Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10: Hiểu nhanh trong 5 phút

Lý thuyết tổng và hiệu của hai vectơ

Dưới đây là các định nghĩa, tính chất và các quy tắc biến đổi quan trọng nhất, tạo tiền đề để giải quyết mọi dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao liên quan đến tổng và hiệu của hai vectơ.

Tổng của hai vectơ

- Định nghĩa: 

Cho 2 vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Từ điểm A tùy ý vẽ B và C , khi đó $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}$

Tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}: \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A C}$

- Tính chất:

Giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

Kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

Tính chất vectơ - không: $\vec{a}+\overrightarrow{0}=\vec{a}, \forall \vec{a}$

- Quy tắc:

Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$

I là trung điểm AB , thì: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}$

G là trọng tâm tam giác ABC , suy ra: $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$

*Mở rộng: Cho n điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n: \vec{A}_1 \vec{A}_2+\vec{A}_2 A_3+\ldots+A_{n-1} A_n=\overrightarrow{A_1 A}{ }_n$

Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành, thì: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$

Hiệu của hai vectơ

- Vectơ đối của một vectơ:

Hai vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng được gọi là 2 vectơ đối nhau

Vectơ đối của $\vec{a}$ là $-\vec{a} ; \overrightarrow{0}$ là $\overrightarrow{0}$

Như vậy: $\vec{a}+(-\vec{a})=0, \forall \vec{a}$

Trong hình bình hành ABCD , vectơ đối cùa $\overrightarrow{A B}$ là $\overrightarrow{C D}$

- Hiệu hai vectơ:

Hiệu cùa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng cùa vectơ $\vec{a}$ và vectơ đối cùa $\vec{b}$

Tổng cùa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}: \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

- Quy tắc: Với 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A B}$

Các dạng bài và phương pháp giải

Chi tiết các dạng bài tập trọng tâm, đi kèm phương pháp giải tối ưu và các quy tắc giúp bạn làm chủ nội dung tổng và hiệu của hai vectơ một cách nhanh chóng.

Dạng 1: Xác định độ dài tổng và hiệu của hai vectơ

Phương pháp giải: 

- Sử dụng định nghĩa, tính chất và quy tắc tổng và hiệu của hai vectơ 

- Dựa trên hình, kết hợp định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1: Cho hình bình hành $A B C D$. Hai điểm $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và AD . E là giao điểm giữa AC và BD . Xác định tổng của hai vectơ $\overrightarrow{Q C}+\overrightarrow{P C}, \overrightarrow{A P}+ \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{Q C}, \overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A Q}$

Lời giải

Vì $\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{A Q}$ nên $\overrightarrow{Q C}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{Q C}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{A C}$

Vì $\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B A}$ nên $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B P}$

Với DAPE là hình bình hành mà $\overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{A P}$ nên $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A E}$

Vì APCQ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{A C}$

Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$. Các điểm $P, Q$ và $O$ lần lượt là trung điểm của $A B, A C$ và $B C$. Xác định hiệu $\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A Q}, \overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{Q C}, \overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{O Q}, \overrightarrow{B O}-\overrightarrow{C O}$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{Q P}$

Vì $\overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{P O}$ nên $\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{P O}=\overrightarrow{O Q}$

Vì $-\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{Q O}$ nên $\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q O}=\overrightarrow{P O}$

Vì $-\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{O C}$ nên $\overrightarrow{B O}-\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{B C}$

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ 

Phương pháp giải: 

Áp dụng các cách biến đổi: vế này thành vía kia, biến đổi hai vế bằng một đại lượng trung gian, biến đổi tương đương. Sử dụng linh hoạt các quy tắc vectơ. 

Lưu ý: Cần biến đổi có hướng đích. Nếu vế trái có AC  mà vế phải lại có AB , bạn phải nghĩ ngay đến việc "chèn" điểm B vào giữa hoặc tìm một vectơ bằng AB  để kết nối. Đó chính là biến đổi hướng đích.

Ví dụ 1: Cho năm điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{O}$. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{O D}$

b) $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C B} \mid$

Lời giải

a) Biến đổi vế trái ta có:

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{O A} & =\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{D A} \\
& =\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A} \\
& =\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D A} \\
& =\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{O D} \text { (Điều phải chứng minh) }
\end{aligned}
$$

b) Đẳng thức tương đương ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C B} \\
& \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{0} \\
& \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{0} \\
& \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \text { (Điều phải chứng minh) }
\end{aligned}
$$

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và AMNP có chung đỉnh A . Chứng minh:

$<br>\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0}<br>$

Lời giải

Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A P}= \\
& \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Dựng $\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{P E}=\overrightarrow{D C}, \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{B C}$.
Chứng $\operatorname{minh} \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{0}$

Lời giải

Theo quy tắc 3 điểm, ta có: $\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q E}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{B C}$

Mặt khác: $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B D}, \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D B}$ suy ra $\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{0}$

Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Nắm vững các quy tắc 3 điểm, hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm.

Ví dụ 1: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm O sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

a) $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}$
b) $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}$
c) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}$
d) $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A O}$

Lời giải

a) $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A} \leftrightarrow \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B A} \leftrightarrow$ Vậy mọi điểm O đều thỏa mãn

b) $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B} \leftrightarrow \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{A B} \leftrightarrow$ Vậy $\mathrm{A} \equiv \mathrm{B} \leftrightarrow$ Vậy không có điểm O nào thỏa mãn

c) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0} \leftrightarrow \overrightarrow{O A}=-\overrightarrow{O B} \leftrightarrow$ Vậy O là trung điểm đoạn AB

d) $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A O} \leftrightarrow \mathrm{~A} \equiv \mathrm{O}$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm điểm O thỏa mãn điều kiện: $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \leftrightarrow \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \leftrightarrow \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O C} \leftrightarrow$ Vậy O là điểm thứ tư trong hình bình hành ABCO

Bài tập tự luyện tổng và hiệu của hai vectơ

Dưới đây là tổng hợp các dạng toán điển hình về tổng và hiệu của hai vectơ để bạn tự đánh giá năng lực. Các bài toán được phân loại rõ ràng theo từng cấp độ, đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt giữa quan sát hình ảnh và biến đổi linh hoạt.

Dạng bài cơ bản

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD . Biết $\mathrm{AB}=3 \mathrm{a}, \mathrm{AD}=\mathrm{a}$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$

Bài 2: Cho tam giác ABC , chứng minh: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$

Bài 3: Cho hình bình hành $\mathrm{ABCD}, \mathrm{O}$ và E lần lượt là trung điểm của BC và AD . Tính tồng của hai vectơ:
a) $\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{C B}$ và $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D A}$
b) $\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{O C}$ và $\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{C D}$

Bài 4: Cho tam giác ABC . Gọi $\mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{O}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}+\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{0}$
b) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F}+\overrightarrow{M O}$, với M là điểm bất kì

Bài 5: Cho 5 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{C B}$
b) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{D B}$

Dạng bài nâng cao

Bài 1: Cho tam giác ABC . Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành $\mathrm{ABEF}, \mathrm{BCMN}$, CAPQ . Chứng minh rằng: $\overrightarrow{P F}+\overrightarrow{E N}+\overrightarrow{M Q}=\overrightarrow{0}$

Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD có $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AD}, \mathrm{BC}$ và O là trung điểm của MN . Gọi E là điểm đối xứng của O qua $\mathrm{M}, \mathrm{F}$ là điểm đối xứng của O qua N . Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O E}$ và $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$
b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$

Bài 3: Cho n điểm phân biệt trên một mặt phẳng. Bạn Phương kí hiệu chúng là $P_1, P_2 , \ldots, P_n$. Bạn Quỳnh kí hiệu chúng là $Q_1, Q_2, \ldots, Q_n\left(P_1 \neq Q_n\right)$. Chứng minh rằng:

$<br>\overrightarrow{P_1 Q_1}+{\overrightarrow{P_2}}_2+\ldots+{\overrightarrow{P_n Q}}_n=\overrightarrow{0}<br>$

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hệ thống hóa kiến thức về tổng và hiệu của hai vectơ một cách súc tích nhất. Nắm vững chương này chính là cơ sở để thực hiện các nội dung về tích của một số với vectơ và hệ tọa độ vectơ trong các chương sau. Hãy bắt đầu luyện tập ngay để biến các bài toán khó trở nên thành thạo.

Để củng cố nền tảng và bứt phá điểm số với các bài toán nâng cao, tham gia ngay Khoá học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học Là Giỏi. Đây là lộ trình tối ưu giúp các em học thêm hoặc ôn luyện chuyên sâu về kiến thức tổng và hiệu của hai vectơ một cách hiệu quả, cải thiện rõ rệt kết quả học tập!