Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

schedule.svg

Thứ tư, 15/5/2024 07:04 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan là dạng toán không thể thiếu trong các bài thi lớp 8. Vì vậy để thành thạo dạng toán này, hãy cùng Học là Giỏi ôn lại nhé!

Mục lục [Ẩn]

Đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất $y = ax+b$ với $a \neq 0$ có đồ thị là một đường thẳng.

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;

- Song song với đường thẳng $y=ax$ nếu $b \neq 0$; trùng với $y=ax$ nếu $b=0$.

Kí hiệu là $d: y=a x+b$.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Xét đường thẳng $d: y=ax+b$ với $a \neq 0$

- Nếu $b=0$ ta có $d: y=a x$ đi qua gốc tọa độ $O(0 ; 0)$ và điểm $A(1 ; a)$

- Nếu b0 thì d đi qua hai điểm $A(0 ; b)$ và $B\left(\frac{-b}{a} ; 0\right)$.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Chú ý: 

- Trục tung là đường thẳng $x=0$.

- Trục hoành là đường thẳng $y=0$.

Các bài toán liên quan

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Thực hiện cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ở trên.

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=2 x$

b) $y=x-1$

Bài giải

a) Xét đường thẳng $d: y=2 x$ có $b=0$

Vậy $d$ đi qua gốc tọa độ $O(0 ; 0)$ và điểm $A(1 ; 2)$

Ta có đồ thị như hình vẽ

y = 2x

b) Xét đường thẳng $d: y=x-1$ có $b=-1 \neq 0$

Cho $y=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow A(1 ; 0)$

Cho $x=0 \Rightarrow y=-1 \Rightarrow B(0 ;-1)$

Vậy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ có đồ thị như hình vẽ

y=x-1

Dạng 2: Xác định điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Cho hàm số $y=a x+b$ và $M(m, n)$ với $a \neq 0$

Cách 1: Ta biểu diễn điểm $M$ và đồ thị hàm số $d: y=a x+b$ trên cùng một hệ trục tọa độ

- Nếu điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số thì điểm đó nằm trên đường thẳng $d$

- Nếu điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số thì điểm $M$ không nằm trên đường thẳng $d$.

Cách 2: Ta thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số

- Nếu $a m+b=n$ thì $M$ thuộc đồ thị hàm số

- Nếu $a m+b \neq n$ thì $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ: Xét các điểm $M(2 ; 1) ; N(3 ;-2)$ có thuộc đồ thị hàm số $y=x-5$ hay không?

Bài giải

- Xét điểm $M(2 ; 1)$

Thay $x=2$ vào hàm số ta có:

$y=2-5=-3 \neq 1$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

- Xét điểm $N(3 ;-2)$

Thay $x=3$ vào hàm số ta có:

$y=3-5=-2$ nên điểm $N$ thuộc đồ thị hàm số.

Dạng 3: Xác định hàm số bậc nhất khi biết hệ số góc và điểm đi qua

Phương pháp giải: 

- Bước 1: Gọi hàm số bậc nhất có dạng $y=ax+b$ với a là hệ số góc.

- Bước 2: Thay tọa độ điểm mà đồ thị đi qua để tìm b.

Ví dụ: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc a = 2 và đi qua điểm (0;1).

Bài giải

Gọi Hàm số bậc nhất có dạng $y=2 x+b$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0 ; 1)$ nên $1=2 \cdot 0+b$ hay $b=1-2 \cdot 0=1$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=2x+1$.

Xem thêm:
Lấy lại gốc hằng đẳng thức số 3 nào!

Bài tập đồ thị hàm số bậc nhất

Dạng cơ bản

Bài tập 1:

Cho hàm số y = 2x + 3.

Xác định điểm cắt của đồ thị với trục tung và trục hoành.

Vẽ đồ thị của hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Điểm cắt với trục tung: Cho x = 0, y = 2(0) + 3 = 3. Điểm là (0,3).

Điểm cắt với trục hoành: Cho y=0, 0 = 2x + 3 ⇒ x=32x = -\frac{3}{2}​. Điểm là (32,0)\left(-\frac{3}{2}, 0\right).

Vẽ đồ thị: Lấy hai điểm (0,3) và (32,0)\left(-\frac{3}{2}, 0\right), nối hai điểm này bằng một đường thẳng.

Bài tập 2:

Cho hàm số y = −x + 1.

Tìm hệ số góc và hệ số tự do.

Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Hệ số góc a = −1, hệ số tự do b = 1.

Điểm cắt trục tung: Cho x = 0, y = 1 ⇒ Điểm (0,1).

Điểm cắt trục hoành: Cho y = 0, 0 = −x + 1 ⇒ x = 1 ⇒ Điểm (1,0).

Vẽ đồ thị qua hai điểm (0,1) và (1,0).

Bài tập 3:

Cho hàm số y = 3x − 4. Tìm giá trị của y khi x = 2 và x = −1.

Đáp án chi tiết:

Khi x = 2: y = 3(2) − 4 = 6 − 4 = 2.

Khi x = −1: y = 3(−1) − 4 = −3 − 4 = −7.

Kết quả: y = 2 khi x = 2, và y = −7 khi x = −1.

Dạng nâng cao

Bài tập 4:

Cho hai hàm số y1=2x+1y_1 = 2x + 1 và y2=x+4y_2 = -x + 4

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Phương trình giao điểm: 2x + 1 = −x + 4.

Giải: 2x + x = 4 − 1 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.

Tìm y: y = 2(1) + 1 = 3.

Tọa độ giao điểm: (1,3).

Hàm y1=2x+1y_1 = 2x + 1​:
Điểm cắt trục tung (0,1), điểm cắt trục hoành (12,0)(-\frac{1}{2}, 0).

Hàm y2=x+4y_2 = -x + 4:
Điểm cắt trục tung (0,4), điểm cắt trục hoành (4,0).

Vẽ đồ thị của hai hàm qua các điểm trên và giao tại (1,3).

Bài tập 5:

Cho hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị đi qua hai điểm A(1,2) và B(3,6). Tìm a và b.

Đáp án chi tiết:

Phương trình y = ax + b thỏa mãn:

Với A(1,2): 2 = a(1) + b ⇒ a + b = 2.

Với B(3,6): 6 = a(3) + b ⇒ 3a + b= 6.

Giải hệ:

a + b = 2.

3a + b = 6.

Trừ từng vế: (3a + b) − (a + b) = 6 − 2 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2.
Thay vào a + b =2

2 + b = 2 ⇒ b = 0.

Kết quả: 

a = 2, b = 0, phương trình: y = 2x.

Bài tập 6:

Cho hàm số y = x + 2. Tìm diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Điểm cắt trục tung: (0,2).

Điểm cắt trục hoành: (−2,0).

Diện tích tam giác:

Tam giác có đáy AB = 2 (từ −2 đến 0) và chiều cao h=2.

S=12×AB×h=12×2×2=2S = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2.

Kết quả: Diện tích tam giác là 2 đơn vị diện tích.

Bài tập 7:

Tìm m để đồ thị hàm số y = mx − 3 đi qua điểm P(2,5).

Đáp án chi tiết:

Thay tọa độ P(2,5) vào phương trình:
5 = m(2 ) − 3 ⇒ 5 = 2m − 3.

Giải: 2m = 8 ⇒ m = 4.

Kết quả: m = 4.

Kết luận

Như vậy, bài học trên đã hệ thống lại cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan, Trung tâm gia sư online Học là Giỏi mong rằng với việc chia sẻ kiến thức ở trên các bạn sẽ làm tốt được dạng bài tập này nhé!

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Long An 2025
schedule

Thứ sáu, 6/6/2025 09:13 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Long An 2025

Học là Giỏi sẽ chia sẻ đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Long An 2025 được tổng hợp chi tiết, hỗ trợ học sinh đối chiếu kết quả và phụ huynh theo dõi tình hình thi cử chính xác.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Thái Nguyên 2025
schedule

Thứ tư, 4/6/2025 04:09 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Thái Nguyên 2025

Học là Giỏi sẽ chia sẻ toàn bộ đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Thái Nguyên 2025 chi tiết, hỗ trợ thí sinh tra cứu và ước lượng điểm một cách nhanh chóng.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Bình Định 2025
schedule

Thứ tư, 4/6/2025 03:48 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Bình Định 2025

Học là Giỏi cung cấp đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Bình Định 2025 đầy đủ và chi tiết, giúp học sinh kiểm tra kết quả, đánh giá năng lực cũng như dự đoán điểm thi một cách chính xác.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lào Cai 2025
schedule

Thứ tư, 4/6/2025 03:42 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lào Cai 2025

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lào Cai 2025 được cập nhật chi tiết giúp thí sinh kiểm tra kết quả nhanh chóng và đánh giá độ khó của đề. Học là GIỏi sẽ cung cấp đề thi chính thức kèm theo đáp án đầy đủ từng câu hỏi.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Nghệ An 2025
schedule

Thứ ba, 3/6/2025 09:51 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Nghệ An 2025

Dưới đây là đầy đủ nội dung đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Nghệ An 2025 chi tiết, hỗ trợ đối chiếu chính xác và nhanh chóng.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Cao Bằng 2025
schedule

Thứ ba, 3/6/2025 09:44 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Cao Bằng 2025

Trong bài viết này, Học là Giỏi cập nhật đầy đủ đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Cao Bằng 2025, giúp học sinh dễ dàng đối chiếu kết quả và đánh giá năng lực.

message.svg zalo.png