Toán lớp 10: Chuyên đề vị trí tương đối của hai đường thẳng

Lý thuyết vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Dưới đây là phần lý thuyết trọng tâm về vị trí tương đối của hai đường thẳng (Toán lớp 10):

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng:

\begin{aligned} & \Delta: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ & \Delta': a_2x + b_2y + c_2 = 0 \\ & \text{Khi đó, tọa độ giao điểm của } \Delta \text{ và } \Delta' \text{ là nghiệm của hệ phương trình (*):} \\ & \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases} \quad (*) \end{aligned}

$\Delta$ cắt $\Delta^{\prime}$ tại $M_0\left(x_0 ; y_0\right) \leftrightarrow$ hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất ( $x_0 ; y_0$ )

$\Delta / / \Delta^{\prime} \leftrightarrow$ hệ phương trình (*) vô nghiệm

$\Delta \equiv \Delta^{\prime} \leftrightarrow$ hệ phương trình (*) có vô số nghiệm

Dựa vào các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}$ của △ và △ ' ta có:

$\Delta / / \Delta^{\prime}$ hoặc $\Delta \equiv \Delta^{\prime} \leftrightarrow \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ cùng phường $\leftrightarrow \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}$ cùng phương

- Nếu $\triangle$ và $\triangle^{\prime}$ có điểm chung thì $\triangle \equiv \triangle^{\prime}$

- Nếu tồn tại điểm thuộc $\triangle$ nhưng không thuộc $\triangle^{\prime}$ thì $\triangle / / \triangle^{\prime}$

$\Delta$ cắt $\Delta^{\prime} \leftrightarrow \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ không cùng phường $\leftrightarrow \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}$ không cùng phương

Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng trùng nhau hoặc song song = 0°

Công thức: Cho hai đường thẳng

$$\begin{aligned}
& \Delta: a_1 \mathrm{x}+b_1 \mathrm{y}+c_1=0 \\
& \Delta^{\prime}: a_2 \mathrm{x}+b_2 \mathrm{y}+c_2=0
\end{aligned}
$$

Với vectơ pháp tuyến $\vec{v}_1\left(a_1 ; b_1\right)$ và $\overrightarrow{v_2}\left(a_2 ; b_2\right)$ tương ứng.

Khi đó, góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức:

\begin{aligned}
& \cos \varphi = \cos(\Delta; \Delta') = | \cos(\vec{v_1}, \vec{v_2}) | \\
& = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}
\end{aligned}

Chú ý:
- $\triangle \perp \triangle^{\prime} \leftrightarrow a_1 a_2+b_1 b_2=0$

- Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ có công thức tính góc tương đương vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}$

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng $\Delta: \mathrm{ax}+b \mathrm{y}+\mathrm{c}=0$ và điểm $N_0\left(x_0 ; y_0\right)$. Khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $\mathrm{d}(\mathrm{N}, \Delta)$, được tính bởi công thức: $d(N, \Delta)=\frac{\left|a_0 x+b_0 y+c_0\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Chú ý: Nếu $\mathrm{N} \in \triangle$ thì $\mathrm{d}(\mathrm{N}, \triangle)=0$

Phân loại dạng bài và phương pháp giải

Tổng hợp các dạng bài và phương pháp giải chi tiết về chuyên đề vị trí tương đối của hai đường thẳng - trình bày theo hướng dễ hiểu, áp dụng trực tiếp vào bài làm:

Dạng bài: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , xét hai đường thẳng: $\Delta: a_1 \mathrm{x}+b_1 \mathrm{y}+c_1=0$ và △ ': $a_2 \mathrm{x}+b_2 \mathrm{y}+c_2=0$. Để xác định vị trí tương đối cùa hai đường thẳng trên ta cần xét số nghiệm của hệ phương trình sau:

\begin{aligned}
& \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}
\end{aligned}
Nếu $a_2 b_2 c_2 \neq 0$ thì ta có:

- $\triangle$ cắt $\triangle^{\prime} \leftrightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

- $\Delta / / \Delta^{\prime} \leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{b_1}{c_2}$

- $\triangle \equiv \triangle^{\prime} \leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{b_1}{c_2}$

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng dưới đây:

a) $\triangle: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+1=0$ và $\triangle^{\prime}:-\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+2=0$

b) $\Delta: x-2 y+1=0$ và $\Delta^{\prime}: 2 x-4 y+2=0$

Lời giải 

a) Đường thẳng △ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1 ; 2)$ và đường thẳng $\triangle^{\prime}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2=(-2 ;-1)$.

Do đó, $\frac{1}{-2} \neq \frac{2}{-1}$ nên $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương $\rightarrow \triangle$ cắt $\triangle^{\prime}$

b) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^{\prime}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}x-2 y+1=0 \\2 x-4 y+2=0\end{array}\right.$

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm $\rightarrow \Delta$ và $\Delta^{\prime}$ có vô số điểm chung $\rightarrow \Delta \equiv \Delta^{\prime}$

Xem thêm:

Từ A đến Z về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Dấu của tam thức bậc 2 lớp 10: Giải nhanh các dạng toán

Dạng bài: Góc và khoảng cách

Như đã nêu ở trên ta có công thức tính góc giữa hai đường thẳng △ và △' như sau:

$\cos \left(\Delta ; \Delta^{\prime}\right)=\frac{\left|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2\right|}{\left|\vec{v}_1\right|\left|\vec{v}_2\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì N đến đường thẳng △ :

$\mathrm{d}(\mathrm{~N}, \Delta)=\frac{\left|a_0 x+b_0 y+c_0\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Ví dụ 1: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng △ và △ $^{\prime}$ trong các trường hợp sau:

a) $\triangle: 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-10=0$ và $\triangle^{\prime}:-2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-7=0$

b) $\Delta:\left\{\begin{array}{c}x=-1+\sqrt{3} t_1 \\ y=1+t_1\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{c}x=-1+\sqrt{3} t_2 \\ y=4-t_2\end{array}\right.$

Lời giải 

a) Đường thẳng △ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{v_1}=(3 ; 1)$ và đường thẳng $\Delta^{\prime}$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{v_2}=(-2 ; 1)$

Do đó, ta có: $\cos \left(\Delta ; \Delta^{\prime}\right)=\frac{|3 \cdot(-2)+1 \cdot 1|}{\sqrt{3^2+1^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\cos \left(\Delta ; \Delta^{\prime}\right)=45^{\circ}$

b) Đường thẳng △ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{3} ; 1)$ và đường thẳng △ ' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(\sqrt{3} ;-1)$.

Do đó, ta có: $\cos \left(\Delta ; \Delta^{\prime}\right)=\frac{|\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+1 \cdot(-1)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=\frac{1}{2}$

Vậy $\cos \left(\triangle ; \triangle^{\prime}\right)=60^{\circ}$

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng △ trong các mọi trường hợp sau:

a) $\mathrm{A}(-2 ; 1)$ và $\triangle: 2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+5=0$

b) $\mathrm{B}(1 ; 3)$ và $\triangle:\left\{\begin{array}{c}x=-2+3 t \\ y=2-4 t\end{array}\right.$

Lời giải

a) Ta có: $d(A, \triangle)=\frac{|2 \cdot(-2)-3 \cdot 1+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $\mathrm{B}(-2 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{v}=(4 ; 3)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $4(\mathrm{x}+2)+3(\mathrm{y}-2)=0$.

Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $4 x+3 y+2=0$.

Vậy $\mathrm{d}(\mathrm{B}, \Delta)=\frac{|4 \cdot 1+3 \cdot(-3)+2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}$

Bài tập xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Luyện tập xét vị trí tương đối của hai đường thẳng được chia theo từng dạng, giúp bạn luyện đầy đủ các dạng:

Bài tập luyện tập dạng toán 1

Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng $\triangle: \mathrm{x}+\mathrm{y}-4=0$ và $\triangle^{\prime}:-2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+6=0$.

Bài 2: Xét vị trí tương đối cùa 2 đường thẳng $\Delta$ : $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=-2-t\end{array}\right.$ và

$\Delta^{\prime}:\left\{\begin{array}{c}x=-1-4 t^{\prime} \\y=3+2 t^{\prime}\end{array}\right.$

Bài 3: Cho hai đường thẳng $\triangle_1:(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+\mathrm{y}+2=0$ và $\triangle_2: 2 \mathrm{x}+(\mathrm{m}-1) \mathrm{y}-3=0$. Tìm m sao cho $\triangle_1 / / \triangle_2$

Bài 4: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $\triangle$ và $\triangle^{\prime}$. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

\begin{aligned}
& \Delta: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t + 2 \end{cases} \\
\\
& \Delta': \begin{cases} x = 2 + s \\ y = 1 + s \\ z = 1 + 2s \end{cases}
\end{aligned}

Bài 5: Cho ba đường thẳng $\Delta_1: 3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+5=0, \Delta_2: 2 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-7=0$ và $\triangle_3: 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-1=0$. Tìm phương trình đường thẳng $\triangle$ sao cho $\triangle / / \triangle_3$ và △ đồng quy với $\triangle_1$ và $\triangle_2$.

Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho:
$\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}$
$\triangle^{\prime}: \frac{x}{4}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{6}$

Xác định hai đường thẳng cắt nhau, song song hay chéo nhau?

Bài 7: Cho hai đường thẳng $d_1: x \cos \alpha+y \sin \alpha-1=0$ và $d_2: x \sin \alpha-y \cos \alpha+2=0$. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng theo $\alpha$.

Bài tập luyện tập dạng toán 2

Bài 1: Cho 2 đường thẳng $\triangle: 2 x-4 y-3=0$ và $\triangle^{\prime}: 3 x-y+17=0$. Tính $\cos \left(\triangle ; \triangle^{\prime}\right)$

Bài 2: Tìm tham số k để $\triangle: \mathrm{y}=\mathrm{kc}$ và $\triangle^{\prime}: \mathrm{y}=\mathrm{x}$ có $\cos \left(\triangle ; \triangle^{\prime}\right)=60^{\circ}$

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}(1 ; 1)$ đến đường thẳng $\triangle: 5 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}-6=0$

Bài 4: Một đường tròn có tâm $\mathrm{I}(3 ;-2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{x}-5 \mathrm{y}+1=0$. Tính bán kính của đường tròn trên.

Bài 5: Cho tam giác MNP với 3 điểm $\mathrm{M}(1 ; 2), \mathrm{N}(0 ; 3)$ và $\mathrm{P}(4 ; 0)$. Tính chiều cao các cạnh tam giác MNP.

Bài 6: Tìm giá trị tham số k với điểm $\mathrm{A}(-1 ; 2)$ đến đường thẳng $\triangle: \mathrm{kx}+\mathrm{y}-\mathrm{k}+4=0$ thỏa mãn $\mathrm{d}(\mathrm{A}, \triangle)=2 \sqrt{5}$.

Bài 7: Cho hệ tọa độ Oxy , có hai điểm $\mathrm{M}(1 ; 1)$ và $\mathrm{N}(-2 ; 4)$ và đường thẳng $\Delta: \mathrm{kx}-\mathrm{y}+3=0$. Tìm tất cả giá trị của tham số k sao cho 2 điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ cách đều đường thẳng △ .

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức cốt lõi về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong chương trình Toán lớp 10, đi kèm định hướng giải bài rõ ràng và dễ áp dụng. Đồng hành cùng gia sư Học là Giỏi trong các bài viết tiếp theo để xây dựng tư duy toán học vững chắc và hiệu quả.

Nhiều học sinh làm tốt từng dạng bài riêng, nhưng lại lúng túng khi đề thay đổi cách hỏi hoặc kết hợp kiến thức. Nguyên nhân là do học sinh chưa theo hệ thống. Khóa học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi được thiết kế nhằm khắc phục chính điểm này, giúp học sinh kết nối kiến thức, nâng cao phản xạ và xử lý bài toán hiệu quả hơn.