Vectơ trong mặt phẳng tọa độ: Lý thuyết và bài tập trọng tâm

Định nghĩa tọa độ vectơ

Trên mặt phẳng, gồm hai trục Ox và Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ trục tọa độ.

Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy hay mặt phẳng tọa độ Oxy.

Vectơ đơn vị là vectơ hướng là chiều dương và có độ dài bằng 1.

Quy ước:

- Vectơ đơn vị của trục Ox là $\vec{i}$, vecto đơn vị của trục Oy là $\vec{j}$.

- Điểm O gọi là gốc trục tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung

Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số ( $x_0 ; y_0$ ) sao cho:

$\vec{u}=x_0 \cdot \vec{i}+y_0 \cdot \vec{j}$

Vecto $\vec{u}$ có tọa độ $\left(x_0 ; y_0\right)$ được viết là $\vec{u}=\left(x_0 ; y_0\right)$ hoặc $\vec{u}\left(x_0 ; y_0\right)$. Các số $x_0, y_0$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$.

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ:

$\vec{u}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})=\vec{v}\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime}\right) \leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=x^{\prime} \\y=y^{\prime}\end{array}\right.$

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ và $\vec{v}(\mathrm{x} ; \mathrm{y}$ ’). Khi đó:

$$
\begin{aligned}
& \vec{u}+\vec{v}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}+\mathrm{y}^{\prime}\right) \\
& \vec{u}-\vec{v}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}-\mathrm{y}^{\prime}\right) \\
& \mathrm{k} \vec{u}=(\mathrm{kx} ; \mathrm{ky})(\mathrm{k} \in \mathrm{R})
\end{aligned}
$$

Nhận xét: Vectơ $\vec{u}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ và $\vec{v}\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime}\right) \neq \overrightarrow{0}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\mathrm{x}^{\prime}=\mathrm{kx}, \mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{ky}\left(\text { hay } \frac{x^{\prime}}{x}=\frac{y^{\prime}}{y} \text { nếu } \mathrm{xy} \neq 0\right)$

Nếu điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ thì vectơ $\overrightarrow{O M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ có độ dài $|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Nhận xét: Trên $\vec{u}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ ta lấy điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ thì $\vec{u}=\overrightarrow{O M}$. Do đó $|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Nếu có 2 điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ và $\mathrm{N}\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime}\right)$ thì $\overrightarrow{M N}=\left(\mathrm{x}^{\prime}-\mathrm{x} ; \mathrm{y}^{\prime}-\mathrm{y}\right)$ có độ dài (khoảng cách giữa hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N})$ là $|\overrightarrow{M N}|=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^2+\left(y^{\prime}-y\right)^2}$

Chú ý:
Trung điểm M đoạn thẳng AB sẽ có tọa độ $\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Trọng tâm G cùa tam giác ABC sẽ có tọa độ $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3} ; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$

Xem thêm: Tổng và hiệu của hai vectơ 

Các dạng bài và hướng giải cùng ví dụ chi tiết

Dưới đây là các dạng bài vectơ trong mặt phẳng tọa độ thường gặp, đi kèm hướng dẫn giải chi tiết và những ví dụ minh họa trực quan giúp học sinh bám sát và dễ hiểu.

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ

Phương pháp: Áp dụng định nghĩa và biểu thức tọa độ đã nêu để giải quyết yêu cầu bài toán

Ví dụ 1: Xác định tọa độ của vectơ $\vec{u}=\vec{i}+3 \vec{j}$ biết $\vec{i}=(2 ;-1), \vec{j}=(3 ; 4)$

Lời giải

$\vec{u}=\vec{i}+3 \vec{j}=(2 ;-1)+3(3 ; 4)=(2+9 ;-1+12)=(11 ; 11)$

Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy , có 3 điểm $\mathrm{A}(2 ; 1), \mathrm{B}(0 ;-3), \mathrm{C}(3 ; 1)$. Tìm tọa độ điểm $\mathrm{D}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ sao cho ABCD là hình bình hành.

Lời giải

Nếu ABCD là hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C} \leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }{ x - 2 = 3 } \\{ y - 1 = 4 }\end{array} \leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=5 \\y=5\end{array} \rightarrow \mathrm{D}(5 ; 5)\right.\right.$

Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy , cho 3 điểm $\mathrm{A}(-4 ; 1), \mathrm{B}(2 ; 4), \mathrm{C}(2 ;-2)$. Tìm tọạ độ điểm $\mathrm{D}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ sao cho C là trọng tâm $\triangle \mathrm{ABD}$.

Lời giải

Nếu C là trọng tâm $\triangle \mathrm{ABD}$, khi đó ta có:

$\left\{\begin{array} { l }{ 2 = \frac { - 4 + 2 + x } { 3 } } \\{ - 2 = \frac { 1 + 4 + y } { 3 } }\end{array} \rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=8 \\y=11\end{array} \rightarrow \mathrm{D}(8 ;-11)\right.\right.$

Ví dụ 4: Trong hệ tọa độ Oxy , cho 3 điểm $\mathrm{M}(2 ; 0), \mathrm{N}(2 ; 2), \mathrm{P}(-1 ; 3)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ của $\triangle \mathrm{ABC}$. Tìm toạ độ điểm B ?

Lời giải

Nếu $B P M N$ là hình bình hành, ta có:

$\left\{\begin{array} { c }{ x _ { B } + x _ { N } = x _ { P } + x _ { M } } \\{ y _ { B } + y _ { N } = y _ { P } + y _ { M } }\end{array} \leftrightarrow \left\{\begin{array} { c }{ x _ { B } + 2 = ( - 1 ) + 2 } \\{ y _ { B } + 2 = 3 + 0 }\end{array} \leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}x_B=-1 \\y_B=1\end{array}\right.\right.\right.$

Ví dụ 5: Trong hệ tọa độ Oxy , cho 3 điểm $\mathrm{A}(2 ; 5), \mathrm{B}(1 ; 1), \mathrm{C}(3 ; 3)$. Tìm điểm $\mathrm{E}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ thoả mãn $\overrightarrow{A E}=3 \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C}$ ?

Lời giải

Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A E}=(\mathrm{x}-2 ; \mathrm{y}-5) \\
& \overrightarrow{A B}=(-1 ;-4) \\
& \overrightarrow{A C}=(1 ;-2)
\end{aligned}
$$

$\overrightarrow{A E}=3 \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C} \leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }{ x - 2 = - 5 } \\{ y - 5 = - 8 }\end{array} \leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-3 \\y=-3\end{array} \rightarrow \mathrm{E}(-3 ;-3)\right.\right.$

Dạng 2: Tìm điểm sao cho hai vectơ cùng phương \& Ba điểm thẳng hàng

Phương pháp: Áp dụng các mẹo sau:

- Định nghĩa \& biểu thức tọa độ vectơ trên mặt phẳng

- 2 vectơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2\right)$ và $\vec{b}=\left(b_1 ; b_2\right)$ cùng phương ↔ $a_1 b_1-a_2 b_2=0$

- 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{A B}$ không cùng phương với $\overrightarrow{A C}$

- Vectơ $\vec{c}=\left(c_1 ; c_2\right)$ đi qua 2 vectơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2\right)$ và $\vec{b}=\left(b_1 ; b_2\right)$ không cùng phương, ta giả sử $\vec{c}=\mathrm{n} \vec{a}+\mathrm{m} \vec{b}$. Ta quy về hệ phương trình để tìm $\mathrm{n}, \mathrm{m}$ :

$\left\{\begin{array}{l}a_1 n+b_1 m=c_1 \\a_2 n+b_2 m=c_2\end{array}\right.$

- Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tì lệ: $\overrightarrow{M A}=\mathrm{k} \overrightarrow{M A}(\mathrm{k} \neq 1) \leftrightarrow x_M=\frac{x_A-k x_B}{1-k}$;

$y_A=\frac{y_A-k y_B}{1-k}$

Ví dụ 1: Cho 2 vectơ $\vec{a}=(2 \mathrm{~m}-1) \vec{i}+(3-\mathrm{m}) \vec{j}$ và $\vec{b}=2 \vec{i}+3 \vec{j}$. Tìm m để 2 vectơ cùng phương.

Lời giải

Đề 2 vectơ cùng phương $\leftrightarrow \frac{2 m-1}{2}=\frac{3-m}{3} \leftrightarrow \mathrm{~m}=\frac{9}{8}$.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 điểm $\mathrm{M}(\mathrm{m}-1 ; 2), \mathrm{N}(2 ; 5-2 \mathrm{~m}), \mathrm{P}(\mathrm{m}-3 ; 4)$. Tìm m sao cho $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ thẳng hàng.

Lời giải

Nếu $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ thẳng hàng, ta có:

$\frac{3-m}{m-5}=\frac{3-2 m}{2 m-1} \leftrightarrow(3-m)(2 m-1)=(3-2 m)(m-5) \leftrightarrow m=2$

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, với $\vec{u}=(2 ; 1), \vec{v}=(3 ; 4), \vec{i}=(7 ; 2)$. Tìm $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ để $\vec{i}=\mathrm{m} \vec{u}+\mathrm{n} \vec{v}$.

Lời giải

$\vec{i}=\mathrm{m} \vec{u}+\mathrm{n} \vec{v} \leftrightarrow\left\{\begin{array} { c }{ 2 m + 3 n = 7 } \\{ m + 4 n = 2 }\end{array} \leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m=\frac{22}{5} \\n=-\frac{3}{5}\end{array}\right.\right.$

Bài tập thực hành vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Dưới đây là tổng hợp các bài tập vectơ trong mặt phẳng tọa độ, được trình bày từ cơ bản đến nâng cao, bạn cần hiểu công thức, tính toán chính xác, vẽ hình để tìm hướng giải.

Bài tập vectơ trong mặt phẳng tọa độ cơ bản

Bài 1: Cho 3 vectơ $\vec{a}=(1 ; 2), \vec{b}=(-3 ; 4), \vec{c}=(-1 ; 3)$. Tìm vecto $\vec{u}=(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ biết:

a) $2 \vec{u}-3 \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{0}$

b) $3 \vec{u}+2 \vec{a}+3 \vec{b}=3 \vec{c}$

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho 3 điểm $\mathrm{A}(2 ; 1), \mathrm{B}(-1 ;-2), \mathrm{C}(-3 ; 2)$.

a) Tìm toạ độ điểm M là trung điểm đoạn AC

b) Chứng minh 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng

c) Tìm toạ độ điểm G là trọng tâm $\triangle \mathrm{ABC}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{A}(1 ; 3), \mathrm{B}(4 ; 0)$. Tìm toạ độ điểm M thoả mãn $3 \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}$

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{A}(5 ;-4), \mathrm{B}(3 ; 7)$. Tìm toạ độ điểm O đối xứng với B qua A .

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{A}(1 ;-2), \mathrm{B}(3 ;-5)$. Tìm toạ độ điểm C trên trục Ox sao cho $\triangle \mathrm{ABC}$ vuông tại A .

Bài tập vectơ trong mặt phẳng tọa độ nâng cao

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(-1 ; 1)$. Điểm E thuộc trục Oy thoả mãn tam giác EAB cân tại E . Tính độ dài đoạn thẳng OE .

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho $\triangle \mathrm{ABC}$ có $\mathrm{A}(3 ; 4), \mathrm{B}(2 ; 1), \mathrm{C}(-1 ;-2)$. Tìm điểm I có tung độ dương trên đoạn thẳng BC sao cho $S_{A B C}=3 S_{A B I}$.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 2 điểm $\mathrm{M}(1 ;-17), \mathrm{N}(-11 ;-25)$. Tìm tọa độ điểm P thuộc NM sao cho $\mathrm{NP}=\sqrt{13}$.

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho 3 điểm $\mathrm{A}(1 ; 0), \mathrm{B}(0 ; 3), \mathrm{C}(-3 ;-5)$. Tìm toạ độ điểm I thuộc trục Ox sao cho $\mathrm{T}=|2 \overrightarrow{I A}-3 \overrightarrow{I B}+2 \overrightarrow{I C}|$ nhỏ nhất

Bài 5: Để kéo một đường dây điện băng qua một hình chữ nhật MNPQ với độ dài  MN = 200m, MQ = 180m người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều. Cột thứ nhất nằm trên bờ MN và cách đỉnh M khoảng 20m, cột thứ tư nằm trên bờ PQ và cách đỉnh P một khoảng cách 30m. Tính khoảng cách cột thứ hai, cột thứ ba đến bờ MN, MQ.

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn nắm được những kiến thức cốt lõi về vectơ trong mặt phẳng tọa độ, từ cách biểu diễn, tính toán đến vận dụng vào các dạng bài tập trọng tâm. 

Nếu bạn vẫn còn gặp khó khăn hoặc muốn nâng cao kiến thức một cách bài bản, đừng ngần ngại tìm kiếm sự hỗ trợ. Hãy tham gia khóa học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi để được hướng dẫn chi tiết và chinh phục môn Toán dễ dàng hơn.