất cao và đóng vai trò quyết định điểm số của học sinh lớp 9. Tuy nhiên, nhiều em vẫn gặp khó khăn khi chuyển đổi giữa lý thuyết và bài tập, đặc biệt ở các dạng toán về tương giao đồ thị và vận dụng hệ thức Vi-et. Bài viết này sẽ hệ thống hóa toàn bộ kiến thức theo hướng học thuật, rõ ràng và dễ áp dụng, giúp học sinh nắm chắc bản chất và nâng cao kỹ năng giải bài. Đồng thời, với sự đồng hành từ Gia Sư Học Là Giỏi, người học có thể tiếp cận phương pháp ôn luyện hiệu quả, bám sát cấu trúc đề thi mới nhất.

message.svg zalo.png