Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

schedule.svg

Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.

Mục lục [Ẩn]

Khái niệm cung chứa góc

Khái niệm cung chứa góc

Cung chứa góc là kiến thức nâng cao của cung và góc trong đường tròn. Vì vậy dưới đây là lý thuyết bạn cần chú ý trước khi giải các bài tập nhé.

Định nghĩa cung chứa góc

Quỹ tích cung chứa góc: 

Với đoạn thẳng AB và góc α (0<α<1800^\circ < \alpha < 180^\circ) cho trước, quỹ tích các điểm M sao cho AMB^=α là hai cung tròn chứa góc α, được dựng dựa trên đoạn AB.

Định nghĩa cung chứa góc

Tính chất của cung chứa góc

- Hai cung tròn chứa góc α nêu trên đối xứng nhau qua đoạn thẳng AB.

- Hai điểm A và B được xem là nằm trên quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M mà đoạn thẳng AB tạo với chúng một góc vuông là đường tròn có đường kính là AB.

Cách vẽ cung chứa góc

Ta có bài toán: Với đoạn thẳng AB và góc α (0<α<1800^\circ < \alpha < 180^\circ), xác định tập hợp các điểm M sao cho AMB^=α.

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Dựng tia Ax tạo với AB một góc α.

Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với đường trung trực d.

Từ tâm O, vẽ cung tròn AmB có bán kính OA, nằm trong nửa mặt phẳng không chứa tia Ax. Cung tròn AmB chính là cung chứa góc α.

Hướng dẫn giải bài toán quỹ tích

Để chứng minh rằng quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H, cần thực hiện hai bước sau:

Phần thuận: Chứng minh rằng mọi điểm M có tính chất T đều nằm trên hình H.

Phần đảo: Chứng minh rằng mọi điểm thuộc hình H đều thỏa mãn tính chất T.

Từ hai phần trên, có thể kết luận rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất T chính là hình H.

Lưu ý: Khi giải bài toán dạng "Tìm quỹ tích...", nên phán đoán trước hình H để thuận tiện cho quá trình chứng minh.

Bài tập cung chứa góc

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến MAB đi qua tâm O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng bốn điểm B,C,M,K cùng nằm trên một đường tròn.

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến MAB đi qua tâm O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng bốn điểm B,C,M,K cùng nằm trên một đường tròn.

 

Theo giả thiết, MO là đường trung trực của CD, do đó AB cũng là đường trung trực của CD.

Suy ra, MBK^=MBC^.

Mặt khác, MBC^=MCK^(do góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CA).

Vì vậy, MBK^=MCK^.

Trong tứ giác MCBK, nếu MBK^=MCK^, thì các điểm M,C,B,K cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 2: Xét hình bình hành ABCD với AB//CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia OA, chọn điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB, chọn điểm N sao cho ON=OA. Chứng minh rằng bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Xét hình bình hành ABCD với AB//CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia OA, chọn điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB, chọn điểm N sao cho ON=OA. Chứng minh rằng bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Xét hai tam giác △AOB và △NOM, ta có:

Góc AOB^ là góc chung.

ON=OA, OM=OB (theo giả thiết).

Do đó, △AOB=△NOM (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Suy ra BAO^=MNO^.

Mặt khác, vì AB//CD (tính chất hình bình hành), nên BAO^=DCO^.

Từ đó, ta có MNO^=DCO^.

Xét tứ giác DMNC, hai góc MNO^ và DCO^ cùng chắn cung MD.

Do đó, bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Xét cung AB cố định, được tạo bởi hai bán kính OA và OB vuông góc với nhau. Điểm I di chuyển trên cung AB. Trên tia OI, lấy điểm M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ I đến OA và OB. Hãy xác định quỹ tích các điểm M.

 Xét cung AB cố định, được tạo bởi hai bán kính OA và OB vuông góc với nhau. Điểm I di chuyển trên cung AB. Trên tia OI, lấy điểm M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ I đến OA và OB. Hãy xác định quỹ tích các điểm M.

Phần thuận:

Kẻ IH⊥OA và IK⊥OB.

Điểm M thuộc tia OI, thỏa mãn OM=IH+IK (1).

Kẻ BE⊥OI.

Trong hai tam giác △OBE và △OIK, ta có:

BOE^=KOI^ (góc chung).

OB=OK (bán kính).

Do đó, △OBE=△OIK (theo cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra: OE=OK=IH và BE=IK (2).

Từ (1) và (2), ta có:
OM=IH+IK=OE+BE

Do đó, EM=EB.

Tam giác △EMB là tam giác vuông cân tại E, nên EMB^=45.

Điểm M nhìn đoạn OB cố định dưới góc 4545^\circ.

Vậy M nằm trên cung chứa góc 4545^\circ dựng trên OB. Tuy nhiên, vì M nằm bên trong góc vuông AOB, nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, là một phần của cung chứa góc 4545^\circ dựng trên OB.

Phần đảo:

Chọn điểm M bất kỳ trên cung AmB. Kẻ BE⊥OM, IH⊥OA, và IK⊥OB.

Chứng minh OM=IH+IK:

Do M thuộc cung chứa góc 4545^\circ, tam giác △EMB vuông cân tại E.

Suy ra EM=EB.

Trong hai tam giác △OBE và △OIK, ta có:

OB=OK (bán kính).

BOE^=KOI^ (góc chung).

Do đó, △OBE=△OIK.

Suy ra OE=OK=IH và BE=IK.

Do đó, OM=OE+EM=IH+IK.

Kết luận:
Quỹ tích điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc 4545^\circ dựng trên OB và nằm bên trong góc vuông AOB.

Xem thêm:

Lí thuyết về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Kết luận

Cung chứa góc trong toán 9 khi biết cách áp dụng sẽ rất hữu ích trong hình học, hỗ trợ chúng ta các chuyên đề và ứng dụng trong giải toán. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã học và nắm được những kiến thức này và có thể bắt đầu vận dụng với các bài tập hình học về cung chứa góc.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Khái niệm và tính chất của phép chiếu song song lớp 11
schedule

Thứ tư, 29/4/2026 03:45 AM

Khái niệm và tính chất của phép chiếu song song lớp 11

Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào để đưa một hình không gian phức tạp về dạng quen thuộc hơn chưa? Câu trả lời nằm ở phép chiếu song song - một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 11. Khi nắm vững phần kiến thức này, bạn sẽ xử lý bài tập nhanh và chính xác hơn. Hãy cùng Gia sư Học là Giỏi tìm hiểu khái niệm và các tính chất cơ bản ngay sau đây.

Chứng minh hai mặt phẳng song song đơn giản dễ hiểu
schedule

Thứ tư, 29/4/2026 03:36 AM

Chứng minh hai mặt phẳng song song đơn giản dễ hiểu

Không phải bài toán chứng minh hai mặt phẳng song song nào cũng cần vẽ hình. Chỉ cần nắm đúng bản chất và phương pháp, bạn có thể giải nhanh gọn, không cần suy nghĩ phức tạp. Trong nội dung dưới đây, Gia sư Học là Giỏi sẽ giúp bạn tiếp cận thông minh để biến dạng toán này trở nên dễ hiểu và dễ ăn điểm.

Hai mặt phẳng song song lớp 11: Lý thuyết chi tiết dễ hiểu
schedule

Thứ ba, 28/4/2026 08:24 AM

Hai mặt phẳng song song lớp 11: Lý thuyết chi tiết dễ hiểu

Trong không gian, việc hình dung mối quan hệ giữa các mặt phẳng thường khiến nhiều học sinh “mất phương hướng”, đặc biệt khi gặp bài toán liên quan đến song song. Dựa theo kiến thức sách Kết nối tri thức và cuộc sống, Gia sư Học là Giỏi mang đến cho bạn một cách tiếp cận mới mẻ, giúp bạn hiểu rõ bản chất của hai mặt phẳng song song thay, từ đó học nhanh hơn và vận dụng chính xác hơn trong từng dạng bài.

Chinh phục đường thẳng và mặt phẳng song song trong 5 phút
schedule

Thứ ba, 28/4/2026 07:51 AM

Chinh phục đường thẳng và mặt phẳng song song trong 5 phút

Bạn mất hàng giờ đồng hồ chỉ để chứng minh đường thẳng và mặt phẳng song song? Bạn bối rối giữa hàng loạt hệ quả và định lý về giao tuyến? Trong bài viết này, Gia sư Học là Giỏi sẽ cùng bạn tối ưu hóa kiến thức, mẹo nhận diện và hướng dẫn chi tiết cách xử lý bài tập liên quan.

Giải bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
schedule

Thứ năm, 23/4/2026 10:06 AM

Giải bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Chủ đề “góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” thường khiến học sinh lớp 11 gặp khó khăn khi chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian. Bài viết này, hãy cùng Gia sư Học là Giỏi hệ thống lại cách làm và các bước giải giúp bạn tiếp cận dạng toán này một cách hiệu quả nhé!

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Công thức và bài tập mẫu
schedule

Thứ năm, 23/4/2026 09:57 AM

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Công thức và bài tập mẫu

Nếu bạn đang học phần tổng cấp số nhân lùi vô hạn nhưng lại khó khăn trong việc áp dụng công thức hoặc xác định điều kiện. Thì trong bài viết này, Gia sư Học là Giỏi sẽ giúp bạn hệ thống lại lý thuyết theo chuẩn kiến thức sách Kết nối tri thức và cuộc sống và hướng dẫn chi tiết cách giải các dạng bài tập hay gặp.

message.svg zalo.png