Dấu của tam thức bậc 2 lớp 10: Giải nhanh các dạng toán

Tóm tắt lý thuyết dấu của tam thức bậc 2

Để giải nhanh các bài toán bất phương trình hay xét dấu biểu thức, việc hiểu rõ về định lý và các quy tắc xét dấu là vô cùng quan trọng.

Tam thức bậc 2 là gì?

Tam thức bậc 2 (biến x ) biểu thức có dạng $\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$. Trong đó $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là những số thực cho trước với $\mathrm{a} \neq 0$.

Nghiệm phương trình $\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f(\mathrm{x})= \mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$.

$\Delta=b^2-4 \mathrm{ac}$ và $\Delta^{\prime}=b^{\prime^2}-\mathrm{ac}$ với $\mathrm{b}=2 \mathrm{~b}^{\prime}$ tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn cùa tam thức bậc hai cùa $f(x)=a x^2+b x+c$.

Định lý dấu tam thức bậc 2

Định lý thuận: Cho tam thức bậc hai $f(\mathrm{x})=\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}($ với $\mathrm{a} \neq 0)$ có $\Delta=b^2-4 \mathrm{ac}$ :

- Nếu $\triangle<0$ thì $f(\mathrm{x})$ cùng dấu với hệ số a (với $\forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ )

- Nếu $\triangle=0$ thì $f(\mathrm{x})$ cùng dấu với hệ số a (với $\forall \mathrm{x} \neq-\frac{b}{2 a}$ và $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=0$ )

- Nếu $\Delta>0$ thì $f(\mathrm{x})$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2\left(x_1<x_2\right)$. Khi đó $f(\mathrm{x})$ cùng dấu với hệ số a (với $\forall \mathrm{x} \in\left(-\infty ; x_1\right) \cup\left(x_1 ;+\infty\right)$ và $f(\mathrm{x})$ trái dấu với hệ số a với $\forall \mathrm{x} \in\left(x_1\right.$; $x_2$ )

*Mẹo ghi nhớ: Khi xét dấu tam thức bậc hai có hai nghiệm, ta áp dụng quy tắc "trong trái, ngoài cùng" nghĩa là: trong khoảng hai nghiệm thì $f(\mathrm{x})$ trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì $f(\mathrm{x})$ cùng dấu với a .

Định lý đảo: Cho tam thức bậc hai $f(\mathrm{x})=\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ với $\mathrm{a} \neq 0$. Nếu tồn tại số $\alpha$ thỏa mãn $\alpha . f(\alpha)<0$ thì $f(\mathrm{x})$ sẽ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2: x_1<\alpha<x_2$

Bảng xét dấu tam thức bậc 2

Dấu của tam thức bậc 2 được thể hiện trong bảng dưới đây:

Ứng dụng dấu tam thức bậc 2

Nhận xét: Trong 2 trường hợp $\mathrm{a}>0$ và $\mathrm{a}<0$, ta có:
- $\Delta>0, f(\mathrm{x})$ có đủ cả hai dấu âm và dương
- $\Delta \leq 0, f(\mathrm{x})$ chỉ có một trong hai dấu âm và dương

Với tam thức bậc hai $\mathrm{a} x^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ với $\mathrm{a} \neq 0$ :

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{a} \mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}>0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R} \leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a>0 \\
\Delta<0
\end{array}\right. \\
& \mathrm{a} \mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}<0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R} \leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a<0 \\
\Delta<0
\end{array}\right. \\
& \mathrm{a} \mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c} \geq 0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R} \leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a>0 \\
\Delta \leq 0
\end{array}\right. \\
& \mathrm{a} \mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c} \leq 0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R} \leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a<0 \\
\Delta \leq 0
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

Các dạng toán, hướng giải và ví dụ chi tiết

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài toán tiêu biểu, kèm theo phương pháp giải rõ ràng và ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn hiểu sâu và áp dụng hiệu quả vào bài tập.

Dạng 1: Xét dấu biểu thức chứa tam thức bậc hai

Dựa trên định lý dấu tam thức bậc hai để xét dấu các biểu thức

Đối với đa thức bậc cao P(x):

- Phân tích đa thức P(x) thành tích các tam thức bậc hai

- Lập bảng xét dấu của đa thức P(x)

Đối với phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$, trong đó $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ và $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ là các đa thức:

- Phân tích đa thức $\mathrm{P}(\mathrm{x}), \mathrm{Q}(\mathrm{x})$ thành tích các tam thức bậc hai

- Lập bảng xét dấu của phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$

Ví dụ 1: Xét dấu cùa các tam thức sau:

a) $3 x^2-2 x+1$

b) $3 x^2-2 x-8$

c) $-4 x^2+12 x-9$

Lời giải

a) Ta có: $\Delta^{\prime}=-2<0$ và $\mathrm{a}=3>0$

$$\rightarrow 3 x^2-2 \mathrm{x}+1>0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}$$

b) $3 x^2-2 x-8=0 \leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-\frac{4}{3}$

Ta có bảng xét dấu:

$$\rightarrow 3 x^2-2 x-8>0 \rightarrow x \in\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right) \cup(2 ;+\infty)$$ và $3 x^2-2 \mathrm{x}-8<0 \rightarrow \mathrm{x} \in\left(-\frac{4}{3} ; 2\right)$

c) Ta có: $\Delta^{\prime}=0$ và a $<0 \rightarrow-4 x^2+12 \mathrm{x}-9<0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R} \backslash\left\{\frac{3}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau:

a) $\frac{x^2-x-2}{-x^2+3 x+4}$

b) $\left(-x^2+x-1\right)\left(6 x^2-5 x+1\right)$

c) $x-\frac{x^2-x+6}{-x^2+3 x+4}$

Lời giải

a) Ta có:

$$
\begin{aligned}
& x^2-x-2=0 \leftrightarrow \mathrm{x}=-1 \text { hoặc } \mathrm{x}=2 \\
& -x^2+3 x+4=0 \leftrightarrow \mathrm{x}=-1 \text { hoặc } \mathrm{x}=4
\end{aligned}
$$

Bảng xét dấu

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \frac{x^2-x-2}{-x^2+3 x+4}>0 \leftrightarrow \mathrm{x} \in(2 ; 4) \\
& \frac{x^2-x-2}{-x^2+3 x+4}<0 \leftrightarrow \mathrm{x} \in(-\infty ;-1) \cup(-1 ; 2) \cup(4 ;+\infty)
\end{aligned}
$$

b) Ta có:

$-x^2+\mathrm{x}-1=0$ vô nghiệm
$6 x^2-5 \mathrm{x}+1=0 \leftrightarrow \mathrm{x}=\frac{1}{2}$ hoặc $\mathrm{x}=\frac{1}{3}$

Bảng xét dấu

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow\left(-x^2+x-1\right)\left(6 x^2-5 x+1\right)>0 \leftrightarrow x \in\left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{2}\right) \\
& \left(-x^2+x-1\right)\left(6 x^2-5 x+1\right)<0 \leftrightarrow x \in\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{2} ;+\infty\right)
\end{aligned}
$$

c) $\mathrm{X}-\frac{x^2-x+6}{-x^2+3 x+4}=\frac{(x-1)\left(-x^2+x+6\right)}{-x^2+3 x+4}$

$$
\begin{aligned}
& -x^2+x+6=0 \leftrightarrow \mathrm{x}=-2 \text { hoặc } \mathrm{x}=3 \\
& -x^2+3 x+4=0 \leftrightarrow \mathrm{x}=-1 \text { hoặc } \mathrm{x}=4
\end{aligned}
$$

Bảng xét dấu

\begin{aligned}
& \rightarrow \mathrm{x}-\frac{x^2-x+6}{-x^2+3 x+4}>0 \leftrightarrow \mathrm{x} \in(-2 ;-1) \cup(1 ; 3) \cup(4 ;+\infty) \\
& \mathrm{x}-\frac{x^2-x+6}{-x^2+3 x+4}<0 \leftrightarrow \mathrm{x} \in(-\infty ;-2) \cup(-1 ; 1) \cup(3 ; 4)
\end{aligned}

Xem thêm:

Từ A đến Z về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Vectơ trong mặt phẳng tọa độ: Lý thuyết và bài tập trọng tâm

Dạng 2: Bài toán chứa tham số liên quan đến tam thức bậc hai luôn mang một dấu.

Phương pháp: Sử dụng ứng dụng tam thức bậc hai để giải đề bài

Ví dụ 1: Tìm m để $f(\mathrm{x})=x^2-2 \mathrm{x}-\mathrm{m}+3>0$ với $\forall \mathrm{x}$

Lời giải

$$
\begin{aligned}
& f(\mathrm{x})=x^2-2 \mathrm{x}-\mathrm{m}+3(\mathrm{a}=1>0) \\
& \Delta^{\prime}=(-1)-1 \cdot(-\mathrm{m}+3)=\mathrm{m}-2
\end{aligned}
$$

Đề $f(\mathrm{x})>0$ với $\forall \mathrm{x}$ thì $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}<0 \\ a>0\end{array} \leftrightarrow \mathrm{~m}-2<0 \leftrightarrow \mathrm{~m}<2\right.$

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với $\forall m$ thì $x^2-2(m+2) x-(m+3)=0$ luôn có nghiệm

Lời giải

Ta có: $\Delta=(m+2)^2+\mathrm{m}+3=m^2+5 \mathrm{~m}+7$

Vì $m^2+5 m+7$ có $a_m=1>0, \Delta^{\prime}=-2<0$ nên $x=-4, x=0$ với $\forall m$

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với $\forall \mathrm{m}$.

Bài tập xét dấu tam thức bậc 2 cơ bản đến nâng cao

Hệ thống bài tập dưới đây sẽ giúp bạn rèn luyện toàn diện và áp dụng hiệu quả trong mọi dạng đề.

Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $x^2+x+1$
b) $-3 x^2+x-\sqrt{2}$

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{x^2-2 x+6}$

Bài 3: Tìm x để $\left|x^2-3 \mathrm{x}+2\right| \leq \mathrm{x}-1$

Bài 4: Giải bất phương trình: $\frac{x^2+x-1}{x-2}>\frac{1}{x^2-x}+\frac{x^3-2 x}{x^2-3 x+2}$

Bài 5: Giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2-4 x+3>0 \\ x^2-6 x+8>0\end{array}\right.$

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\mathrm{A}=x^2-4 \mathrm{x}+5$

Bài 7: Tìm m để $\forall \mathrm{x} \in[-1 ; 1]$ đều là nghiệm của bất phương trình $3 x^2-2(\mathrm{~m}+5) \mathrm{x}-m^2+2 \mathrm{~m}+8 \leq 0$.

Bài 8: Tìm m đề phương trình $(\mathrm{m}+1) x^2-2(\mathrm{~m}+2) \mathrm{x}+\mathrm{m}-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\neq 0$ sao cho $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>3$.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm chắc kiến thức về dấu của tam thức bậc 2 trong chương trình Toán lớp 10, từ cách xác định dấu, điều kiện của biệt thức Δ đến phương pháp xét dấu nhanh trên bảng và áp dụng vào các dạng bài tập phổ biến.

Trong quá trình học, không ít bạn gặp tình trạng hiểu lý thuyết nhưng lại lúng túng khi làm bài. Nếu bạn đang gặp tình trạng trên, việc có một lộ trình học bài bản cùng sự hướng dẫn chi tiết sẽ giúp bạn tiến bộ rõ rệt. Khóa học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi sẽ hỗ trợ bạn hệ thống lại kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải nhanh và tự tin chinh phục các bài toán trên lớp cũng như trong các kỳ kiểm tra.