Hướng dẫn tính tích của một số với một vectơ lớp 10 từ A-Z

Lý thuyết cơ bản tích của vectơ với một số

Hiểu rõ định nghĩa, tính chất của tích vectơ với một số, giúp bạn hiểu đúng bản chất và áp dụng chính xác vào từng dạng bài.

Định nghĩa tích vectơ với một số

Tích của một số với một vectơ được định nghĩa như sau:

Cho số thực $\mathrm{k} \neq 0$ và vectơ $\vec{a} \neq 0$

Tích của vectơ $\vec{a} \neq 0$ và số thực $\mathrm{k} \neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k $\vec{a}$

Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $\mathrm{k}>0$

Ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $\mathrm{k}<0$

Vecto $\mathrm{k} \vec{a}$ có độ dài bằng $|\mathrm{k}||\vec{a}|$

Quy ước: $0 \vec{a}=0, \mathrm{k} \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Tính chất tích của vectơ với một số

Tích của vectơ với một số có các tính chất như sau:

a) Tính phân phối với phép cộng vectơ: $\mathrm{k}(\vec{a}+\vec{b})=\mathrm{k} \vec{a}+\mathrm{k} \vec{b}$

b) Tính phân phối với phép cộng các số: ( $\mathrm{h}+\mathrm{k}) \vec{a}=\mathrm{h} \vec{a}+\mathrm{k} \vec{a}$

c) Tính kết hợp: $\mathrm{h}(\mathrm{k} \vec{a})=(\mathrm{hk}) \vec{a}$

d) $1 \vec{a}=\vec{a},(-1) \vec{a}=-\vec{a}$

e) $\mathrm{k} \vec{a}=0 \leftrightarrow \mathrm{k}=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng:

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB , thì với mọi điểm I ta có: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}=2 \overrightarrow{I M}$

Nếu G là trọng tâm cùa tam giác ABC thì với mọi điểm I ta có: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}=3 \overrightarrow{I G}$

Điều kiện hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ đề vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}(\vec{b} \neq 0)$ cùng phương là tồn tại số thực k để cho $\vec{a}=\mathrm{k} \vec{b}$

Ba điểm phân biệt $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ thẳng hàng khi và chì khi $\mathrm{k} \neq 0$ đề $\overrightarrow{M N}=\mathrm{k} \overrightarrow{M P}$

Hướng phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương

Khi đó mọi vectơ $\vec{x}$ đều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$
$\mathrm{h}, \mathrm{k}$ sẽ là cặp số thực duy nhất sao cho $\vec{x}=\mathrm{h} \vec{a}+\mathrm{k} \vec{b}$

Các dạng bài tập tính tích của một số với một vectơ

Tổng hợp các dạng bài tập thường gặp về tích của một số với một vectơ trong chương trình Toán 10. Giúp bạn nhận diện nhanh từng dạng và áp dụng đúng phương pháp giải khi làm bài.

Tính độ dài của vectơ

Hướng giải:

- Sử dụng định nghĩa, quy tắc cộng trừ vectơ để dựng vectơ chứa tích của một số với một vectơ

- Kết hợp định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ 

Ví dụ: Tam giác ABC đều với các cạnh độ dài a, lấy I trung điểm BC. Dựng vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng: 

a) $\overrightarrow{I A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}$

b) $\overrightarrow{B A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$

c) $2 \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$

d) $\frac{5}{2} \overrightarrow{I B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{I A}$

Lời giải

a) Ta có: $\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}=\overrightarrow{C I}$

Theo quy tắc 3 điểm, ta được: $\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{I A}=\overrightarrow{C I}+\overrightarrow{I A}=\overrightarrow{C A}$

Vậy: $\left|\overrightarrow{I A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}\right|=|\overrightarrow{C A}|=\mathrm{a}$

b) Vì: $\overrightarrow{B I}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$

Theo quy tắc trừ, ta có: $\overrightarrow{B A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{I A}$

Theo định lý Pytago, ta có: $\mathrm{IA}=\sqrt{A B^2-B I^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy: $\left|\overrightarrow{B A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right|=\mathrm{IA}=\frac{a \sqrt{3}}{2}$

c) Lấy điểm N là trung điểm $\mathrm{AB}, \mathrm{Q}$ đối xứng C qua $\mathrm{A}, \mathrm{P}$ là đỉnh hình bình hành APQN .

Khi đó ta có: $\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A N}, 2 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A Q}$

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A N}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{A P}$

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì $\mathrm{MN} \| \mathrm{AC} \rightarrow \widehat{A N L}=\widehat{M N B}=\widehat{C A B}=60^{\circ}$

Xét tam giác vuông ANL ta có:

$$
\begin{aligned}
& \sin \mathrm{ANL}=\frac{A L}{A N} \rightarrow \mathrm{AL}=\mathrm{AN} \cdot \sin \mathrm{ANL}=\frac{a}{2} \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{a \sqrt{3}}{2} \\
& \cos \mathrm{ANL}=\frac{N L}{A N} \rightarrow \mathrm{NL}=\mathrm{AN} \cdot \cos \mathrm{ANL}=\frac{a}{2} \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{a}{4}
\end{aligned}
$$

Ta có: $\mathrm{AQ}=\mathrm{PN} \rightarrow \mathrm{PL}=\mathrm{PN}+\mathrm{NL}=\mathrm{AQ}+\mathrm{NL}=2 \mathrm{a}+\frac{a}{4}=\frac{9 a}{4}$

Sử dụng định lý Pytago, ta có:

$A P^2=A L^2+P L^2=\frac{3 a^2}{16}+\frac{81 a^2}{16}=\frac{21 a^2}{4}=\frac{a \sqrt{21}}{2}$

Vậy: $\left|2 \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right|=\mathrm{AP}=\frac{a \sqrt{21}}{2}$

d) Lấy điểm K thuộc đoạn AI sao cho $\mathrm{IK}=\frac{3}{4} \mathrm{IA}$, điểm H thuộc tia $\overrightarrow{B I}$ sao cho

$\overrightarrow{I H}=\frac{5}{2} I \vec{B}$

Khi đó: $\frac{3}{4} \overrightarrow{I A}=\overrightarrow{I K}, \frac{5}{2} \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{I H}$

$\rightarrow \frac{3}{4} \overrightarrow{I A}-\frac{5}{2} \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{I K}-\overrightarrow{I H}=\overrightarrow{H K}$

Ta có: $\left.\mathrm{IK}=\frac{3}{4} \mathrm{IA}=\frac{3}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{3 a \sqrt{3}}{8} \right\rvert\,$

$\mathrm{IH}=\frac{5}{2} \mathrm{IB}=\frac{5}{2} \cdot \frac{a}{2}=\frac{5 a}{4}$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông KIH, ta có:

$\mathrm{KH}=\sqrt{I K^2+I H^2}=\sqrt{\left(\frac{3 a \sqrt{3}}{8}\right)^2+\left(\frac{5 a}{4}\right)^2}=\frac{a \sqrt{127}}{8}$

Vậy: $\left|\frac{5}{2} I \vec{B}+\frac{3}{4} I \overrightarrow{A A}\right|=\mathrm{KH}=\frac{a \sqrt{127}}{8}$

Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước

Hướng giải: Biến đổi về các đẳng thức vectơ đã biết như trọng tâm tam giác hay trung điểm đoạn thẳng

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm P, Q, O sao cho:

a) $2 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{Q A}+\overrightarrow{Q B}+\overrightarrow{Q C}+\overrightarrow{Q D}=\overrightarrow{0}$

c) $3 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$

Lời giải

a) Giả sử I là trung điểm của đoạn BC

$\rightarrow \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=2 \overrightarrow{P I}$

Do đó: $2 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow 2 \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P I}=\overrightarrow{0} \\
& \rightarrow \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P I}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$

$\rightarrow \mathrm{P}$ là trung điểm đoạn AI

b) Giả sừ $\mathrm{K}, \mathrm{H}$ là trung điểm đoạn $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{Q A}+\overrightarrow{Q B}+\overrightarrow{Q C}+\overrightarrow{Q D}=\overrightarrow{0} \\
& \rightarrow 2 \overrightarrow{Q K}+2 \overrightarrow{Q H}=\overrightarrow{0} \\
& \rightarrow \overrightarrow{Q K}+\overrightarrow{Q H}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$

$\rightarrow \mathrm{Q}$ là trung điểm đoạn KH

c) Giả sử G là trọng tâm tam giác BCD , ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=3 \overrightarrow{O G} \\
& 3 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0} \\
& \rightarrow 3 \overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$

$\rightarrow \mathrm{O}$ là trung điểm đoạn AG

Chứng minh một đẳng thức vectơ

Hướng giải: Áp dụng các kiến thức về vecto như: tính chất, quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD với hai điểm M, N là trung điểm của đoạn thẳng AB, CD. O là trung điểm đoạn thẳng MN. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{M N}$

b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$

c) Với điểm I bất kì: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+I \overrightarrow{D C}=4 \overrightarrow{I O}$

Lời giải

a) Áp dụng quy tắc 3 điểm, ta có:

$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N C}$

Tương tự: $\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N D}$
Mà M và N lần lượt là trung điểm $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{N C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{0} \\
& \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N C}+\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N D}=2 \overrightarrow{M N}(\text { đpcm })
\end{aligned}
$$

b) O là trung điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ta có: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O M}, \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=2 \overrightarrow{O J}$

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O J}=\overrightarrow{0}$

$\rightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=2 \overrightarrow{O M}+2 \overrightarrow{O J}=2(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O J})=\overrightarrow{0}(\text { đpcm })$

c) Theo ý b) ta có: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$

Do đó với mỗi điểm I, ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O I}+\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{O I}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{O I}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{O I}+\overrightarrow{I D}=\overrightarrow{0} \\
& \rightarrow \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}+4 \overrightarrow{O I}=\overrightarrow{0} \\
& \rightarrow \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}=-4 \overrightarrow{O I} \\
& \rightarrow \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}=4 \overrightarrow{I O}
\end{aligned}
$$

Bài tập luyện tập tính tích của vectơ với một số

Dưới đây là 8 bài tập được thiết kế để giúp bạn nắm vững kiến thức về tích của một số với một vectơ trong chương trình Toán lớp 10, bao gồm cả các bài toán cơ bản về tính toán và các bài tập nâng cao về chứng minh, tìm điểm thỏa mãn đẳng thức.

Câu 1: Cho tam giác ABC . Gọi $\mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{K}$ là các điểm thoả mãn: $\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}, 3 \overrightarrow{J B}+2 \overrightarrow{J C} =\overrightarrow{0}, \overrightarrow{K C}+3 \overrightarrow{K A}=\overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây đúng về hai tam giác ABC và IJK?

A. Hai tam giác có cùng trọng tâm

B. $\mathrm{IJ}=\mathrm{BC}$

C. Tam giác IJK là tam giác đều

D. Diện tích tam giác IJK bằng diện tích tam giác ABC

Câu 2: Cho tam giác ABC . Gọi $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ là các điểm thoả mãn $\mathrm{BD}=\frac{2}{3} \mathrm{BC}$ và $\mathrm{AE}=\frac{1}{4}$ BC . Gọi K là giao điểm của AD và BE . Tính tỉ số $\frac{A K}{A D}$ ?

A. $\frac{A K}{A D}=\frac{1}{3}$

B. $\frac{A K}{A D}=\frac{2}{5}$

C. $\frac{A K}{A D}=\frac{3}{7}$

D. $\frac{A K}{A D}=\frac{1}{2}$

Câu 3: Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thoả mãn $|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}+3 \overrightarrow{M C}|=\mid \overrightarrow{M A} -\overrightarrow{M C} \mid$ là?

A. Một đường thẳng

B. Một đường tròn

C. Một đoạn thẳng

D. Một elip

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD . Cho M là trung điểm $\mathrm{BC}, \mathrm{N}$ nằm trên cạnh CD sao cho $\overrightarrow{C N}=2 \overrightarrow{N D}$. Giả sử $\overrightarrow{A M}=\vec{u}$ và $\overrightarrow{A N}=\vec{v}$. Biểu diễn $\overrightarrow{A B}$ theo $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ?

A. $\overrightarrow{A B}=\vec{u}-\vec{v}$

B. $\overrightarrow{A B}=2 \vec{u}-\vec{v}$

C. $\overrightarrow{A B}=\frac{2}{3} \vec{u}+\frac{4}{3} \vec{v}$

D. $\overrightarrow{A B}=\frac{4}{3} \vec{u}-\frac{2}{3} \vec{v}$

Câu 5: Cho tam giác ABC . Điểm M thỏa mãn $2 \overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$. Khẳng định nào đúng về vị trí cùa M ?

A. M trùng với điểm A

B. M là trọng tâm tam giác

C. M nằm trong tam giác ABC

D. M nằm ngoài tam giác ABC

Câu 6: Cho tam giác ABC . Gọi I là điểm thoả mãn $\overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$ và J thỏa mãn $\overrightarrow{J A}+2 \overrightarrow{J B}+3 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{B J}=2 \overrightarrow{J I}$

B. J là trọng tâm tam giác ABC

C. J là trung điểm của BI

D. B, J, I thẳng hàng

Câu 7: Cho tứ giác ABCD . Tìm số thực k sao cho $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=\mathrm{k} \overrightarrow{A G}$ với G là trọng tâm tam giác BCD .

A. $\mathrm{k}=1$

B. $k=4$

C. $\mathrm{k}=3$

D. $\mathrm{k}=2$

Câu 8: Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thoả mãn $|2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|=\mid \overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C} \mid ?$

A. 0 điểm

B. Vô số điểm (nằm trên một đường tròn)

C. Vô số điểm (nằm trên một đường thẳng)

D. 1 điểm duy nhất

Đáp án

Câu 1: A

Câu 2: C

Câu 3: B

Câu 4: D

Câu 5: D

Câu 6: D

Câu 7: C

Câu 8: C

Hy vọng qua bài viết, bạn đã nắm vững cách tính tích của một số với một vectơ từ lý thuyết đến phương pháp giải bài tập cụ thể. Nếu bạn vẫn còn vướng mắc hoặc muốn học chắc hơn từng dạng bài, Gia sư Học là Giỏi luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trong quá trình chinh phục Toán 10.

Nếu bạn vẫn đang “mắc kẹt” với các dạng toán lớp 10 và chưa biết bắt đầu từ đâu, hãy thử trải nghiệm khóa học tại hệ thống giáo dục Học Là Giỏi. Tại đây, kiến thức được tinh gọn thành những công thức dễ nhớ, đi kèm cách vận dụng theo từng dạng bài, giúp bạn hiểu nhanh, làm đúng và từng bước nâng cao điểm số trên lớp.