Tổng hợp kiến thức về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa:

Bất phương trình có dạng ax + b < 0 (hoặc $ax + b > 0, ax + b ⩽ 0, ax + b ⩾ 0$), trong đó a và b là các số đã cho với điều kiện a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

+ Bất phương trình 6x – 5 > 0 là bất phương trình bậc nhất theo ẩn x.

+ Bất phương trình 4(y + 1) – 2 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất theo ẩn y.

Quy tắc biến đổi bất phương trình

Bất phương trình yêu cầu ta tìm ra ẩn số và đòi hỏi sự hiểu biết trong việc nắm vững và áp dụng các quy tắc biến đổi. Dưới đây là cách giải bất phương trình qua hai quy tắc quan trọng: quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số.

Quy tắc chuyển vế

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:

a + b - c <0  ⇔ a + b < c  →   chuyển vế và đổi dấu.

Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy.

Ví dụ: Giải bất phương trình: x − 12 > 6.

Lời giải

x − 10 > 5

⇔ x > 5 + 10 (chuyển vế − 10 và đổi dấu thành 10)

⇔ x > 15.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x | x > 15}.

Quy tắc nhân với một số

Khi nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ: Giải các bất phương trình: 

a) 0,5x > 4;

b) − 1/2 x < 3 . 

Lời giải

a) 0,5x ≥ 4

⇔ 0,5x . 2 ≥ 4 . 2 (nhân cả hai vế với 2) 

⇔ x ≥ 8. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x | x ≥ 8}.

 b) − 1/2 x < 3

 ⇔ − 1/2 x.( − 2 ) > 3.( − 2 ) (nhân cả hai vế với − 2 và đổi chiều) 

⇔ x > −6.

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x | x > −6}.

Phương pháp áp dụng

Ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng khi áp dụng hai quy tắc biến đổi trên: 

ax + b > 0 

⇔ ax > − b 

⇔ x > − b/a nếu a > 0 hoặc x < − b/a nếu a < 0. 

Vậy nghiệm của bất phương trình ax + b > 0 là: S1 = $\left\{x|x>-b/a,a>0\right\}$ hoặc S2 = $\left\{x|x<-b/a,a<0\right\}$.

Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải bất phương trình dạng ax + b > 0 không hề phức tạp nếu bạn tuân thủ các bước cơ bản sau. Đây là cách tiếp cận thường dùng để giải quyết dạng này:

Bước 1: Nếu trong bất phương trình có mẫu số, việc cần làm là quy đồng và khử mẫu để loại bỏ các phân số.

Bước 2: Thực hiện các phép tính cần thiết, bao gồm việc bỏ dấu ngoặc và chuyển các hạng tử sao cho bất phương trình được đưa về dạng đơn giản hơn: ax > -b.

Bước 3: Tìm giá trị của x .

Ví dụ: $\frac{1}{4}$x < 3 

⇔ $\frac{1}{4}$ x . 4 < 3 . 4 

⇔ x < 12. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x | x < 12}

Các bất phương trình dạng ax + b < 0, hoặc ax + b ≥ 0 cũng được giải theo các bước tương tự, chỉ khác ở phần so sánh cuối cùng.

Bài tập bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để nắm bắt bất phương trình và vận dụng 1 cách dễ dàng nhất cần phải luyện tập các bài toán thường xuyên. Dưới đây là 2 dạng bài cơ bản và nâng cao.

Bài tập cơ bản

Bài 1:  Giải bất phương trình: −8x−27<0

Bài giải 

−8x−27<0

⇔ −8x<27

⇔ x>−27/8.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x>−27/8

Bài 2:Giải bất phương trình: 2(x−0,5)−1,4≥1,5−(x+1,2)

Bài giải

2(x−0,5)−1,4⩾1,5−(x+1,2)

⇔ 2x−1−1,4⩾1,5−x−1,2

⇔ 2x−2,4⩾0,3−x

⇔ 2x+x⩾0,3+2,4

⇔ 3x⩾2,7

⇔ x⩾0,9

Vậy nghiệm của bất phương trình là x⩾0,9

Bài tập nâng cao

Bài 3: Một kho chứa 100 tấn xi măng, mỗi ngày đều xuất đi 20 tấn xi măng. Gọi x là số ngày xuất xi măng của kho đó. Tìm x sao cho khối lượng xi măng còn lại trong kho ít nhất là 10 tấn sau x ngày xuất hàng.

Bài giải

Số tấn xi măng xuất đi sau x ngày là: 20x (tấn).

Số tấn xi măng còn lại sau x ngày xuất hàng là: 100 - 20x (tấn)

Để khối lượng xi măng còn lại trong kho ít nhất là 10 tấn sau x ngày xuất hàng nên ta có: 

100−20 x⩾ 10

⇔ 100−10 ⩾ 20x

⇔ 90 ⩾ 20x

⇔ 4,5 ⩾ x

Vậy kho phải xuất 4 ngày để số xi măng còn lại trong kho ít nhất là 10 tấn

Bài 4: Giải bất phương trình: 

$\left(m^2 +1\right)x-m^4<-1$ , với m là tham số 

Hướng dẫn: Biến đổi bất phương trình về dạng ax < b rồi đánh giá dấu của a. 

Giải 

Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: 

$\left(m^2 +1\right)x-m^4<-1$  (*) 

Vì $m^2+1$  luôn dương với mọi m nên khi chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho $m^2+1$ thì chiều của bất phương trình không thay đổi, cụ thể ta được: 

$x<\frac{m^4-1}{m^2+1}=\frac{\left(m^2+1\right)\left(m^2-1\right)}{m^2+1}=m^2-1\iff x<m^2-1$       

Vậy, bất phương trình có nghiệm x < $m^2-1$

Chú ý: Ngoài các bài trên, việc ôn luyện dựa vào các bài tập có sẵn trong sgk lớp 8 là điều cần thiết để cải thiện và nâng cao kỹ năng giải bất phương trình.

Xem thêm:

Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó

Kết luận

Như vậy, Học là Giỏi đã hệ thống lại định nghĩa và cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Học là Giỏi hi vọng rằng, bạn sẽ học tốt phần kiến thức này nhé!