Tổng hợp đầy đủ cách tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập các giá trị của $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

Chú ý: Nếu $P(x)$ là một đa thức thì:

$\begin{aligned}& \frac{1}{P(x)} \text { có nghĩa } \Leftrightarrow P(x) \neq 0 \\& \sqrt{P(x)} \text { có nghĩa } \Leftrightarrow P(x) \geq 0 \\& \frac{1}{\sqrt{P(x)}} \text { có nghĩa } \Leftrightarrow P(x)>0\end{aligned}$

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số:

a) $y=x^2+\sqrt{2} x+1$

b) $y=\frac{x}{x^2-1}$

c) $y=\frac{2}{\sqrt{3 x-2}}$

Bài giải

a) Hàm số $y=x^2+\sqrt{2}x+1$ có nghĩa với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$

b) Hàm số $y=\frac{x}{x^2-1}$ 

Hàm số xác định khi và chỉ khi: ${\mathrm{x}}^2 - 1 \ne 0 \iff \mathrm{x} \ne \pm 1.$

Vậy tập xác định của hàm số là D = R ∖ {−1,1}.

c) c) $y = \frac{2}{\sqrt{3x - 2}}$y=3x−2​2​

Hàm số xác định khi:

$\sqrt{3x-2}$có nghĩa khác 0 $\iff 3x-2>0\iff x>\frac{2}{3}\mathrm{.}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left(\frac{2}{3}, +\infty\right)$.

Tập xác định của hàm số lượng giác

+ Hàm số $y=\sin[f(x)]$ xác định khi f(x) xác định.

+ Hàm số $y = \cos[f(x)]$ xác định khi f(x) xác định.

+ Hàm số $y=\tan [f(x)]$ xác định khi $\cos [f(x)] \neq 0$.

+ Hàm số $y=\cot [f(x)]$ xác định khi $\sin [f(x)] \neq 0$

+ Hàm số $y=\tan [f(x)]+\cot [g(x)]$ xác định khi $\cos [f(x)] \neq 0 ; \sin [g(x)] \neq 0$

* Chú ý:

$\begin{aligned}& \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \cdot \pi \\& \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \text { với } k \text { nguyên } \\& \sin x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+k 2 \pi \text { và } \sin x \neq-1 \Leftrightarrow x \neq-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\& \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 \pi \text { và } \cos x \neq-1\Leftrightarrow x \neq \pi+k 2 \pi\end{aligned}$

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số 

$y=\frac{2017}{\sin x}$

$y=\sqrt{\sin 2 x+1}$

$y=3 \tan ^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$

$y=2 \cot \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$

Bài giải

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định $D=\mathbb{R} \ {k \pi, k \in \mathbb{Z}}$.

b) Ta có $\sin 2 x \geq-1, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \sin 2 x+1 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

c) Hàm số xác định khi $\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}) \neq 0$

$\begin{aligned}& \Leftrightarrow \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \Leftrightarrow \frac{x}{2} \neq \frac{3\pi}{4}+k \pi \\& \Leftrightarrow x \neq \frac{3\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\end{aligned}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = R\ \left\{\frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\right\}$.

d) Hàm số xác định khi:

$\begin{aligned} & \sin (2 x-\frac{\pi}{3}) \neq 0 \\ & \Leftrightarrow 2 x-\frac{\pi}{3} \neq k \pi \Leftrightarrow 2 x \neq \frac{\pi}{3}+k \pi \\ & \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$

Tập xác định của hàm số lũy thừa

Hàm số $y=x^\alpha$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định cùa hàm sõ $y=x^\alpha$ là:

$D=\mathbb{R}$ nếu $\alpha$ là số nguyên dương.

$D=\mathbb{R} \ {0}$ với $\alpha$ nguyên âm hoăc bằng 0 .

$D=(0 ;+\infty)$ với $\alpha$ không nguyên.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: $y=(x-2)^{\frac{1}{2}}$

Bài giải

Hàm số xác định khi x - 2 > 0 $\iff$ x > 2.

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = (2; \infty)$.

Tập xác định của hàm số mũ

Hàm số dạng $y=a^x,(a>0, a \neq 1)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: $y=3^x$

Bài giải

Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$.

Tập xác định của hàm số logarit

Hàm số dạng $y=\log _{a} x,(a>0, a \neq 1)$ được gọi là hàm số logarit cơ số a

- Tập xác định: $D=(0,+\infty)$.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số:$y=\log \left(x^2-6 x+5\right)$

Bài giải

Hàm số trên có nghĩa khi và chỉ khi

$\begin{aligned}& x^2-6 x+5>0 \\& x>5 \text { hoặc } x<1\end{aligned}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=(-\infty ; 1) \cup(5 ;+\infty)$

Bài tập tự luyện về tập xác định của hàm số

Bài tập cơ bản:

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số:

$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số: 

$y = \sqrt{4 - x^2}$

Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số: 

$y = \log(x - 1)$

Gợi ý giải:

Xác định điều kiện tồn tại của các biểu thức phân số, căn bậc hai và hàm logarit.

Trình bày tập xác định dưới dạng tập hợp hoặc khoảng liên tục.

Bài tập nâng cao:

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số:

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 4}.$

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số:

$y = \log\left(\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1}\right).$

Gợi ý giải:

Kết hợp các điều kiện: Biểu thức dưới dấu căn phải không âm, mẫu số khác 0, và biểu thức trong logarit phải dương.

Phân tích các khoảng giá trị để xác định đầy đủ tập xác định.

Xem thêm:
Các dạng bài tập về đồ thị hàm số $y = ax^2$
[Tổng hợp chi tiết] Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

Như vậy, Học là Giỏi đã hệ thống lại cách tìm tập xác định của hàm số và một số hàm đặc trưng khác, Học là Giỏi mong rằng với việc chia sẻ kiến thức ở trên các bạn sẽ làm tốt được dạng bài tập này nhé!