Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

schedule.svg

Thứ hai, 25/11/2024 09:31 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.

Mục lục [Ẩn]

Khái niệm góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có chứa đỉnh ở phía bên trong đường tròn đó.

Ví dụ: Góc BIC^ có đỉnh nằm trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, chắn hai cung là BnC và AmD.

góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Số đo của một góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng một nửa tổng số đo của hai cung mà nó chắn.

Ví dụ: Trong hình trênBIC^=12(sđ cung BC+sđ cung AD)

Khái niệm góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn là góc mà đỉnh của nó ở ngoài đường tròn, đồng thời các cạnh của góc đều cắt hoặc tiếp xúc với đường tròn.

góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Hai cung bị chắn bởi góc là hai cung nằm trong phạm vi góc đó. Trong hình trên, góc ∠BIC có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn hai cung BnC và AmD.

Định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Số đo của một góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn được tính bằng một nửa hiệu số đo của hai cung mà góc đó chắn.

Đối với hình trên, ta có: BIC^=sđ cung BnC -sđ cung AmD2

Bài tập góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và ngoài đường tròn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Xét tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Điểm D nằm trên cung AC, E là giao điểm của AC với BD, và F là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng AFB^=ABD^\widehat{AFB} = \widehat{ABD}.

Xét tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Điểm D nằm trên cung AC, E là giao điểm của AC với BD, và F là giao điểm của AD với BC.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB=AC. Do đó, suy ra số đo cung AB=AC.

Ta có:

AFB^=12(sđ ABsđ CD)=12(sđ ACsđ CD )=12sđ AD.

Mặt khác,

ABD^=12sđ AD.

Do đó, suy ra AFB^=ABD^\widehat{AFB} = \widehat{ABD}.

Bài 2: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong các góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh rằng AP⊥QR.

Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong các góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh rằng AP⊥QR.

Ta có:

Tia phân giác AP chia cung BC thành hai phần bằng nhau, do đó BP=PC.

Tương tự:

AQ=CQ, AR=BR.

Gọi S là giao điểm của AP và QR. Khi đó:

ASQ^=12(sđ AQ+sđ PR).

Ta có:

sđ AQ=12sđ AC, sđ PR=12(sđ AB+sđ BC).

Khi thay vào, ta được:

ASQ^=12(12sđ AC+12(sđ AB+sđ BC)).

Do sđ AC+sđ AB+sđ BC=360, ta có:

ASQ^=1212360=90.\widehat{ASQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 90^\circ.

Vậy AP⊥QR.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là một điểm di động trên cung nhỏ AC, F là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng tích AEBFAE \cdot BF không phụ thuộc vào vị trí của D.

Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là một điểm di động trên cung nhỏ AC, F là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng tích   A  E  ⋅  B  F  AE \cdot BF   không phụ thuộc vào vị trí của D.

Vì AB=AC, nên số đo cung AB=AC.

Ta có:

AFB^=12(sđ ABsđ CD)=12(sđ ACsđ CD)=12sđ AD.

Mặt khác:

ABD^=12sđ AD.

Do đó, AFB^=ABD^\widehat{AFB} = \widehat{ABD}.

Xét hai tam giác △AFB và △EBA:

-  AFB^=ABD^\widehat{AFB} = \widehat{ABD}(cmt)

-  FBA^=BAE^=60 vì △ABC đều.

Do đó, △AFB∼△EBA (g.g).

Từ tính chất của hai tam giác đồng dạng, ta có:

ABAE=BFAB    AEBF=AB2.\frac{AB}{AE} = \frac{BF}{AB} \implies AE \cdot BF = AB^2.

Vì AB là hằng số, suy ra AE⋅BF không thay đổi, bất kể vị trí của D.

Vậy, tích AE⋅BF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D.

Bài 4: Xét tứ giác ABCD có các góc B và D là góc tù. Chứng minh rằng AC>BD.

Xét tứ giác ABCD có các góc B và D là góc tù. Chứng minh rằng AC>BD

Vẽ đường tròn tâm O với đường kính AC.

Ta có ABC^>90\widehat{ABC} > 90^\circ và ADC^>90\widehat{ADC} > 90^\circ, do đó, B và D là hai điểm nằm trong đường tròn O.

Suy ra, chiều dài đoạn thẳng BD nhỏ hơn chiều dài của dây cung chứa nó.

Mặt khác, đường kính AC là dây cung dài nhất trong đường tròn.

Vậy, AC>BD.

Kết luận

Tìm hiểu về các loại góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn giúp ta làm quen với những định lý cơ bản trong hình học. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã nắm bắt được những kiến thức này và dễ dàng vận dụng với các bài tập trong tương lai về các loại góc đặc biệt này nhé.

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Phân số bằng nhau là gì? Cách nhận biết đơn giản nhất
schedule

Thứ năm, 3/7/2025 03:24 AM

Phân số bằng nhau là gì? Cách nhận biết đơn giản nhất

Trong chương trình Toán lớp 4, phân số bằng nhau là một trong những nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các phần. Học là Giỏi sẽ cùng bạn tìm hiểu chi tiết kiến thức về dạng phân số này trong bài viết dưới đây nhé.

Tử số và mẫu số là gì? Kiến thức nền tảng về phân số
schedule

Thứ tư, 2/7/2025 03:40 AM

Tử số và mẫu số là gì? Kiến thức nền tảng về phân số

Khi học về phân số, chắc hẳn bạn đã từng thắc mắc: Tử số và mẫu số là gì? Đây là khái niệm xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán tiểu học. Học là Giỏi sẽ cung cấp chi tiết kiến thức trong bài viết sau giúp bạn hiểu rõ tử số và mẫu số trong toán học nhé.

Các phương pháp quy đồng mẫu số các phân số
schedule

Thứ ba, 1/7/2025 08:07 AM

Các phương pháp quy đồng mẫu số các phân số

Trong chương trình toán tiểu học, phân số luôn là phần kiến thức khiến nhiều học sinh cảm thấy khó tiếp cận. Đặc biệt, việc quy đồng mẫu số thường gây nhầm lẫn nếu không được hướng dẫn cụ thể. Học là Giỏi sẽ giúp bạn giải đáp tất cả những thắc mắc về quy đồng mẫu số các phân số một cách dễ hiểu và chi tiết.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025
schedule

Thứ ba, 17/6/2025 04:12 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025

Học là Giỏi tổng hợp trọn bộ đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025 nhằm hỗ trợ học sinh thuận tiện trong việc so sánh kết quả và tự đánh giá năng lực làm bài.

Đáp án, đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2025
schedule

Thứ sáu, 13/6/2025 07:11 AM

Đáp án, đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2025

Bài viết cập nhật nhanh chóng và chính xác đề thi cùng đáp án giúp thí sinh so sánh kết quả và định hướng các nguyện vọng phù hợp. Học là Giỏi cung cấp đề thi chính thức môn Toán THPT Quốc gia 2025 được thi vào chiều ngày 26/06/2025 kèm đáp án chi tiết từng mã đề, hỗ trợ thí sinh tra cứu dễ dàng và tiện lợi.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Đắk Nông 2025
schedule

Thứ sáu, 6/6/2025 09:55 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Đắk Nông 2025

Học là Giỏi sẽ cung cấp đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Đắk Nông 2025 giúp các em dễ dàng đối chiếu bài làm, từ đó ước lượng điểm số một cách chính xác.

message.svg zalo.png