Các dạng bài tập về đồ thị hàm số $y = ax^2$

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Để vē đồ thị hàm số $y=a x^2$, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Lập bảng giá trị (nên lấy ít nhất 5 giá trị).

- Bước 2: Đồ thị hàm bậc số có dạng parabol nằm phía trên trục hoành nếu $a>0$ và nằm phía dưới trục hoành nếu $a<0$, đồng thời đi qua các điểm thuộc bảng giá trị.

- Bước 3: Vẽ đồ thị.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số: $y = x^2$

Bài giải

Ta có bảng giá trị:

Vẽ đồ thị hàm số:

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Dạng 2: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Thay tọa độ của điểm đó vào hàm số và kết luận như sau:

- Nếu được khẳng định đúng thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số.

- Nếu không đúng thì điểm đó không thuộc đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=f(x)=-\frac{1}{2} x^2$ có đồ thị $(C)$. Trong các điểm $A(2 ;-2), B(1 ; 0)$, $C\left(-1 ;-\frac{1}{2}\right)$, điểm nào thuộc đồ thị $(C)$, điểm nào không thuộc? Vì sao?

Bài giải

Điểm $A$ thuộc đồ thị $(C)$ vì $f\left(x_A\right)=-\frac{1}{2} \cdot(2)^2=-2=y_A$.

Điểm $B$ không thuộc đồ thị $(C)$ vì $f\left(x_B\right)=-\frac{1}{2} \cdot(1)^2=-\frac{1}{2} \neq y_B$.

Điểm $C$ thuộc đồ thị $(C)$ vì $f\left(x_C\right)=-\frac{1}{2} \cdot(-1)^2=-\frac{1}{2}=y_C$.

Ví dụ 2: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số $(C): y=5 x^2$ biết

a) Điểm đó có hoành độ bằng -2.

b) Điểm đó́ có tung độ bằng 5.

Bài giải

a) $x=-2 \Rightarrow y=5 \cdot(-2)^2=20$. Vậy tọa độ điểm là $(-2 ; 5)$.

b) $y=5 \Rightarrow 5 x^2=5 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x= \pm 1$. 

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là $(1 ; 5)$ và $(-1 ; 5)$.

Dạng 3: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là $(P)$. Điểm $M\left(x_0 ; y_0\right) \in(P) \Leftrightarrow y_0=f\left(x_0\right)$.

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai $y=a x^2$. Biết đồ thị đi qua điểm $A(10 ; 30)$.

Bài giải

Điểm $A(10 ; 30)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax^2 \Leftrightarrow 30=a \cdot 10^2 \Leftrightarrow a=\frac{3}{10}$. 

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{3}{10} x^2$.

Dạng 4: Bài toán tương giao

Phương pháp giải

Để tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$, ta tiến hành làm các bước như sau:

- Bước 1: Tìm phương trình hoành độ giao điểm: $a x^2=m x+n$ (4.1)

- Bước 2: Tìm số giao điểm

Nếu (4.1) vô nghiệm thì $(d)$ không cá́t $(P)$.

Nến (4.1) có 2 nghiệm thì phân biệt thì $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt.

Nếu (4.1) có nghiệm kép nghiệm thì $(d)$ tiếp xúc $(P)$ tại 1 điểm.

- Bước 3: Nếu phương trình (4.1) có nghiệm $x_i$ thì suy ra tung độ giao điểm là $y_i=a x_i^2$ hoặc $y_i=m x_i+n$

- Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=-x+2$.

a) Tìm tọa độ giao điểm $A, B\left(x_A>x_B\right)$ của $(d)$ và $(P)$.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Bài giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm $(d)$ và $(P)$

$x^2=-x+2 \Leftrightarrow x^2+x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\x=-2 .\end{array}\right.$

Với $x=1 \Rightarrow y=1$.

Với $x=-2 \Rightarrow y=4$.

Vậy $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ $A(1 ; 1)$ và $B(-2 ; 4)$.

b)

Gọi $C, D$ là hình chiếu của $B, A$ xuống $O x$.

Ta có

$\begin{aligned}& S_{B C D A}=\frac{(B C+A D) C D}{2}=\frac{(4+1) \cdot 3}{2}=\frac{15}{2}, \\& S_{B C O}=\frac{B C \cdot C O}{2}=4, \\& S_{A D O}=\frac{A D \cdot D O}{2}=\frac{1}{2} .\end{aligned}$

Suy ra

$S_{A B O}=S_{B C D A}-S_{B C O}-S_{A D O}=3 .$

Vậy diện tích tam giác ABO bằng 3 (đvdt).

Như vậy, Học là Giỏi đã tổng hợp các dạng bài tập về đồ thị hàm số $y=ax^2$, Học là Giỏi mong rằng các bạn làm tốt dạng bài tập này nhé. Chúc các bạn học tốt.

Xem thêm:
Các cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường gặp

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó