Lí thuyết về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Định nghĩa góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chưa dây cung của đường tròn đó.

Như vậy, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cần thỏa mãn các điều kiện sau:

- Đỉnh nằm trên đường tròn

- Một cạnh chứa tiếp điểm của đường tròn

- Cạnh còn lại sẽ chứa dây cung của đường tròn

Vậy chỉ cần thiếu ít nhất 1 trong 3 điều kiện trên thì góc đó không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Ví dụ: Góc BAx hình dưới đây được hình thành bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cung AB của đường tròn.

Định lý

Số đo của góc được tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo của cung mà nó chắn.

Ví dụ:

$$\begin{gathered} \widehat{BAx}=\frac{1}{2} số đo cung AmB \\ \widehat{BAy}=\frac{1}{2} số đo cung AnB \end{gathered}$$

Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung sẽ bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BmC.

Góc BCy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung CB, cũng chắn cung nhỏ BmC.

Do đó: $\widehat{BAC}=\widehat{BCy}=\frac{1}{2}$ số đo cung BmC.

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các tam giác đồng dạng, các hệ thức về cạnh

Phương pháp:

Ta sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp:

Dạng 2: Chứng minh các đường thẳng vuông góc, song song. Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn. Tính độ dài bán kính, độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pytago.

Bài tập góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Dưới đây là các bài tập cơ bản và nâng cao giúp học sinh dễ dàng hiểu cách áp dụng lý thuyết về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, đồng thời sử dụng ký hiệu góc dạng mũ để tăng tính trực quan.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm trên đường tròn. Tia tiếp tuyến tại A cắt đường kính BC của đường tròn tại S. Biết $\widehat{SAB}=30^{\circ }$, hãy tính độ dài đoạn AC theo bán kính R.

Ta có:
$\widehat{SAB} + \widehat{BAO} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BAO} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$

Tam giác △OBA cân tại O, nên $\widehat{BAO} = 60^\circ.$
Vì vậy, △OBA là tam giác đều.

Suy ra: AB=OB=R.

Góc $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Do đó, $\widehat{BAC} = 90^\circ.$

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác △ABC:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = R\sqrt{3}.$

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm I nằm ngoài đường tròn với OI=2R. Điểm C thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyến AI của đường tròn. Gọi B là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (O), trong đó B nằm giữa O và I. Tính số đo góc $\widehat{ACB}$.

Ta có:
BI=OI−OB=2R−R=R.

Trong tam giác vuông AOI:
B là trung điểm của đoạn OI.

Do đó: BA=BI=BO=R.

Suy ra tam giác △OBA là tam giác đều (các cạnh đều bằng R).

Vậy: $\widehat{BOA} = 60^\circ \Rightarrow \widehat{ACB} = 30^\circ$.

Vì $\widehat{BOA}$ là góc ở tâm chắn cung AB,

và $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB, nên:

$\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \widehat{BOA}.$

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O′) cắt đường tròn (O) tại điểm C, và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường tròn (O′) tại điểm D.

Chứng minh: $AB^2 = BD \cdot BC$.

Xét tam giác MAB và tam giác MCA có:
$\widehat{M}$ chung,
$\widehat{MAB} = \widehat{MCA}$
(góc được tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung AB).

Do đó, △MAB và △MCA đồng dạng với nhau (g.g).

Suy ra:

$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MA} \Rightarrow MA^2 = MB \cdot MC.$

 Xem thêm:

Tiếp tuyến là gì? Tất tần tật về tiếp tuyến mà bạn cần biết

Lí thuyết về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Kết luận

Trên đây là tổng hợp lí thuyết và dạng bài tập thường gặp về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong chương trình môn Toán lớp 9. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng để giải được các bài toán liên quan.