Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

Đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất $y = ax+b$ với $a \neq 0$ có đồ thị là một đường thẳng.

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;

- Song song với đường thẳng $y=ax$ nếu $b \neq 0$; trùng với $y=ax$ nếu $b=0$.

Kí hiệu là $d: y=a x+b$.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Xét đường thẳng $d: y=ax+b$ với $a \neq 0$

- Nếu $b=0$ ta có $d: y=a x$ đi qua gốc tọa độ $O(0 ; 0)$ và điểm $A(1 ; a)$

- Nếu $b\ne 0$ thì d đi qua hai điểm $A(0 ; b)$ và $B\left(\frac{-b}{a} ; 0\right)$.

Chú ý: 

- Trục tung là đường thẳng $x=0$.

- Trục hoành là đường thẳng $y=0$.

Các bài toán liên quan

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Thực hiện cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ở trên.

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=2 x$

b) $y=x-1$

Bài giải

a) Xét đường thẳng $d: y=2 x$ có $b=0$

Vậy $d$ đi qua gốc tọa độ $O(0 ; 0)$ và điểm $A(1 ; 2)$

Ta có đồ thị như hình vẽ

b) Xét đường thẳng $d: y=x-1$ có $b=-1 \neq 0$

Cho $y=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow A(1 ; 0)$

Cho $x=0 \Rightarrow y=-1 \Rightarrow B(0 ;-1)$

Vậy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ có đồ thị như hình vẽ

Dạng 2: Xác định điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Cho hàm số $y=a x+b$ và $M(m, n)$ với $a \neq 0$

Cách 1: Ta biểu diễn điểm $M$ và đồ thị hàm số $d: y=a x+b$ trên cùng một hệ trục tọa độ

- Nếu điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số thì điểm đó nằm trên đường thẳng $d$

- Nếu điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số thì điểm $M$ không nằm trên đường thẳng $d$.

Cách 2: Ta thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số

- Nếu $a m+b=n$ thì $M$ thuộc đồ thị hàm số

- Nếu $a m+b \neq n$ thì $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ: Xét các điểm $M(2 ; 1) ; N(3 ;-2)$ có thuộc đồ thị hàm số $y=x-5$ hay không?

Bài giải

- Xét điểm $M(2 ; 1)$

Thay $x=2$ vào hàm số ta có:

$y=2-5=-3 \neq 1$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

- Xét điểm $N(3 ;-2)$

Thay $x=3$ vào hàm số ta có:

$y=3-5=-2$ nên điểm $N$ thuộc đồ thị hàm số.

Dạng 3: Xác định hàm số bậc nhất khi biết hệ số góc và điểm đi qua

Phương pháp giải: 

- Bước 1: Gọi hàm số bậc nhất có dạng $y=ax+b$ với a là hệ số góc.

- Bước 2: Thay tọa độ điểm mà đồ thị đi qua để tìm b.

Ví dụ: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc a = 2 và đi qua điểm (0;1).

Bài giải

Gọi Hàm số bậc nhất có dạng $y=2 x+b$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0 ; 1)$ nên $1=2 \cdot 0+b$ hay $b=1-2 \cdot 0=1$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=2x+1$.

Xem thêm: Lấy lại gốc hằng đẳng thức số 3 nào!

Bài tập đồ thị hàm số bậc nhất

Dạng cơ bản

Bài tập 1:

Cho hàm số y = 2x + 3.

Xác định điểm cắt của đồ thị với trục tung và trục hoành.

Vẽ đồ thị của hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Điểm cắt với trục tung: Cho x = 0, y = 2(0) + 3 = 3. Điểm là (0,3).

Điểm cắt với trục hoành: Cho y=0, 0 = 2x + 3 ⇒ $x = -\frac{3}{2}$​. Điểm là $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$.

Vẽ đồ thị: Lấy hai điểm (0,3) và $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$, nối hai điểm này bằng một đường thẳng.

Bài tập 2:

Cho hàm số y = −x + 1.

Tìm hệ số góc và hệ số tự do.

Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Hệ số góc a = −1, hệ số tự do b = 1.

Điểm cắt trục tung: Cho x = 0, y = 1 ⇒ Điểm (0,1).

Điểm cắt trục hoành: Cho y = 0, 0 = −x + 1 ⇒ x = 1 ⇒ Điểm (1,0).

Vẽ đồ thị qua hai điểm (0,1) và (1,0).

Bài tập 3:

Cho hàm số y = 3x − 4. Tìm giá trị của y khi x = 2 và x = −1.

Đáp án chi tiết:

Khi x = 2: y = 3(2) − 4 = 6 − 4 = 2.

Khi x = −1: y = 3(−1) − 4 = −3 − 4 = −7.

Kết quả: y = 2 khi x = 2, và y = −7 khi x = −1.

Dạng nâng cao

Bài tập 4:

Cho hai hàm số $y_1 = 2x + 1$ và $y_2 = -x + 4$

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Phương trình giao điểm: 2x + 1 = −x + 4.

Giải: 2x + x = 4 − 1 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.

Tìm y: y = 2(1) + 1 = 3.

Tọa độ giao điểm: (1,3).

Hàm $y_1 = 2x + 1$​:
Điểm cắt trục tung (0,1), điểm cắt trục hoành $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Hàm $y_2 = -x + 4$:
Điểm cắt trục tung (0,4), điểm cắt trục hoành (4,0).

Vẽ đồ thị của hai hàm qua các điểm trên và giao tại (1,3).

Bài tập 5:

Cho hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị đi qua hai điểm A(1,2) và B(3,6). Tìm a và b.

Đáp án chi tiết:

Phương trình y = ax + b thỏa mãn:

Với A(1,2): 2 = a(1) + b ⇒ a + b = 2.

Với B(3,6): 6 = a(3) + b ⇒ 3a + b= 6.

Giải hệ:

a + b = 2.

3a + b = 6.

Trừ từng vế: (3a + b) − (a + b) = 6 − 2 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2.
Thay vào a + b =2

2 + b = 2 ⇒ b = 0.

Kết quả: 

a = 2, b = 0, phương trình: y = 2x.

Bài tập 6:

Cho hàm số y = x + 2. Tìm diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ.

Đáp án chi tiết:

Điểm cắt trục tung: (0,2).

Điểm cắt trục hoành: (−2,0).

Diện tích tam giác:

Tam giác có đáy AB = 2 (từ −2 đến 0) và chiều cao h=2.

$S = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.

Kết quả: Diện tích tam giác là 2 đơn vị diện tích.

Bài tập 7:

Tìm m để đồ thị hàm số y = mx − 3 đi qua điểm P(2,5).

Đáp án chi tiết:

Thay tọa độ P(2,5) vào phương trình:
5 = m(2 ) − 3 ⇒ 5 = 2m − 3.

Giải: 2m = 8 ⇒ m = 4.

Kết quả: m = 4.

Kết luận

Như vậy, bài học trên đã hệ thống lại cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan, Trung tâm gia sư online Học là Giỏi mong rằng với việc chia sẻ kiến thức ở trên các bạn sẽ làm tốt được dạng bài tập này nhé!