Tổng hợp chi tiết các dạng bài tập về hàm số liên tục

Định nghĩa hàm số liên tục

Hàm số $y=f(x)$ gọi là hàm số liên tục trên khoảng nếu hàm số đó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Cụ thể hơn, ta có định nghĩa khái quát chung như sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K, x_0 \in K$. Khi đó, $y=f(x)$ liên tục tại $x_0$ khi $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$.

Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và $x_0 \epsilon(a ; b)$. Hàm số $y$ được gọi là hàm số liên tục tại 1 điểm $x_0$ khi $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$.

Ngược lại, nếu hàm số $f\left(x_0\right)$ không liên tục tại $x_0$ thì khi đó $x_0$ gọi là điểm gián đoạn của $f(x)$.

Hàm số liên tục trên một khoảng

Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên một khoảng (a;b) thì khi đó hàm số $f(x)$ sẽ liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b). Đồ thị hàm liên tục trên khoảng (a;b) được biểu diễn bằng một đường nét liền, không bị đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Ngoài ra, nếu đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a ; b)$ và thỏa mãn $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) ; \lim _{x \rightarrow b} f(x)=f(b)$ thì đồ thị $y=f(x)$ liên tục trên đoạn [a;b].

Đối với một số hàm đa thức thì sẽ liên tục trên tập $\mathbb{R}$ mà không cần chứng minh, bao gồm: hàm lượng giác $y=\sin x, y=\cos x$, hàm đa thức, hàm phân thức có tập xác định $\mathbb{R}$, hàm mũ.

Một số định lí về hàm số liên tục

Định lí 1:

- Hàm số đa thức là loại hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

- Hàm số thương của 2 đa thức (phân thức hữu tỉ) và các hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Định lí 2: Cho hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cùng liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

$y=f(x)+g(x) \cdot y=f(x)-g(x) \cdot y=f(x) \cdot g(x)$ sẽ liên tục tại điểm $x_0$.

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tục tại $x_0$ khi $g\left(x_0\right) \neq 0$.

Định lí 3: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a ; b]$ và thỏa mãn $f(a) . f(b)<0$. Tồn tại ít nhất 1 điểm c thuộc đoạn ( $a ; b$ ) thỏa mãn $\mathrm{f}(\mathrm{c})=0$.

Định lý này thường dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên khoảng nhất định.

Định lí 3 còn có một dạng khác như sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên [a;b] và thỏa mãn $f(a) . f(b)<0$. Phương trình $f(x)=0$ sẽ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a;b).

Các dạng bài tập thường gặp về hàm số liên tục

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp giải

Để xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, ta tiến hành theo các bước sau:

- Bước 1: Tính giá trị $f\left(x_0\right)$

- Bước 2: Tính giá trị $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)$

- Bước 3: So sánh hai giá trị $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$ với $f\left(x_0\right)$ đã tính ở bước 1, rồi kết luận.

• Nếu giá trị $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ thì học sinh kết luận hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ liên tục tại điểm $x_0$.
• Nếu giá trị $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ không tồn tại hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq 0$ thì học sinh kết luận hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ không liên tục tại điểm $x_0$.

- Bước 4: Kết luận dựa theo yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Xét tính liên tục tại $x=1$ của hàm số sau đây:

$\left\{\begin{array}{cc}\frac{2-7 x+5 x^2}{x^2-3 x+2} & \text { khi } x \neq 1 \\-3 & \text { khi } x=1\end{array}\right.$

Bài giải

Hàm số đề bài xác định trên $R\ {2}$ có $x=1$ và $f(1)=-3$

Tính giới hạn hàm số tại điểm $x=1$ :

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-7 x+5 x^2}{x^2-3 x+2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(5 x-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{5 x-2}{x-2}=-3$

Ta thấy: $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)=-3$. Suy ra hàm số đề bài liên tục tại $x_0=1$

Dạng 2: Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn hoặc tập xác định

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1 và định lí 2 để giải.

Ví dụ: Chứng minh hàm số sau đây liên tục trên khoảng $(-7 ;+)$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-x+4, x \geq 2 \\\frac{x-2}{\sqrt{x+7-3}},-7<x<2\end{array}\right.$

Bài giải

- Khi $x>2$ thì $f(x)=x^2-x+4$ là hàm liên tục trên khoảng $(2 ;+\infty)$.

- Khi $-7<\mathrm{x}<2$ thì $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+7}-3}$

- Hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ là đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(-7 ; 2)$

- Hàm số $y=x+7$ là đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(-7 ; 2)$

$\Rightarrow$ hàm số $y=\sqrt{x+7}$ liên tục trên khoảng $(-7 ; 2)$

$\Rightarrow$ hàm số $y=\sqrt{x+7}-3$ liên tục trên khoảng $(-7 ; 2)$

- Mặt khác: $\sqrt{x+7}-3 \neq 0, \forall x \in(-7 ; 2)$

Vậy hàm số $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+7}-3}$ liên tục trên khoảng $(-7 ; 2)$.

- Khi $x=2$ thì $f(2)=2^2-2+4=6$.

$\begin{aligned}& \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(x^2-x+4\right)=6 \\& \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x-2}{\sqrt{x+7}-3}=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)} \\& =\lim _{x \rightarrow 2^{-}}(\sqrt{x+7}+3)=\sqrt{2+7}+3=6 \\& \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)=6 \\& \Rightarrow \text { Hàm số }f(x) \text { liên tục tại điểm }x=2 .\end{aligned}$

$\Rightarrow$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=2$.

Kết luận: Hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-7 ;+\infty)$.

Dạng 3: Tìm điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm

Phương pháp giải

- Bước 1: Tìm điểm xác định $x_0$ của hàm số đề bài. Tính giá trị $f(m)$ với $m=x_0$

- Bước 2: Tính giới hạn của hàm số đề bài tại $x_0$

- Bước 3: Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi $\lim _{x \rightarrow x_0}=f\left(x_0\right)$.

- Bước 4: Kết luận giá trị của m.

Ví dụ: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tại điểm $x=1$

$f(x)= \begin{cases}\frac{2-7 x+5 x^2}{x-1} & \text { nếu } x \neq 1 \\ -3 m x-1 & \text { nếu } x=1\end{cases}$

Bài giải

Ta xét hàm số xác định tại $x=1$ và $f(x)=-3 m .1-1$.

Tính giới hạn hàm số tại điểm $x=1$

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-7 x+5 x^2}{x^2-3 x+2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(5 x-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{5 x-2}{x-2}=-3$

Vậy, hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=1$ khi:

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1) \Leftrightarrow-3 m-1 \Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}$

Kết luận: $m=\frac{-2}{3}$.

Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Phương pháp giải

Ta làm tương tự như dạng 3.

Ví dụ: Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

$f(x)= \begin{cases}\frac{2-7 x+5 x^2}{x-1} & \text { nếu } x \neq 1 \\ -3 m x-1 & \text { nếu } x=1\end{cases}$

Bài giải

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$

Xét trường hợp $x \neq 1$, hàm số có dạng $f(x)=\frac{2-7 x+5 x^2}{x-1}$. $f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ nên tập xác định là $(-\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)$ vì vậy $f(x)$ cũng liên tục trên khoảng $(-\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)$

Xét trường hợp $x=1$ thì ta có $f(1)=-3 m-1$ :

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-7 x+5 x^2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(5 x-2)}{x-1}=3$

Khi đó, hàm $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ liên tục tại điểm $x_0=1$ khi và chỉ khi:

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1) \Leftrightarrow 3 m-1=3 \Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}$

Kết luận: $m=-\frac{4}{3}$.

Dạng 5: Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải

Sử dụng định lí 3 để giải.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $3 x^3+2 x-2=0$ có nghiệm trong $(0 ; 1)$.

Bài giải

Hàm số đã cho là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Suy ra, $f(x)$ cũng liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$.

Ta có: $f(0) \cdot f(1)=(-2) \cdot(3)=-6<0$

Do vậy, có ít nhất 1 số c trong $(0 ; 1)$ sao cho $f(c)=0$. Hay nói cách khác, phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0 ; 1)$.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình $2 x^3-6 x^2+5=0$ trong khoảng $(-1 ; 3)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài liên tục trên $R$, do đó $f(x)$ liên tục trên các đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta thấy: $f(-1)=-3, f(0)=5, f(2)=-3, f(3)=5$. Từ đó:

$\begin{aligned}& f(-1) \cdot f(0)<0 \\& f(0) \cdot f(2)<0 \\& f(2) \cdot f(3)<0\end{aligned}$

Vì vậy, phương trình đã cho có nghiệm trong các khoảng $(-1 ; 0),(0 ; 2)$ và $(2 ; 3)$.

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-1;3)$.

Như vậy, Học là Giỏi đã hệ thống lại cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan, Học là Giỏi mong rằng với việc chia sẻ kiến thức ở trên các bạn sẽ làm tốt được dạng bài tập này nhé!

Xem thêm:

[Tổng hợp chi tiết] Bảng công thức đạo hàm của các hàm số
Bí kíp học tốt toán lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống