Cách tính độ dài vectơ lớp 10: Công thức và bài tập mẫu

Độ dài vectơ là gì?

Vectơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B , được ký hiệu là $\overrightarrow{A B}$

Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là độ dài vectơ

Độ dài vectơ $\vec{u}$ được ký hiệu là $|\vec{u}|$

Do vậy, ta có: $|\overrightarrow{A B}|=\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$

Vectơ 0 là gì?

Vecto 0 là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Được ký hiệu là $\overrightarrow{0}$

*Chú ý:

- Vectơ không có độ dài bằng 0

- $\overrightarrow{0}$ có cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

- Mọi vectơ không đều bằng nhau: $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A A}=\overrightarrow{B B}$

- Vectơ đối cùa $\overrightarrow{0}$ là chính nó

Cách tính độ dài vectơ?

Độ dài vectơ thường được tính trong hai hệ tọa độ Oxy và Oxyz. Mỗi trường hợp sẽ có công thức riêng nhưng đều dựa trên nguyên tắc chung. Vậy cách tính độ dài vectơ trong hai mặt phẳng này như thế nào?

Trong mặt phẳng Oxy

Độ dài của vectơ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho $\vec{u}=(\mathrm{x}$, y). Độ dài $\vec{u}$ được tính như sau:

$<br>|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}<br>$

Độ dài của đoạn thẳng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt $\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ và $\mathrm{B}\left(\mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}\right)$. Độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau:

$<br>\mathrm{AB}=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^2+\left(y^{\prime}-y\right)^2}<br>$

Ví dụ: Trong mặt phẳng $\mathrm{Oxy}, \vec{u}=(4 ; 3)$ và 2 điểm $\mathrm{A}(2 ; 1), \mathrm{B}(-4 ; 9)$. Khi đó:

a) Độ dài của $\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$

b) Độ dài đoạn thẳng $\mathrm{AB}=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{(-4-2)^2+(9-1)^2}=\sqrt{100}=10$

Trong mặt phẳng Oxyz

Độ dài của vectơ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , cho $\vec{u}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$. Độ dài $\vec{u}$ được tính như sau:

$<br>|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}<br>$

Độ dài của đoạn thẳng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm phân biệt $\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ và $\mathrm{B}\left(\mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}, \mathrm{z}^{\prime}\right)$. Độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau:

$<br>\mathrm{AB}=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^2+\left(y^{\prime}-y\right)^2+\left(z^{\prime}-z\right)^2}<br>$

Ví dụ: Trong mặt phẳng $\mathrm{Oxyz}, \vec{u}=(-2 ; 1 ; 2)$ và 2 điểm $\mathrm{A}(1 ; 2 ; 3), \mathrm{B}(4 ; 6 ; 8)$. Khi đó:

a) Độ dài cùa $\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

b) Độ dài đoạn thẳng $\mathrm{AB}=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(8-3)^2}=\sqrt{50} =5 \sqrt{2}$

Xem thêm: Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10

Ví dụ tính độ dài vectơ dễ hiểu

Dưới đây là một số ví dụ minh họa dễ hiểu về cách tính độ dài 2 vectơ để bạn luyện tập và ghi nhớ nhanh hơn.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho 2 vectơ $\vec{u}=(4 ; 1)$ và $\vec{v}=(1 ; 4)$. Tính độ dài vecto $\vec{u}+\vec{v}, \vec{u}-\vec{v}$

Lời giải

Ta có: $\vec{u}+\vec{v}=(4+1 ; 1+4)=(5 ; 5)$

$<br>\rightarrow|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}<br>$

Ta có: $\vec{u}-\vec{v}=(4-1 ; 1-4)=(3 ;-3)$

$<br>\rightarrow|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}<br>$

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tính độ dài vectơ dựa trên điểm đầu và điểm cuối $\mathrm{M}(1 ;-2)$ và $\mathrm{N}(-3 ; 4)$

Lời giải

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn, ta có:

$$
\begin{aligned}
\mathrm{MN}=|\overrightarrow{M N}| & =\sqrt{\left(x_N-x_M\right)^2+\left(y_N-y_M\right)^2} \\
& =\sqrt{(-3-1)^2+(4-(-2))^2} \\
& =\sqrt{52} \\
& =2 \sqrt{13}
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có $\mathrm{A}(1 ; 4), \mathrm{B}(3 ; 2)$, $\mathrm{C}(5 ; 4)$. Chu vi tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{AB}=\sqrt{(3-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\
& \mathrm{AC}=\sqrt{(5-1)^2+(4-4)^2}=\sqrt{16}=4 \\
& \mathrm{BC}=\sqrt{(5-3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}
\end{aligned}
$$

Vậy chu vi tam giác $\mathrm{ABC}=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=2 \sqrt{2}+4+2 \sqrt{2}=4+4 \sqrt{2}$

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho 4 điểm $\mathrm{M}(-1 ; 1), \mathrm{N}(0 ; 2), \mathrm{P}(3 ; 1)$, $\mathrm{Q}(0 ;-2)$. Xác định tứ giác MNPQ ?

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{M N}=(1 ; 1)$ và $\overrightarrow{Q P}=(3 ; 3) \rightarrow \overrightarrow{Q P}=3 \overrightarrow{M N} \rightarrow \overrightarrow{Q P} / / \overrightarrow{M N}$

Do đó tứ giác MNPQ là hình thang

Lại có:

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{MP}=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4 \\
& \mathrm{NQ}=\sqrt{(0-0)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{16}=4
\end{aligned}
$$

$\rightarrow \mathrm{MP}=\mathrm{NQ}$ (hai đường chéo có kích thước bằng nhau)

Do đó tứ giác MNPQ là hình thang cân

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{M}(1 ; 3), \mathrm{N}(4 ; 2)$. Tìm tọa độ P thuộc trục hoành sao cho P cách đều 2 điểm M và N .

Lời giải

Ta có: $\mathrm{P} \in \mathrm{Ox} \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{x} ; 0)$

Do đó:

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{MP}=\sqrt{(x-1)^2+(-3)^2} \\
& \mathrm{NP}=\sqrt{(x-4)^2+(-2)^2}
\end{aligned}
$$

$$\begin{aligned} &\text{Vì } P \text{ cách đều } M \text{ và } N \implies PM^2 = PN^2 \\ &\iff (x-1)^2 + (-3)^2 = (x-4)^2 + (-2)^2 \\ &\iff x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 8x + 16 + 4 \\ &\iff 6x = 10 \\ &\iff x = \frac{5}{3} \\ &\implies P\left(\frac{5}{3}; 0\right) \end{aligned}$$

Bài tập tính độ dài vectơ cơ bản đến nâng cao

Dưới đây là 10 bài tập tính độ dài vecto lớp 10, được chia thành 5 bài cơ bản và 5 bài nâng cao, phù hợp để luyện từ dễ đến khó.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A (1; 2), B (5; 6),  B (3; -2)

a) Tính độ dài $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B C}$

b) Tính độ dài các cạnh trong tam giác

c) Tam giác ABC có vuông không?

Bài 2: Cho hai điểm $\mathrm{A}(-2 ; 3), \mathrm{B}(4 ;-1)$. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB

a) Tính tọa độ M

b) Tính độ dài $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B M}, \overrightarrow{A B}$

c) Chứng minh $\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxyz, cho các điểm $\mathrm{A}(1 ; 0 ; 2), \mathrm{B}(3 ;-2 ; 4), \mathrm{C}(-1 ; 1 ; 0)$

a) Tính độ dài $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B C}$

b) So sánh $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|$ với $|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{A C}|$

Bài 4: Cho vectơ $\vec{a}=(\mathrm{x} ; 2)$ và $\vec{b}=(3 ; \mathrm{y})$. Biết rằng $|\vec{a}|=5$ và $|\vec{b}|=\sqrt{13}$

a) Tìm $x, y$

b) Tính độ dài $|\vec{a}+\vec{b}|$

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD trong mặt phẳng Oxy với $\mathrm{A}(0 ; 0), \mathrm{B}(4 ; 2), \mathrm{D}(1$; 5)

a) Tìm tọa độ điểm C

b) Tính độ dài $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C}$

Bài tập nâng cao

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(4 ; 6)$. Gọi điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ thỏa mãn: $|\overrightarrow{M A}|=2|\overrightarrow{M B}|$. Tìm tọa độ điểm M

Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm $\mathrm{A}(1 ; 2 ; 3), \mathrm{B}(4 ; 6 ; \mathrm{x})$. Biết rằng khoảng cách $\mathrm{AB}=5$. Giải tìm x

Bài 3: Cho 2 vectơ $\vec{a}=(2 ;-1)$ và $\vec{b}=(1 ; 3)$. Gọi $\vec{c}=\mathrm{m} \vec{a}+\vec{b}$

a) Tính độ dài $|\vec{c}|$ theo m

b) Tìm m để $|\vec{c}|$ nhỏ nhất

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(5 ; 4)$. Tìm $\mathrm{M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ thuộc trục hoành sao cho: $|\overrightarrow{M A}|+|\overrightarrow{M B}|$ nhỏ nhất.

Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ $\vec{u}=(1 ; 2 ; 2)$ và $\vec{v}=(2 ;-1 ; 2)$

a) $\operatorname{Tìm}|\vec{u}|,|\vec{v}|$

b) Tìm| $\vec{u}+\vec{v}|,|\vec{u}-\vec{v}|$

c) Chứng minh: $|\vec{u}+\vec{v}|^2+|\vec{u}-\vec{v}|^2=2\left(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\right)$

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hệ thống hóa công thức và phương pháp tính độ dài vectơ một cách rõ ràng. Từ đó, bạn có thể áp dụng hiệu quả vào các bài toán trong cả mặt phẳng và không gian. 

Nếu bạn đang gặp khó khăn hoặc còn nhiều băn khoăn khi học toán hình 10, đừng ngần ngại tìm đến khóa học Toán lớp 10 tại Hệ thống Giáo dục Học Là Giỏi. Tại đây, bạn sẽ được hướng dẫn các phương pháp ghi nhớ công thức một cách logic, dễ hiểu, đồng thời rèn luyện kỹ năng áp dụng vào từng dạng bài cụ thể. Nhờ đó, việc học trở nên nhẹ nhàng hơn và kết quả trên lớp cũng được cải thiện rõ rệt.