Tổng hợp các ký hiệu toán học cần ghi nhớ

Thứ sáu, 11/4/2025 10:06 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Trong toán học, ký hiệu đóng vai trò giúp con người biểu đạt những khái niệm trừu tượng một cách logic và hệ thống. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cung cấp các ký hiệu toán học ở trong bài viết để bạn có thể nắm bắt và biết cách sử dụng hơn nhé.

Mục lục [Ẩn]

Ký hiệu toán học là gì?

Ký hiệu toán học là những hình vẽ, chữ cái hoặc biểu tượng đặc biệt được dùng để biểu diễn các khái niệm, phép toán và đối tượng trong toán học. Nhờ có các ký hiệu này, ta có thể viết các biểu thức, phương trình, công thức… một cách ngắn gọn, rõ ràng và chính xác hơn thay vì dùng lời văn dài dòng.

Các ký hiệu toán học phổ biến và cơ bản nhất

Dưới đây là bảng tổng hợp các ký hiệu toán học cơ bản thường xuyên được sử dụng.

Ký hiệu	Tên gọi	Công dụng / Ý nghĩa	Ví dụ minh họa
=	Dấu bằng	Biểu thị hai vế có giá trị bằng nhau	3 = 1 + 2
≠	Dấu không bằng	Thể hiện sự khác biệt về giá trị giữa hai biểu thức	3 ≠ 4
≈	Gần đúng, xấp xỉ	Chỉ sự tương đương gần đúng	sin(0,01) ≈ 0,01
>	Lớn hơn	So sánh: vế trái lớn hơn vế phải	4 > 3
<	Nhỏ hơn	So sánh: vế trái nhỏ hơn vế phải	3 < 4
≥	Lớn hơn hoặc bằng	Biểu thị không nhỏ hơn giá trị so sánh	a ≥ b nghĩa là a ≥ b
≤	Nhỏ hơn hoặc bằng	Biểu thị không lớn hơn giá trị so sánh	a ≤ b nghĩa là a ≤ b
()	Ngoặc tròn	Ưu tiên tính toán trong biểu thức	2 × (4 + 6) = 20
[]	Ngoặc vuông	Tương tự ngoặc tròn, dùng khi có nhiều lớp ngoặc	[(8 + 2) × (1 + 1)] = 20
+	Dấu cộng	Thực hiện phép cộng	1 + 3 = 4
-	Dấu trừ	Thực hiện phép trừ	4 - 1 = 3
±	Cộng - trừ	Ký hiệu hai trường hợp cộng và trừ	3 ± 1 = 4 hoặc 2
∓	Trừ - cộng	Ngược với ± trong biểu thức đối xứng	3 ∓ 2 = 1 hoặc 5
* hoặc ×	Dấu nhân	Thực hiện phép nhân	2 × 4 = 8, 2 * 5 = 10
⋅	Chấm giữa (phép nhân)	Biểu diễn phép nhân (thường trong số học cao cấp)	3 ⋅ 4 = 12
÷ hoặc /	Dấu chia	Thực hiện phép chia	4 ÷ 2 = 2, 4 / 2 = 2
− (phân số)	Phân số	Chia theo dạng phân số	6/3 = 2
mod	Modulo	Tính phần dư sau phép chia	9 mod 2 = 1
. (dấu chấm)	Dấu thập phân	Phân tách phần nguyên và phần lẻ	3.56 = 3 + 56/100
aᵇ hoặc a^b	Lũy thừa, mũ	Nhân a với chính nó b lần	3³ = 27 hoặc 3^3 = 27
√a	Căn bậc hai	Tìm số mà bình phương lên bằng a	√4 = ±2
∛a	Căn bậc ba	Số nhân ba lần bằng a	∛27 = 3
ⁿ√a	Căn bậc n	Căn số theo bậc n	⁴√81 = ±3
%	Phần trăm	Một phần trong 100 phần	10% × 20 = 2
‰	Phần nghìn	Một phần trong 1.000 phần	10‰ × 20 = 0.2
ppm	Phần triệu	Một phần trong một triệu	10ppm × 20 = 0.0002
ppb	Phần tỷ	Một phần trong một tỷ	10ppb × 20 = 2 × 10⁻⁷
ppt	Phần nghìn tỷ	Một phần trong một nghìn tỷ	10ppt × 20 = 2 × 10⁻¹⁰

Các ký hiệu tập hợp số đặc biệt trong toán học

Ký hiệu	Tên tập số	Nội dung và ví dụ
ℕ₀	Tập số tự nhiên có 0	ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, …} ⇒ 0 ∈ ℕ₀
ℕ₁	Tập số tự nhiên không có 0	ℕ₁ = {1, 2, 3, …} ⇒ 1 ∈ ℕ₁
ℤ	Tập số nguyên	ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} ⇒ -4 ∈ ℤ
ℚ	Tập số hữu tỉ	ℚ = {x}
ℝ	Tập số thực	ℝ = {y}
ℂ	Tập số phức	ℂ = {z}

Các ký hiệu số mô tả trong toán học

Số đếm (Tiếng Việt)	Ký hiệu Tây Ả Rập	Số La Mã (Roman)	Chữ số Đông Ả Rập	Chữ số Do Thái
Không	0	–	٠	–
Một	1	I	١	א
Hai	2	II	٢	ב
Ba	3	III	٣	ג
Bốn	4	IV	٤	ד
Năm	5	V	٥	ה
Sáu	6	VI	٦	ו
Bảy	7	VII	٧	ז
Tám	8	VIII	٨	ח
Chín	9	IX	٩	ט
Mười	10	X	١٠	י
Mười một	11	XI	١١	יא
Mười hai	12	XII	١٢	יב
Mười ba	13	XIII	١٣	יג
Mười bốn	14	XIV	١٤	יד
Mười lăm	15	XV	١٥	טו
Mười sáu	16	XVI	١٦	טז
Mười bảy	17	XVII	١٧	יז
Mười tám	18	XVIII	١٨	יח
Mười chín	19	XIX	١٩	יט
Hai mươi	20	XX	٢٠	כ
Ba mươi	30	XXX	٣٠	ל
Bốn mươi	40	XL	٤٠	מ
Năm mươi	50	L	٥٠	נ
Sáu mươi	60	LX	٦٠	ס
Bảy mươi	70	LXX	٧٠	ע
Tám mươi	80	LXXX	٨٠	פ
Chín mươi	90	XC	٩٠	צ
Một trăm	100	C	١٠٠	ק

Các ký hiệu toán học trong đại số

Biểu tượng	Tên gọi thay thế	Chức năng / Ý nghĩa	Ví dụ minh họa
x	Biến x	Đại diện cho giá trị chưa xác định	4x = 8 ⇒ x = 2
≡	Ký hiệu đồng nhất	Hai vế hoàn toàn tương đương	3≡3
≜ hoặc :=	Ký hiệu định nghĩa	Dùng để biểu thị sự định nghĩa	P(A∣B) ≜ P(A∩B)/P(B)
~	Gần đúng yếu	Biểu thị hai đại lượng gần bằng	2,7 ~ 32
∝	Tỉ lệ thuận	Cho thấy một đại lượng tỉ lệ với đại lượng khác	b ∝ a khi b = ka
∞	Biểu tượng vô tận	Đại diện cho giá trị không giới hạn	1.∞ = ∞
≪	Nhỏ hơn rất nhiều	So sánh với sự chênh lệch cực lớn giữa hai đại lượng	2 ≪ 2.000.000.000
≫	Lớn hơn rất nhiều	Diễn đạt sự vượt trội về giá trị so với đại lượng còn lại	2.000.000.000 ≫ 2
{}	Ngoặc nhọn	Dùng trong định nghĩa tập hợp	{2;4;6;8;...}
⌊x⌋	Hàm sàn (làm tròn xuống)	Làm tròn số xuống giá trị nguyên gần nhất	⌊4,4⌋ = 4
⌈x⌉	Hàm trần (làm tròn lên)	Làm tròn số lên giá trị nguyên gần nhất	⌈4,4⌉ = 5
x!	Dấu giai thừa	Nhân tất cả các số nguyên từ 1 đến x	5! = 1×2×3×4×5
\|x\|	Giá trị tuyệt đối	Khoảng cách từ x đến 0, luôn là số dương	\|-3\| = 3
f(x)	Hàm số theo biến x	Biểu diễn mối quan hệ giữa biến x và kết quả f(x)	f(x) = 2x + 4
(f ∘ g)	Hàm hợp	Là sự kết hợp giữa hai hàm số	(h ∘ i)(x) = h(i(x))
∆	Delta	Ký hiệu cho sự thay đổi của một đại lượng	∆t = t₂ - t₁
∏	Ký hiệu tích (Pi viết hoa)	Đại diện cho phép nhân liên tiếp nhiều phần tử	∏xi = x₁·x₂·...·xn
e	Hằng số Euler	Một hằng số toán học ≈ 2,718281... dùng trong hàm mũ và logarit tự nhiên	e = lim (1 + 1/x)^x khi x → ∞
γ	Hằng số Euler-Mascheroni	Một hằng số đặc biệt trong giải tích ≈ 0,5772156649	γ ≈ 0,5772156649
φ	Ký hiệu Phi	Một tỉ lệ đẹp và thường xuất hiện trong tự nhiên, nghệ thuật	φ ≈ 1,618...
π	Hằng số pi	Tỉ số giữa chu vi và đường kính hình tròn	C = 2·π·r

Các ký hiệu toán học trong xác suất thống kê

Biểu tượng	Tên gọi tương đương	Chức năng / Giải nghĩa	Ví dụ minh họa
P(A)	Xác suất của A	Khả năng xảy ra của biến cố A	P(A) = 0,3
P(A ∩ B)	Xác suất giao nhau	Khả năng cả A và B cùng xảy ra	P(A ∩ B) = 0,5
P(A ∪ B)	Xác suất hợp	Khả năng xảy ra ít nhất một trong hai sự kiện A hoặc B	P(A ∪ B) = 0,1
P ( A \| B )	Xác suất có điều kiện	Khả năng xảy ra của A khi biết rằng B đã xảy ra	P ( A \| B ) = 0,05
f(x)	Hàm mật độ xác suất (PDF)	Hàm mô tả mật độ phân bố xác suất liên tục	Q(a ≤ x ≤ b) = ∫ f(x) dx, f(x) = 2x + 3
F(x)	Hàm phân phối tích lũy (CDF)	Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn hoặc bằng x	F(x) = 0,1
μ	Trung bình quần thể	Kỳ vọng toán học của toàn bộ dân số	μ = 12
E(X)	Giá trị kỳ vọng	Trung bình lý thuyết của biến ngẫu nhiên X	E(X) = 10
E(X \| Y)	Kỳ vọng có điều kiện	Kỳ vọng của X khi biết trước giá trị của Y	E(X \| Y) = 0,4
Var(X)	Phương sai của X	Mức độ phân tán của X quanh giá trị kỳ vọng	Var(X) = 3
σ²	Phương sai quần thể	Trung bình của bình phương độ lệch	σ² = 9
std(X)	Độ lệch chuẩn của X	Căn bậc hai của phương sai của biến ngẫu nhiên X	std(X) = 3
σₓ	Độ lệch chuẩn của biến X	Mức độ phân tán của giá trị X	σₓ = 4
cov(X, Y)	Hiệp phương sai	Mức độ cùng biến thiên của hai biến ngẫu nhiên X và Y	cov(X, Y) = 6
corr(X, Y)	Hệ số tương quan	Đo lường mức độ liên kết tuyến tính giữa X và Y	corr(X, Y) = 0,7
ρₓ,ᵧ	Hệ số tương quan (ký hiệu Hy Lạp)	Cách khác để biểu diễn hệ số tương quan	ρₓ,ᵧ = 0,8
∑	Ký hiệu tổng	Tổng của một chuỗi số hoặc các giá trị	∑₁³ xᵢ = x₁ + x₂ + x₃
∑∑	Tổng lồng nhau (hai chiều)	Tổng qua hai chỉ số, thường dùng trong ma trận hoặc bảng giá trị	∑₁³ ∑₁⁹ xᵢⱼ = ∑ xᵢ₁ + ∑ xᵢ₃
Mo	Mốt (mode)	Giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong tập dữ liệu	Mo = 2
MR	Khoảng trung bình	Trung bình cộng giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất	MR = (x₁ + x₂) / 2
Md	Trung vị mẫu (median)	Giá trị chính giữa của tập dữ liệu đã được sắp xếp	Md = 5
Q₁, Q₂, Q₃	Các phần tư (quartiles)	Chia dữ liệu thành 4 phần bằng nhau (Q₂ là trung vị)
x̄	Trung bình mẫu	Trung bình của tập dữ liệu rút từ tổng thể
s²	Phương sai mẫu	Đo lường sự phân tán trong mẫu dữ liệu	s² = 8
s	Độ lệch chuẩn mẫu	Căn bậc hai của phương sai mẫu	s = 2
zₓ	Điểm z (z-score)	Số độ lệch chuẩn mà một điểm dữ liệu cách trung bình mẫu	zₐ = (a - x̄) / sₐ
X ~	Ký hiệu phân phối	Biến ngẫu nhiên X tuân theo một phân phối xác định	X ~ N(0, 2)
N(μ, σ²)	Phân phối chuẩn	Phân phối chuông, Gaussian	—
U(a, b)	Phân phối đều	Mỗi giá trị trong khoảng a đến b đều có xác suất bằng nhau	X ~ U(0, 2)
exp(λ)	Phân phối mũ	Dùng để mô hình hóa thời gian giữa hai sự kiện ngẫu nhiên	f(y) = λe^(-λy), y ≥ 0
gamma(c, λ)	Phân phối gamma	Mô hình hóa thời gian đến sự kiện thứ c	f(x) = (λ^c x^{c-1} e^{-λx}) / Γ(c), x ≥ 0
χ²(h)	Phân phối chi bình phương	Phân phối thường dùng trong kiểm định giả thuyết	f(x) = x^{h/2−1} e^{-x/2} / [2^{h/2} Γ(h/2)]
F(k₁, k₂)	Phân phối F	Sử dụng trong so sánh phương sai
Bin(n, p)	Phân phối nhị thức	Xác suất có k lần thành công trong n phép thử độc lập	f(k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}
Poisson(λ)	Phân phối Poisson	Mô tả số lần xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian cố định	f(k) = (λ^k e^{-λ}) / k!
Geom(p)	Phân phối hình học	Xác suất để lần thành công đầu tiên xảy ra tại lần thử thứ k
Bern(p)	Phân phối Bernoulli	Mô hình hóa biến nhị phân: thành công (1) và thất bại (0)

Các ký hiệu phân tích và giải tích

Ký hiệu	Tên gọi	Giải thích	Ví dụ minh họa
lim	Giới hạn	Giá trị mà một hàm tiến dần tới khi biến số tiến gần đến một giá trị xác định	lim (x→2) (x² + 1) = 5
ε	Epsilon	Biểu diễn một số dương cực nhỏ, gần bằng 0	Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho...
e	Hằng số Euler	Cơ số của logarit tự nhiên, giá trị xấp xỉ 2.718	lim (x→∞) (1 + 1/x)^x = e
y'	Đạo hàm bậc một	Tốc độ thay đổi đầu tiên của hàm số theo biến số	Nếu y = x³, thì y' = 3x²
y''	Đạo hàm bậc hai	Tốc độ thay đổi của đạo hàm thứ nhất	Nếu y = x⁴, thì y'' = 12x²
y⁽ⁿ⁾	Đạo hàm cấp n	Lặp lại quá trình đạo hàm n lần	f⁽³⁾(x) = d³f/dx³
dy/dx	Vi phân bậc một	Tỷ lệ thay đổi của y theo x, ký hiệu Leibniz	dy/dx (x² + 2x) = 2x + 2
d²y/dx²	Vi phân bậc hai	Đạo hàm của đạo hàm đầu	d²/dx² (x³) = 6x
dⁿy/dxⁿ	Vi phân cấp n	Lặp lại quá trình vi phân n lần	d⁴/dx⁴ (x⁴) = 24
ẏ (dot y)	Đạo hàm theo thời gian	Biểu diễn đạo hàm theo biến thời gian, ký hiệu Newton	Nếu y = t², thì ẏ = 2t
ÿ	Đạo hàm thời gian bậc hai	Đạo hàm bậc hai của hàm theo thời gian	Nếu y = t³, thì ÿ = 6t
Dₓy	Đạo hàm Euler	Ký hiệu đạo hàm theo biến x theo dạng Euler	Dₓ(x²) = 2x
Dₓ²y	Đạo hàm bậc hai kiểu Euler	Đạo hàm hai lần theo Euler	Dₓ²(x³) = 6x
∂f/∂x	Đạo hàm riêng	Đạo hàm theo một biến trong hàm nhiều biến	∂/∂x (x² + y²) = 2x
∫	Tích phân	Tính diện tích dưới đường cong hàm số	∫ (2x + 1) dx = x² + x + C
∬	Tích phân hai lớp	Tích phân với hai biến	∬ x*y dxdy
∭	Tích phân ba lớp	Tích phân với ba biến	∭ xyz dxdydz
∮	Tích phân theo đường đóng	Tích phân trên một đường cong khép kín	∮ F·dr
∯	Tích phân mặt kín	Tích phân trên một mặt phẳng khép kín
∰	Tích phân thể tích đóng	Tích phân trên thể tích kín
[a, b]	Khoảng đóng	Tập chứa tất cả các giá trị từ a đến b, gồm cả hai đầu mút	[0, 3] bao gồm cả 0 và 3
(a, b)	Khoảng mở	Tập chứa các giá trị nằm giữa a và b, không gồm hai đầu mút	(1, 5) loại trừ 1 và 5
i	Đơn vị ảo	Căn bậc hai của -1 trong số phức	i² = -1
z*	Liên hợp số phức	Đảo dấu phần ảo của số phức	Nếu z = 3 + 4i thì z* = 3 - 4i
Re(z)	Phần thực	Thành phần thực trong số phức	Re(5 - 2i) = 5
Im(z)	Phần ảo	Thành phần ảo trong số phức	Im(-3 + 7i) = 7
`	z	`	Môđun số phức
arg(z)	Góc pha	Góc tạo bởi vector số phức với trục thực trong mặt phẳng phức
∇	Nabla / Del	Toán tử vector ứng với gradient, divergence, curl	∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
x * y	Phép chập	Kết hợp hai tín hiệu bằng phép tích chập	h(t) = x(t) * y(t)
F(s)	Biến đổi Laplace	Biến đổi một hàm trong miền thời gian sang miền tần số	F(s) = ∫₀^∞ e^(-st)f(t)dt
X(ω)	Biến đổi Fourier	Biến đổi một hàm theo thời gian thành hàm theo tần số	X(ω) = ∫ f(t)e^(-iωt) dt
δ(t)	Hàm delta Dirac	Hàm lý tưởng, chỉ có giá trị tại t = 0	∫ f(t)δ(t - a) dt = f(a)
∞	Vô cùng	Đại lượng không giới hạn	lim (x→∞) (1/x) = 0

Các ký hiệu trong hình học

Ký hiệu	Tên gọi	Giải thích	Ví dụ minh họa
∠	Góc	Hình tạo thành từ hai tia chung gốc	∠XYZ = 45°
∟	Góc vuông	Góc có độ lớn chính xác bằng 90°	∠PQR = 90°
°	Độ (degree)	Đơn vị đo góc, một vòng tròn đầy có 360°	Một góc vuông bằng 90°
deg	Độ (viết tắt khác)	Cách khác để biểu diễn đơn vị độ	θ = 120deg
'	Phút cung (arcminute)	1 độ = 60 phút cung	∠ABC = 45° 30′
	Giây cung (arcsecond)	1 phút cung = 60 giây cung	∠DEF = 12° 15′20″
AB	Đoạn thẳng	Đoạn thẳng nối hai điểm A và B	Độ dài AB = 8cm
→AB	Tia	Tia bắt đầu từ điểm A và đi qua điểm B không giới hạn	→AB nằm trên trục số
⌒AB	Cung tròn	Phần đường tròn nằm giữa hai điểm A và B	Cung ⌒AB có số đo 60°
⊥	Vuông góc	Hai đường thẳng giao nhau tạo thành góc vuông	MN ⊥ PQ
∥	Song song	Hai đường thẳng không bao giờ cắt nhau, cùng hướng	CD ∥ EF
~	Đồng dạng	Hai hình có cùng dạng nhưng có thể khác kích thước	△LMN ~ △XYZ
Δ	Tam giác	Ký hiệu biểu diễn tam giác	ΔMNP có chu vi là 24cm
`	x - y	`	Khoảng cách
π	Số pi	Tỉ số giữa chu vi và đường kính của đường tròn, giá trị xấp xỉ 3.14	C = 2πr
rad	Radian	Đơn vị đo góc dựa trên cung tròn, 2π rad = 360°	π rad = 180°
c	Radian (ký hiệu thay thế)	Một cách ký hiệu khác cho radian	1 vòng tròn = 2πc
grad	Góc gradian	Đơn vị đo góc theo hệ 400 độ (mỗi góc vuông = 100 grad)	90° = 100 grad
g	Gons	Viết tắt khác cho đơn vị gradian	1 vòng = 400g
AÔB	Góc hình cầu	Góc được xác định trên mặt cầu giữa hai bán kính OA và OB	∠AÔB = 70° (trên mặt cầu)

Các ký hiệu Hy Lạp

Chữ in hoa	Chữ thường	Tên chữ Hy Lạp	Âm tương ứng	Cách đọc gần đúng
A	α	Alpha	a	an-pha
B	β	Beta	b	bê-ta
Γ	γ	Gamma	g	gam-ma
Δ	δ	Delta	d	đen-ta
E	ε	Epsilon	e	ép-si-lon
Z	ζ	Zeta	z	dê-ta
H	η	Eta	ê	ê-ta
Θ	θ	Theta	th	thê-ta
I	ι	Iota	i	ai-ô-ta
K	κ	Kappa	k	ka-pa
Λ	λ	Lambda	l	lam-đa
M	μ	Mu	m	miu
N	ν	Nu	n	niu
Ξ	ξ	Xi	x	xi
O	ο	Omicron	o	ô-mi-cron
Π	π	Pi	p	pai
Ρ	ρ	Rho	r	rô
Σ	σ	Sigma	s	xích-ma
Τ	τ	Tau	t	tao
Υ	υ	Upsilon	u/y	úp-si-lon
Φ	φ	Phi	ph	phi (như trong “phí”)
Χ	χ	Chi	kh/ch	khai
Ψ	ψ	Psi	ps	p-xai
Ω	ω	Omega	o	ô-mê-ga

Các ký hiệu đặc biệt

Ký hiệu	Tên gọi	Nghĩa biểu đạt	Ví dụ minh hoạ
⋅	Dấu chấm giữa	Kết nối hai yếu tố bằng phép “và”	a ⋅ b
^	Lũy thừa / Dấu mũ	Kết hợp hoặc nâng lũy thừa	x ^ 3
&	Dấu “and”	Biểu thị phép hội (và) trong logic	p & q
+	Dấu cộng	Tượng trưng cho phép “hoặc” hoặc phép cộng	x + y
∨	Dấu “hoặc” logic	Phép tuyển – một trong hai điều kiện	x ∨ y
\|	Vạch dọc	Biểu diễn phép “hoặc”	a \| b
x′	Dấu phẩy trên	Phủ định hoặc biến đổi của x	x′
¯x	Gạch ngang trên	Biểu thị phủ định (not x)	¯x
¬	Phủ định logic	Tương đương với “không phải”	¬p
!	Dấu chấm than	Cách viết khác của phủ định	!x
⊕	Dấu cộng tròn (XOR)	“Hoặc loại trừ” – chỉ đúng một trong hai	a ⊕ b
~	Dấu ngã	Cũng dùng để phủ định	~q
⇒	Mũi tên đơn	Biểu thị mối quan hệ kéo theo (suy ra)	p ⇒ q
⇔	Mũi tên hai chiều	Diễn tả sự tương đương logic (khi và chỉ khi)	a ⇔ b
↔	Dạng khác của ⇔	Biểu đạt sự tương đương	m ↔ n
∀	Ký hiệu “mọi”	Đại diện cho tất cả đối tượng	∀x ∈ N, x ≥ 0
∃	Ký hiệu “tồn tại”	Diễn tả tồn tại ít nhất một trường hợp	∃x ∈ R, x² = 2
∄	Phủ định của tồn tại	Không tồn tại trường hợp nào	∄x ∈ Z, x² = -1
∴	Ký hiệu “do đó”	Đưa ra kết luận từ lập luận trước	p ⇒ q, ∴ q
∵	Ký hiệu “bởi vì”	Trình bày lý do hoặc căn cứ	∵ x > 0, ∴ √x là có thực

Các ký hiệu toán học về lý thuyết

Ký hiệu	Tên ký hiệu	Diễn giải	Ví dụ minh họa
{}	Tập hợp	Một nhóm gồm các phần tử không lặp lại	X = {1, 4, 7}, Y = {2, 4, 6}
A ∩ B	Giao giữa hai tập	Những phần tử xuất hiện đồng thời trong cả A và B	A ∩ B = {4}
A ∪ B	Hợp của hai tập	Tập chứa toàn bộ phần tử thuộc A hoặc B (không trùng lặp)	A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7}
A ⊆ B	Tập con	Mọi phần tử của A đều nằm trong B	{2, 6} ⊆ {2, 4, 6, 8}
A ⊂ B	Tập con nghiêm ngặt	A là tập con của B nhưng không bằng B	{2, 6} ⊂ {2, 4, 6}
A ⊄ B	Không phải tập con	Có phần tử trong A không nằm trong B	{2, 9} ⊄ {1, 2, 3}
A ⊇ B	Siêu tập hợp	A bao gồm toàn bộ phần tử của B	{1, 3, 5, 7} ⊇ {3, 5}
A ⊃ B	Siêu tập hợp nghiêm ngặt	A chứa B, nhưng A lớn hơn B	{3, 5, 9} ⊃ {3, 5}
A = B	Tập bằng nhau	Hai tập có cùng các phần tử, bất kể thứ tự	A = {7, 1, 3}, B = {3, 1, 7} ⇒ A = B
Aᶜ	Bổ sung	Tập các phần tử không thuộc A	Nếu A ⊂ U, thì Aᶜ là các phần tử trong U \ A
A \ B	Hiệu hai tập	Các phần tử thuộc A nhưng không có trong B	A = {2, 4, 6}, B = {4} ⇒ A \ B = {2, 6}
A - B	Hiệu hai tập (cách viết khác)	Cách khác để biểu thị A \ B	A = {a, b, c}, B = {b} ⇒ A - B = {a, c}
A ∆ B	Phân biệt đối xứng	Tập hợp phần tử chỉ thuộc A hoặc B, nhưng không thuộc cả hai	A = {1, 2}, B = {2, 3} ⇒ A ∆ B = {1, 3}
A ⊖ B	Phân biệt đối xứng (viết khác)	Biểu thị tương tự A ∆ B	A = {x, y}, B = {y, z} ⇒ A ⊖ B = {x, z}
a ∈ A	Thuộc tập	a là một phần tử của tập A	4 ∈ {2, 4, 6}
x ∉ A	Không thuộc tập	x không phải phần tử trong A	5 ∉ {1, 2, 3}
(a, b)	Cặp có thứ tự	Bộ gồm hai phần tử với vị trí xác định	(2, 5) ≠ (5, 2)
A × B	Tích Descartes	Tập hợp tất cả các cặp có thể tạo từ A và B	A = {1,2}, B = {x,y} ⇒ A × B = {(1,x), (1,y),...}
#A	Cách viết khác của	A
ℵ₀	Aleph-null	Ký hiệu độ lớn của tập hợp số tự nhiên vô hạn	ℵ₀ là bậc vô hạn nhỏ nhất
∅ hoặc {}	Tập rỗng	Tập không chứa phần tử nào	D = ∅

Kết luận

Qua những ký hiệu toán học đơn giản hay phức tạp ở trên, ta dễ dàng nắm vững được những kí hiệu đặc biệt thông minh và logic hơn. Trung tâm gia sư online Học Là Giỏi hy vọng rằng thông qua bài viết này sẽ giúp bạn cải thiện thêm kiến thức về các ký hiệu đặc biệt khi sử dụng trong toán nhé.

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết xem nhiều