Tổng hợp khái niệm về hàm số và đồ thị hàm số

Khái niệm về hàm số và đồ thị hàm số

Khái niệm hàm số

+) Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$, ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ gọi là hàm số của $x$ ( $x$ gọi là biến số).

Ta viết : $y=f(x), y=g(x), \ldots$

+) Giá trị của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0$ kí hiệu là $f\left(x_0\right)$.

+) Tập xác định $D$ của hàm số $f(x)$ là tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $f(x)$ có nghĩa.

+) Khi $x$ thay đổi mà $y$ luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số $y=f(x)$ gọi là hàm hằng.

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x ; y)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $x, y$ thỏa mãn hệ thức $y=f(x)$

Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$. Khi đó:
- Hàm số đổng biến trên D: Với mọi $x_1, x_2$ thuộc $D$, nếu $x_1$ nhỏ hơn $x_2$ thì $f\left(x_1\right)$ nhỏ hơn $f\left(x_2\right)$.
- Ký hiệu: $\forall x_1, x_2 \in D: x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$
- Hàm số nghịch biến trên $\mathbf{D}$ : Với mọi $x_1, x_2$ thuộc $D$, nếu $x_1$ nhỏ hơn $x_2$ thì $f\left(x_1\right)$ lớn hơn $f\left(x_2\right)$.
- Ký hiệu: $\forall x_1, x_2 \in D: x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Phương pháp:

Để tính giá trị $y_0$ của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ ta thay $x=x_0$ vào $f(x)$, ta được $y_0=f\left(x_0\right)$.

Dạng 2. Biểu diễn tọa độ của một điểm và xác định điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp:

Điểm $M\left(x_0 ; y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f(x)$ khi $y_0=f\left(x_0\right)$

Dạng 3 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2: Giả sử $x_1<x_2$ và $x_1, x_2 \in D$. Xét hiệu $H=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

+ Nếu $H<0$ với $x_1, x_2$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.

+ Nếu $H>0$ với $x_1, x_2$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)=3 x+1$

Cách giải:

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$

Giả sử $x_1<x_2$ và $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$

Ta có:

$$\begin{gathered} F\left(x_1\right) = 3x_1 + 1 \\ F\left(x2\right) = 3x_2 + 1 \end{gathered}$$

Suy ra $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3 x_1+1-\left(3 x_2+1\right)$ $=3\left(x_1-x_2\right)<0$ (vì $x_1<x_2$ nên $\left.x_1-x_2<0\right)$

Hay $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Vậy với $x_1<x_2$ ta được $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ nên hàm số $y=f(x)=3 x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Dạng 4 : Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y=a x(a \neq 0)$

Phương pháp:

+) Đồ thị hàm số dạng $y=a x(a \neq 0)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $E(1 ; a)$.

+) Cho hai điểm $A\left(x_A ; y_A\right)$ và $B\left(x_B ; y_B\right)$. Khi đó độ dài đoạn thẳng $A B$ được tính theo công thức: $A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$ 

Bài tập về hàm số và đồ thị hàm số

Phần bài tập về hàm số và đồ thị hàm số giúp học sinh củng cố lý thuyết, rèn luyện kỹ năng phân tích, vẽ đồ thị và vận dụng phương pháp giải một cách chính xác, hiệu quả.

Bài tập hàm số và đồ thị hàm số cơ bản

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{x-2}$ là:

A. $x \neq 2$

B. $x>2$

C. $x<2$

D. $x \in \mathbb{R}$

Câu 2. Hàm số $y=3 x+1$ đồng biến khi:

A. $x<0$

B. $x>0$

C. $\forall x \in \mathbb{R}$

D. Không xác định

Câu 3. Đồ thị $y=2 x-3$ cắt trục $O y$ tại:

A. (0; 2)

B. ( $0 ;-3$ )

C. $(2 ; 0)$

D. $(-3 ; 0)$

Câu 4. Hàm số $y=-x^2$ có:

A. Bề lõm lên

B. Bề lõm xuống

C. Không xác định

D. Là đường thẳng

Câu 5. Điểm nào thuộc đồ thị $y=x+2$ ?

A. $(1 ; 3)$

B. ( $2 ; 1$ )

C. $(0 ; 1)$

D. $(1 ; 1)$

Câu 6. Hai đường thẳng song song khi:

A. $a_1 \neq a_2$

B. $a_1=a_2$

C. $a_1 a_2=-1$

D. $b_1=b_2$

Câu 7. Hàm số $y=x^2$ có đỉnh tại:

A. (0;1)

B. (1;0)

C. $(0 ; 0)$

D. (-1;0)

Câu 8. Giá trị của $y$ khi $x=2$ trong $y=2 x+1$ :

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 9. Đồ thị $y=x^2$ luôn:

A. $y \geq 0$

B. $y \leq 0$

C. $y=0$

D. Không xác định

Câu 10. Đường thẳng $y=-2 x+1$ nghịch biến vì:

A. $a>0$

B. $a<0$

C. $b>0$

D. $b<0$

Câu 11. Tìm tập xác định của $y=\sqrt{x-3}$

Câu 12. Xét tính đồng biến của $y=5 x-2$

Câu 13. Vẽ đồ thị hàm số $y=x+1$

Câu 14. Vẽ đồ thị $y=x^2$

Câu 15. Tìm giao điểm của $y=x+1$ và $y=2 x-1$

Câu 16. Kiểm tra điểm $\mathrm{A}(1 ; 2)$ có thuộc đồ thị $y=x+1$ không

Câu 17. Tìm giá trị của $y$ khi $x=-1$ với $y=3 x+2$

Câu 18. Xác định hệ số $a$ để hàm số $y=a x+1$ đồng biến

Câu 19. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục hoành của $y=2 x-4$

Câu 20. Xét dấu của hàm số $y=-x^2$

Bài tập hàm số và đồ thị hàm số nâng cao

Câu 1. Hai đường thẳng vuông góc khi:

A. $a_1=a_2$

B. $a_1 a_2=-1$

C. $a_1 \neq a_2$

D. $b_1=b_2$

Câu 2. Số giao điểm của $y=x^2$ và $y=2 x+1$ :

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Câu 3. Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

A. $\Delta<0$

B. $\Delta=0$

C. $\Delta>0$

D. Không xác định

Câu 4. Tổng hai nghiệm phương trình bậc hai là:

A. $-b / a$

B. $b / a$

C. $-c / a$

D. $c / a$

Câu 5. Parabol quay xuống khi:

A. $a>0$

B. $a<0$

C. $a=0$

D. $b=0$

Câu 6. Giao điểm khi $\Delta=0$ :

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Câu 7. Tích nghiệm phương trình:

A. $-b / a$

B. $c / a$

C. $-c / a$

D. $b / a$

Câu 8. Đồ thị $y=x^2-4$ cắt trục hoành tại:

A. $\pm 2$

B. $\pm 1$

C. 0

D. 4

Câu 9. Điều kiện tiếp xúc:

A. $\Delta>0$

B. $\Delta=0$

C. $\Delta<0$

D. Không có

Câu 10. Nếu $x_1+x_2=3$, thì:

A. $-b / a=3$

B. $b / a=3$

C. $c / a=3$

D. $-c / a=3$

Câu 11. Tìm giao điểm của $y=x^2$ và $y=x+2$

Câu 12. Biện luận số nghiệm của phương trình $x^2-2 x+m=0$

Câu 13. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm kép

Câu 14. Tìm $m$ để có 2 nghiệm phân biệt

Câu 15. Áp dụng Vi-et tính $x_1^2+x_2^2$

Câu 16. Tìm diện tích tam giác tạo bởi giao điểm với trục

Câu 17. Chứng minh hệ thức giữa nghiệm

Câu 18. Tìm điều kiện để đồ thị cắt nhau tại 2 điểm

Câu 19. Tìm $m$ để giao điểm nằm trên đường thẳng cho trước

Câu 20. Giải bài toán thực tế bằng đồ thị

Xem thêm:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

Tổng hợp chi tiết các dạng bài tập về hàm số liên tục

Trên đây là tổng hợp kiến thức về hàm số trong Toán . Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ giúp ích cho các bạn tra cứu và áp dụng giải được các bài toán trong chương trình toán phổ thông nhé.