Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

Khái niệm cung chứa góc

Cung chứa góc là kiến thức nâng cao của cung và góc trong đường tròn. Vì vậy dưới đây là lý thuyết bạn cần chú ý trước khi giải các bài tập nhé.

Định nghĩa cung chứa góc

Quỹ tích cung chứa góc: 

Với đoạn thẳng AB và góc α ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) cho trước, quỹ tích các điểm M sao cho $\widehat{AMB}=\alpha$ là hai cung tròn chứa góc α, được dựng dựa trên đoạn AB.

Tính chất của cung chứa góc

- Hai cung tròn chứa góc α nêu trên đối xứng nhau qua đoạn thẳng AB.

- Hai điểm A và B được xem là nằm trên quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M mà đoạn thẳng AB tạo với chúng một góc vuông là đường tròn có đường kính là AB.

Cách vẽ cung chứa góc

Ta có bài toán: Với đoạn thẳng AB và góc α ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), xác định tập hợp các điểm M sao cho $\widehat{AMB}=\alpha$.

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Dựng tia Ax tạo với AB một góc α.

Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với đường trung trực d.

Từ tâm O, vẽ cung tròn AmB có bán kính OA, nằm trong nửa mặt phẳng không chứa tia Ax. Cung tròn AmB chính là cung chứa góc α.

Hướng dẫn giải bài toán quỹ tích

Để chứng minh rằng quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H, cần thực hiện hai bước sau:

Phần thuận: Chứng minh rằng mọi điểm M có tính chất T đều nằm trên hình H.

Phần đảo: Chứng minh rằng mọi điểm thuộc hình H đều thỏa mãn tính chất T.

Từ hai phần trên, có thể kết luận rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất T chính là hình H.

Lưu ý: Khi giải bài toán dạng "Tìm quỹ tích...", nên phán đoán trước hình H để thuận tiện cho quá trình chứng minh.

Bài tập cung chứa góc

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến MAB đi qua tâm O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng bốn điểm B,C,M,K cùng nằm trên một đường tròn.

Theo giả thiết, MO là đường trung trực của CD, do đó AB cũng là đường trung trực của CD.

Suy ra, $\widehat{MBK}=\widehat{MBC}$.

Mặt khác, $\widehat{MBC}=\widehat{MCK}$(do góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CA).

Vì vậy, $\widehat{MBK}=\widehat{MCK}$.

Trong tứ giác MCBK, nếu $\widehat{MBK}=\widehat{MCK}$, thì các điểm M,C,B,K cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 2: Xét hình bình hành ABCD với AB//CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia OA, chọn điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB, chọn điểm N sao cho ON=OA. Chứng minh rằng bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Xét hai tam giác △AOB và △NOM, ta có:

Góc $\widehat{AOB}$ là góc chung.

ON=OA, OM=OB (theo giả thiết).

Do đó, △AOB=△NOM (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Suy ra $\widehat{BAO}=\widehat{MNO}$.

Mặt khác, vì AB//CD (tính chất hình bình hành), nên $\widehat{BAO}=\widehat{DCO}$.

Từ đó, ta có $\widehat{MNO}=\widehat{DCO}$.

Xét tứ giác DMNC, hai góc $\widehat{MNO}$ và $\widehat{DCO}$ cùng chắn cung MD.

Do đó, bốn điểm D,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Xét cung AB cố định, được tạo bởi hai bán kính OA và OB vuông góc với nhau. Điểm I di chuyển trên cung AB. Trên tia OI, lấy điểm M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ I đến OA và OB. Hãy xác định quỹ tích các điểm M.

Phần thuận:

Kẻ IH⊥OA và IK⊥OB.

Điểm M thuộc tia OI, thỏa mãn OM=IH+IK (1).

Kẻ BE⊥OI.

Trong hai tam giác △OBE và △OIK, ta có:

$\widehat{BOE}=\widehat{KOI}$ (góc chung).

OB=OK (bán kính).

Do đó, △OBE=△OIK (theo cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra: OE=OK=IH và BE=IK (2).

Từ (1) và (2), ta có:
OM=IH+IK=OE+BE

Do đó, EM=EB.

Tam giác △EMB là tam giác vuông cân tại E, nên $\widehat{EMB}=45^{\circ }$.

Điểm M nhìn đoạn OB cố định dưới góc $45^\circ$.

Vậy M nằm trên cung chứa góc $45^\circ$ dựng trên OB. Tuy nhiên, vì M nằm bên trong góc vuông AOB, nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, là một phần của cung chứa góc $45^\circ$ dựng trên OB.

Phần đảo:

Chọn điểm M bất kỳ trên cung AmB. Kẻ BE⊥OM, IH⊥OA, và IK⊥OB.

Chứng minh OM=IH+IK:

Do M thuộc cung chứa góc $45^\circ$, tam giác △EMB vuông cân tại E.

Suy ra EM=EB.

Trong hai tam giác △OBE và △OIK, ta có:

OB=OK (bán kính).

$\widehat{BOE}=\widehat{KOI}$ (góc chung).

Do đó, △OBE=△OIK.

Suy ra OE=OK=IH và BE=IK.

Do đó, OM=OE+EM=IH+IK.

Kết luận:
Quỹ tích điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc $45^\circ$ dựng trên OB và nằm bên trong góc vuông AOB.

Xem thêm:

Lí thuyết về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Kết luận

Cung chứa góc trong toán 9 khi biết cách áp dụng sẽ rất hữu ích trong hình học, hỗ trợ chúng ta các chuyên đề và ứng dụng trong giải toán. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã học và nắm được những kiến thức này và có thể bắt đầu vận dụng với các bài tập hình học về cung chứa góc.