Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Khái niệm góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có chứa đỉnh ở phía bên trong đường tròn đó.

Ví dụ: Góc $\widehat{BIC}$ có đỉnh nằm trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, chắn hai cung là BnC và AmD.

Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Số đo của một góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng một nửa tổng số đo của hai cung mà nó chắn.

Ví dụ: Trong hình trên, $\widehat{BIC}=\frac{1}{2}(\text{sđ cung BC}+\text{sđ cung AD})$

Khái niệm góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn là góc mà đỉnh của nó ở ngoài đường tròn, đồng thời các cạnh của góc đều cắt hoặc tiếp xúc với đường tròn.

Hai cung bị chắn bởi góc là hai cung nằm trong phạm vi góc đó. Trong hình trên, góc ∠BIC có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn hai cung BnC và AmD.

Định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Số đo của một góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn được tính bằng một nửa hiệu số đo của hai cung mà góc đó chắn.

Đối với hình trên, ta có: $\widehat{BIC}=\frac{sđ cung BnC -sđ cung AmD}{2}$

Bài tập góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và ngoài đường tròn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Xét tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Điểm D nằm trên cung AC, E là giao điểm của AC với BD, và F là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng $\widehat{AFB} = \widehat{ABD}$.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB=AC. Do đó, suy ra số đo cung AB=AC.

Ta có:

$\widehat{AFB}=\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AB}}-\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{CD}})=\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AC}}-\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{CD}})=\frac{1}{2}\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AD}}\mathrm{.}$

AFB=21​(sđ AB⌢−sđ CD⌢)=21​(sđ AC⌢−sđ CD⌢)=21​sđ AD⌢.

Mặt khác,

$\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AD}}\mathrm{.}$

Do đó, suy ra $\widehat{AFB} = \widehat{ABD}$.

Bài 2: Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong các góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh rằng AP⊥QR.

Ta có:

Tia phân giác AP chia cung $\stackrel{⏜}{BC}$ thành hai phần bằng nhau, do đó $\stackrel{⏜}{BP}=\stackrel{⏜}{PC}$.

Tương tự:

$\stackrel{⏜}{AQ}=\stackrel{⏜}{CQ},\stackrel{⏜}{AR}=\stackrel{⏜}{BR}\mathrm{.}$

Gọi S là giao điểm của AP và QR. Khi đó:

$\widehat{ASQ}=\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AQ}}+\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{PR}})\mathrm{.}$

Ta có:

$\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AQ}}=\frac{1}{2}\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AC}},\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{PR}}=\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AB}}+\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{BC}})\mathrm{.}$

Khi thay vào, ta được:

$\widehat{ASQ}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AC}}+\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AB}}+\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{BC}}\left)\right)\mathrm{.}$

Do $\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AC}}+\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AB}}+\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{BC}}=360^{\circ }$, ta có:

$\widehat{ASQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 90^\circ.$

Vậy AP⊥QR.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là một điểm di động trên cung nhỏ AC, F là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng tích $AE \cdot BF$ không phụ thuộc vào vị trí của D.

Vì AB=AC, nên số đo cung $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$.

Ta có:

$\widehat{AFB}=\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AB}}-\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{CD}})=\frac{1}{2}(\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AC}}-\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{CD}})=\frac{1}{2}\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AD}}\mathrm{.}$

Mặt khác:

$\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\text{sđ }\stackrel{⏜}{\text{AD}}\mathrm{.}$

Do đó, $\widehat{AFB} = \widehat{ABD}$.

Xét hai tam giác △AFB và △EBA:

-  $\widehat{AFB} = \widehat{ABD}$(cmt)

-  $\widehat{FBA}=\widehat{BAE}=60^{\circ }$ vì △ABC đều.

Do đó, △AFB∼△EBA (g.g).

Từ tính chất của hai tam giác đồng dạng, ta có:

$\frac{AB}{AE} = \frac{BF}{AB} \implies AE \cdot BF = AB^2.$

Vì AB là hằng số, suy ra AE⋅BF không thay đổi, bất kể vị trí của D.

Vậy, tích AE⋅BF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D.

Bài 4: Xét tứ giác ABCD có các góc B và D là góc tù. Chứng minh rằng AC>BD.

Vẽ đường tròn tâm O với đường kính AC.

Ta có $\widehat{ABC} > 90^\circ$ và $\widehat{ADC} > 90^\circ$, do đó, B và D là hai điểm nằm trong đường tròn O.

Suy ra, chiều dài đoạn thẳng BD nhỏ hơn chiều dài của dây cung chứa nó.

Mặt khác, đường kính AC là dây cung dài nhất trong đường tròn.

Vậy, AC>BD.

Kết luận

Tìm hiểu về các loại góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn giúp ta làm quen với những định lý cơ bản trong hình học. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã nắm bắt được những kiến thức này và dễ dàng vận dụng với các bài tập trong tương lai về các loại góc đặc biệt này nhé.