Từ A đến Z về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Tóm tắt lý thuyết và kiến thức cần nhớ

Dưới đây là tóm tắt lý thuyết một cách đầy đủ, rõ ràng và mang tính hệ thống về tích vô hướng của hai vectơ lớp 10: 

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều $\neq \overrightarrow{0}$. Tích vô hướng cùa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, được kí hiệu: $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Chú ý:

- Một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{0}$, ta quy ước: $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$

- Với $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ta có: $\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$

- Khi $\vec{a}=\vec{b}$, tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{a}$ được kí hiệu là $\overrightarrow{a^2}$, gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a}$

Tính chất tính tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì và mọi số k , ta có:

- $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$ (Tính chất giao hoán)

- $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$ (Tính chất phân phối)

- $(\mathrm{k} \cdot \vec{a}) \vec{b}=\mathrm{k}(\vec{a} \cdot \vec{b})=\vec{a}(\mathrm{k} \cdot \vec{b})$

- $\overrightarrow{a^2} \geq 0, \overrightarrow{a^2}=0 \leftrightarrow \vec{a}=\overrightarrow{0}$

Nhận xét: Từ các tính chất tích vô hướng trên, ta suy ra:

- $(\vec{a}+\vec{b})^2=\overrightarrow{a^2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\overrightarrow{b^2}$

- $(\vec{a}-\vec{b})^2=\overrightarrow{a^2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\overrightarrow{b^2}$

- $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=\overrightarrow{a^2}-\overrightarrow{b^2}$

Biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Trong mặt phẳng tọa độ ( $\mathrm{O} ; \vec{i} ; \vec{j}$ ), cho hai vectơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2\right), \vec{b}=\left(b_1 ; b_2\right)$

Khi đó tích vô hướng cùa 2 vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2$

Nhận xét:
Hai vectơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2\right), \vec{b}=\left(b_1 ; b_2\right) \neq \overrightarrow{0}, \vec{a} \perp \vec{b} \leftrightarrow a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2=0$

Ứng dụng

- Độ dài vectơ $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2\right)$ với công thức $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

- Góc giữa hai vectơ: $\cos (\vec{a} ; \vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2}{\sqrt{a_1{ }^2+a_2{ }^2} \cdot \sqrt{b_1{ }^2+b_2{ }^2}}$

- Khoảng cách giữa hai điểm $\mathrm{A}\left(x_A ; y_A\right)$ và $\mathrm{B}\left(x_B ; y_B\right)$ với công thức:

$\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_b-x_A\right)^2+\left(y_b-y_A\right)^2}$

Xem thêm:

Cách tính độ dài vectơ lớp 10

Hướng dẫn tính tích của một số với một vectơ

Các dạng bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Dưới đây là các dạng bài tập tiêu biểu thường gặp, được phân loại rõ ràng giúp bạn dễ học và dễ ghi nhớ.

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ

Phương pháp:

- Áp dụng công thức của định nghĩa: $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$

- Sử dụng tính chất phân phối: $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$

- Hai vectơ $\vec{a} \perp \vec{b} \leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$

Ví dụ 1: Cho hình vuông $M N P Q$ cạnh bằng $2 \mathrm{a} \sqrt{2}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P}$ ?

Lời giải

Vì tam giác $M N P$ vuông tại $M$ nên $M P^2=M N^2+N P^2=(2 a \sqrt{2})^2+(2 a \sqrt{2})^2=16 a^2 \rightarrow \mathrm{MP}=4 \mathrm{a}$

Ta có: $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P}=|\overrightarrow{M N}| \cdot|\overrightarrow{M P}| \cdot \cos (\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P})$
$\rightarrow \overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P}=2 \mathrm{a} \sqrt{2} \cdot 4 \mathrm{a} \cdot \cos 45^{\circ}=8 a^2$

Ví dụ 2: Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ với $|\vec{u}|=5,|\vec{v}|=12$ và $|\vec{u}+\vec{v}|=13$. Tính $\cos$ góc giữa vectơ $\vec{u}$ và vectơ $\vec{u}+\vec{v}$.

Lời giải

Dựng $\triangle \mathrm{ABC}$ với $\mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=12, \mathrm{AC}=13$

$\rightarrow \overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{B C}=\vec{v}, \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}$

Khi đó: $\vec{u}(\vec{u}+\vec{v})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$

Mặt khác: $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}\left(A C^2+A B^2-B C^2\right)=25$

Vậy $\cos (\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}|}=\frac{25}{5.13}=\frac{5}{13}$

Ví dụ 3: Cho hình vuông $A B C D$ có điểm $E$ là trung điểm đoạn $A B$, điểm $F$ thuộc đoạn AC sao cho $\mathrm{AF}=3 \mathrm{FC}$.

a) Phân tích $\overrightarrow{D F}, \overrightarrow{E F}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A D}$.

b) Chứng minh $\mathrm{DF} \perp \mathrm{EF}$.

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$

$\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A E}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$

b) Để $\mathrm{DF} \perp \mathrm{EF} \leftrightarrow \overrightarrow{D F} \cdot \overrightarrow{E F}=0$

Ta có: $\overrightarrow{D F} \cdot \overrightarrow{E F}=\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}\right)\left(\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}\right)=\frac{3}{16} A B^2-\frac{3}{16} A C^2$

$$
\begin{aligned}
& \text { Vì } \mathrm{AB} \perp \mathrm{AD} \rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0 \rightarrow \frac{3}{16} A B^2-\frac{3}{16} A C^2=0 \\
& \rightarrow \overrightarrow{D F} \cdot \overrightarrow{E F}=0 \rightarrow \mathrm{DF} \perp \mathrm{EF}(\text { đpcm })
\end{aligned}
$$

Dạng 2: Tính góc giữa hai vectơ - hai đường thẳng - điều kiện vuông góc

Phương pháp: 

- Tính góc giữa hai vectơ, ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng kết hợp cùng các tính chất tính tích vô hướng.

- Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta cần tính góc giữa hai vectơ rồi suy ra.

- Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh hai đường thẳng có góc bằng 90°.

Ví dụ 1: Cho $\triangle M N P$ có $M N=2, N P=4, M P=3$. Tính $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P}$ và cosM

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P}=\frac{\overrightarrow{M N^2}+\overrightarrow{M P^2}-(\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P})^2}{2}=\frac{M N^2+M P^2-B C^2}{2}=-\frac{3}{2}$

Mặt khác: $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{M P}=\mathrm{MN} \cdot \mathrm{MP} \cdot \cos \mathrm{M} \rightarrow-\frac{3}{2}=6 \cdot \cos \mathrm{M} \rightarrow \cos \mathrm{M}=-\frac{1}{4}$

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm $\mathrm{M}(1 ; 3)$ và $\mathrm{N}(3 ;-1)$. Tính góc giữa hai đường thẳng OM và MN .

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{M O}=(-1 ;-3)$ và $\overrightarrow{M N}=(2 ;-4)$
$\rightarrow \cos (\overrightarrow{M O} ; \overrightarrow{M N})=\frac{\overrightarrow{M O} \cdot \overrightarrow{M N}}{M O \cdot M N}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

→ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{M O}$ và $\overrightarrow{M N}$ hay $\widehat{N M O}=45^{\circ}$

→ Góc giữa hai đường thẳng OM và MN bằng $45^{\circ}$

Ví dụ 3: Cho hai vectơ $\vec{u} \perp \vec{v}$ và $|\vec{u}|=1,|\vec{v}|=\sqrt{2}$. Chứng minh vectơ $2 \vec{u}-\vec{v}$ vuông góc với vectơ $\vec{u}+\vec{v}$.

Lời giải

Ta có: $(2 \vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=2 \overrightarrow{u^2}-\overrightarrow{v^2}+\vec{u} \vec{v}=0$

→ Vectơ $2 \vec{u}-\vec{v}$ vuông góc với vectơ $\vec{u}+\vec{v}$

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức tích vô hướng

Phương pháp:

- Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, tính chất của vectơ đề biến đồi đẳng thức tương đương về một đẳng thức luôn đúng hoặc biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.

- Tìm điểm thỏa mãn một đẳng thức dựa trên một điểm đã cố định và một vectơ xác định: $\overrightarrow{I M} \cdot \vec{a}=0$

Ví dụ 1: Cho bốn điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ bất kì. Chứng minh đẳng thức:

$\overrightarrow{Q M} \cdot \overrightarrow{N P}+\overrightarrow{Q N} \cdot \overrightarrow{P M}+\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{M N}=0$

Lời giải

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{Q M} \cdot \overrightarrow{N P}+\overrightarrow{Q N} \cdot \overrightarrow{P M}+\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{M N} \\
& =\overrightarrow{Q M}(\overrightarrow{Q P}-\overrightarrow{Q N})+\overrightarrow{Q N}(\overrightarrow{Q M}-\overrightarrow{Q P})+\overrightarrow{Q P}(\overrightarrow{Q N}-\overrightarrow{Q M}) \\
& =\overrightarrow{Q M} \cdot \overrightarrow{Q P}-\overrightarrow{Q M} \cdot \overrightarrow{Q N}+\overrightarrow{Q N} \cdot \overrightarrow{Q M}-\overrightarrow{Q N} \cdot \overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{Q N}-\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{Q M} \\
& =0 \text { (đpcm) }
\end{aligned}
$$

Ví dụ 2: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$.

Lời giải

$\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$
$\rightarrow \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}=0$
$\rightarrow \overrightarrow{A B}(\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A C})=0$
$\rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C M}=0 \rightarrow \mathrm{M}$ thuộc đường thẳng đi qua C và vuông góc với đoạn AB .

Dạng 4: Tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Toạ độ hoá các điểm thay vào các điều kiện để tìm kiếm.

Ví dụ 1: Với ba điểm M(2; 3), N(1; 4), P(5; 2) chứng minh M, N, P tạo thành một tam giác. 

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{M N}=(-1 ; 1)$ và $\overrightarrow{M P}=(3 ;-1)$
$\rightarrow \frac{-1}{3} \neq \frac{1}{-1} \rightarrow 3$ điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ không thẳng hàng nên 3 điểm có thể tạo thành hình tam giác.

Ví dụ 2: Cho $\mathrm{M}(3 ; 1)$ và $\mathrm{N}(7 ; 2)$, tìm điểm $\mathrm{P}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ thuộc trục Ox sao cho điểm P thuộc đường tròn có đường kính MN .

Lời giải

Ta có: $\mathrm{P} \in \mathrm{Ox} \rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{x} ; 0)$
$\mathrm{P} \in\left(\mathrm{O} ; \frac{M N}{2}\right) \rightarrow \mathrm{MP} \perp \mathrm{NP} \rightarrow \overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{P N}=0$
$\overrightarrow{P M}=(3-\mathrm{x} ; 1), \overrightarrow{P N}=(7-\mathrm{x} ; 2)$

\begin{aligned}
& \rightarrow(3-\mathrm{x})(-\mathrm{x}+7)+2=0 \\
& \rightarrow\left[\begin{array} { l } 
{ x = 5 + \sqrt { 2 } } \\
{ x = 5 - \sqrt { 2 } }
\end{array} \rightarrow \left[\begin{array}{l}
P(5+\sqrt{2}, 0) \\
P(5-\sqrt{2}, 0)
\end{array}\right.\right.
\end{aligned}

Dạng 5: Tìm toạ độ các điểm đặc biệt trong tam giác, tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng

Phương pháp: Quy về các điểm đặc biệt

- Trực tâm tam giác

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

- Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC với A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8)

a) Tìm toạ độ trực tâm H(x; y) của ABC

b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(x; y) của ABC

c) Tìm toạ độ M (x; y) hình chiếu vuông góc từ A lên đường thẳng BC

Lời giải

a) Vì H là trực tâm $\triangle \mathrm{ABC} \rightarrow \overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=0$
$\rightarrow 7 x+11 y=91$ và $x+3 y=13$

→ Giải hệ phương trình x , y ta có $\mathrm{H}(13 ; 0)$

b) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle \mathrm{ABC}$
$\rightarrow \mathrm{IA}=\mathrm{IB}$ và $\mathrm{IA}=\mathrm{IC}$

$$
\begin{aligned}
& (x-4)^2+(y-3)^2=(x-2)^2+(y-7)^2 \\
& (x-4)^2+(y-3)^2=(x+3)^2+(y+8)^2
\end{aligned}
$$

→ Giải hệ phương trình x , y ta có $\mathrm{I}(-5 ; 1)$

c) Ta có: $\overrightarrow{A M}=(\mathrm{x}-4 ; \mathrm{y}-3), \overrightarrow{B C}=(-5 ;-15)$ và $\overrightarrow{B M}=(\mathrm{x}-2 ; \mathrm{y}-7)$

Vì $\mathrm{AM} \perp \mathrm{BC} \rightarrow \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B C}=0$ và $\overrightarrow{B M}=\mathrm{t} \cdot \overrightarrow{B C}$

Giải hệ phương trình 2 ần ta ra: $\mathrm{t}=\frac{2}{7}$ và $\mathrm{M}\left(\frac{4}{7} ; \frac{19}{7}\right)$

Luyện tập tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Thông qua các ví dụ cụ thể, nếu bạn vẫn còn lúng túng khi áp dụng các công thức thì phần luyện tập từ cơ bản đến nâng cao dưới đây sẽ giúp bạn hiểu sâu và vận dụng linh hoạt trong từng dạng bài.

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ cơ bản

Bài 1: Cho hình chữ nhật MNPQ với $\mathrm{MN}=3, \mathrm{MQ}=4$. Gọi E là điểm thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{M E}=\mathrm{k} \overrightarrow{M N}$. Tìm k để $\mathrm{MP} \perp \mathrm{QE}$.

Bài 2: Cho tam giác $M N P$ vuông tại $M$ có $M N=a, M P=2 a$. Gọi $Q$ là trung điểm $N P$ và O là điểm bất kì thuộc cạnh MP . Tính MO theo a đề $\mathrm{NO} \perp \mathrm{MQ}$.

Bài 3: Cho tam giác MNP có trực tâm H và trung điểm NP là Q . Chứng minh rằng $\overrightarrow{Q H} \cdot \overrightarrow{Q M}=\frac{1}{2} N P^2$

Bài 4: Cho ba điểm $\mathrm{M}(11 ; 4), \mathrm{N}(8 ; 2), \mathrm{P}(13 ; \mathrm{y})$. Tìm y để tam giác MNP cân tại M

Bài 5: Cho $\mathrm{M}(2 ; 1)$ và $\mathrm{N}(5 ; 0)$, tìm $\mathrm{I} \in(\mathrm{d}): \mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+2$ sao cho $\mathrm{IM}=\sqrt{13}$ và $\mathrm{IN}=\sqrt{17}$

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ nâng cao

Bài 1: Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $C$ tâm $O$. Tìm vị trí điểm $E$ thuộc đường tròn C đề $\mathrm{P}=E A^2+E B^2-2 E C^2$ đạt GTLN, GTNN.

Bài 2: Cho hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ có $\mathrm{MN}=\mathrm{a}$ và một số thực $\mathrm{k}>0$. Dựa trên k , tìm tập hợp điểm I sao cho $I M^2+I N^2=\mathrm{k}$

Bài 3: Cho ba điểm $\mathrm{A}(-2 ; 0), \mathrm{B}(4 ; 0), \mathrm{C}(3 ; 5)$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.

a) Tìm toạ độ ba điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$

b) Tìm toạ độ điểm $\mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ tâm đường tròn nội tiếp $\triangle \mathrm{MNP}$

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn nắm vững những kiến thức quan trọng về tích vô hướng của hai vectơ trong chương trình Toán lớp 10, từ công thức, ý nghĩa đến cách áp dụng vào các dạng bài tập thường gặp.

Trong môi trường lớp học đông, giáo viên khó có thể theo sát và giải đáp chi tiết cho từng học sinh. Vì vậy, nếu bạn đang cần một giải pháp để tháo gỡ những vướng mắc trong bài tập, khóa học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi sẽ là lựa chọn phù hợp. Với lộ trình rõ ràng cùng hướng dẫn cụ thể, khóa học giúp bạn từng bước nâng cao tư duy và cải thiện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.