Tất tần tật các công thức toán đại số 11 học kì 1 Cánh Diều

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Góc lượng iác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Định nghĩa góc lượng giác

Cho hai tia $O u, O v$. Nếu tia $Om$ quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia $Ou$ đến trùng với tia $O v$ thì ta nói: Tia $Om$ quét một góc lượng giác với tia đầu $O u$ và tia cuối $O v$, kí hiệu là $(O u, O v)$.

Mỗi góc lượng giác gốc $O$ được xác định bởi tia đầu $O u$, tia cuối $O v$ và số đo của góc đó.

Tính chất góc lượng giác

Cho hai góc lượng giác $(O u, O v),\left(O^{\prime} u^{\prime}, O^{\prime} v^{\prime}\right)$ có tia đẩu trùng nhau $\left(O u \equiv O^{\prime} u^{\prime}\right)$, tia cuối trùng nhau $\left(O v \equiv O^{\prime} v^{\prime}\right)$. Khi đó, công thức toán đại số 11 về góc lượng giác nếu sử dụng đơn vị đo là độ là

$(O u, O v)=\left(O^{\prime} u^{\prime}, O^{\prime} v^{\prime}\right)+k 360^{\circ}$ vối $k$ là số nguyên.

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì công thức toán đại số 11 về góc lượng giác trên có thể viết như sau:

$(O u, O v)=\left(O^{\prime} u^{\prime}, O^{\prime} v^{\prime}\right)+k 2 \pi$ với $k$ là số nguyên.

Hệ thức Chasles (Sa-lớ) về số đo của góc lượng giác:

Với ba tia tuỳ ý $O u, O v, O w$, ta có:

$(O u, O v)+(O v, O w)=(O u, O w)+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z}) .$

Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toạ độ đã được định hướng $Oxy$, lấy điểm $A(1 ; 0)$. Đường tròn tâm $O$, bán kính $O A=1$ được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc $A$.

Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Hoành độ $x$ của điểm $M$ gọi là côsin của góc lượng giác $\alpha$ và kí hiệu $\cos \alpha, \cos \alpha=x$.

- Tung độ $y$ của điểm $M$ gọi là $\sin$ của góc lượng giác $\alpha$ và kí hiệu $\sin \alpha, \sin \alpha=y$.

- Nếu $\cos \alpha \neq 0$ thì tỉ số $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ gọi là tang của góc lượng giác $\alpha$ và kí hiệu tan $\alpha$, $\sin \alpha$ $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

- Nếu $\sin \alpha \neq 0$ thì tỉ số $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ gọi là côtang của góc lượng giác $\alpha$ và kí hiệu cot $\alpha$, $\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

- Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác. 

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

Công thức toán đại số 11 về lượng giác cơ bản

$\begin{aligned}& \sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \text { với mọi } \alpha \\& \tan \alpha \cdot \cot \alpha=1 \text { với } \cos \alpha \neq 0, \sin \alpha \neq 0 \\& 1+\tan ^2 \alpha=\frac{1}{\cos ^2 \alpha} \text { với } \cos \alpha \neq 0 \\& 1+\cot ^2 \alpha=\frac{1}{\sin ^2 \alpha} \text { với } \sin \alpha \neq 0\end{aligned}$

Giá  trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Hai góc đối nhau $\alpha$ và $-\alpha$

$\begin{aligned}& \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\& \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\& \tan (-\alpha)=-\tan \alpha \\& \cot (-\alpha)=-\cot \alpha\end{aligned}$

Hai góc hơn kém nhau $\pi (\alpha \text { và } \alpha+\pi)$ 

$\begin{aligned} & \sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha \\ & \cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha \\ & \tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha \\ & \cot (\alpha+\pi)=\cot \alpha\end{aligned}$

Hai góc bù nhau $\alpha$ và $\pi-\alpha$

$\begin{aligned}& \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\& \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\& \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha \\& \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{aligned}$ 

Hai góc phụ nhau ( $\alpha$ và $\frac{\pi}{2}-\alpha$ )

$\begin{aligned} & \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha \\ & \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha \\ & \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha \\ & \cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha\end{aligned}$

2. Các phép biến đổi lượng giác

Công thức cộng

$\begin{aligned}& \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \cdot \sin b \\& \sin (a-b)=\sin a \cdot \cos b-\cos a \cdot \sin b \\& \cos (a+b)=\cos a \cdot \cos b-\sin a \cdot \sin b \\& \cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \cdot \sin b \\& \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b} \\& \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}\end{aligned}$ (khi các biểu thức đều có nghĩa).

Công thức nhân đôi

$\begin{aligned} & \sin 2 a=2 \sin a \cos a \\ & \cos 2 a=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha \\ & \tan 2 a=\frac{2 \tan a}{1-\tan ^2 a}\end{aligned}$

Công thức hạ bậc

$\begin{aligned} & \cos ^2 a=\frac{1+\cos 2 a}{2} \\ & \sin ^2 a=\frac{1-\cos 2 a}{2}\end{aligned}$

Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{aligned} & \cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\ & \sin a \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\ & \sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\end{aligned}$

Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{aligned} & \cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ & \cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \\ & \sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ & \sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\end{aligned}$

3. Hàm số lượng giác và đồ thị

Hàm số lượng giác $y=\sin x$

- Tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là $[-1 ; 1]$

- Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $\mathrm{O}$; tuần hoàn chu kì $2 \pi$; đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; \frac{\pi}{2}+k 2 \pi\right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; \frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$

Hàm số lượng giác $y=\cos x$

- Tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là $[-1 ; 1]$

- Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung; tuần hoàn chu kì $2 \pi$; đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi+k 2 \pi ; k 2 \pi)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 \pi ; \pi+k 2 \pi)$ với $k \in \mathbb{Z}$

Hàm số lượng giác $y=\tan x$

- Tập xác định là $\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+k \pi \right\rvert\, k \in Z\right\}$, tập giá trị là $\mathbb{R}$

- Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $\mathrm{O}$; tuần hoàn chu kì $\pi$; đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi ; \frac{\pi}{2}+k \pi\right)$

Hàm số lượng giác $y=\cot x$

- Tập xác định là $\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+k \pi \right\rvert\, k \in Z\right\}$, tập giá trị là $\mathbb{R}$

- Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $\mathrm{O}$; tuần hoàn chu kì $\pi$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(k \pi ; \pi+k \pi)$

Các bạn cũng có thể tham khảo bài viết Tổng hợp đầy đủ về công thức lượng giác

4. Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình $\sin x=m$

Với $|\mathrm{m}|>1$, phương trình $\sin x=m$ vô nghiệm.

Với $|\mathrm{m}| \leq 1$, gọi $\alpha$ là số thực thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ sao cho $\sin x=m$. Khi đó, ta có

$\sin x=m \Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}

x=\alpha+k 2 \pi \\x=\pi-\alpha+k 2 \pi\end{array} \quad(k \in \mathbb{Z})\right.$

Một số trường hợp đặc biệt:

$\begin{aligned}& \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z}) \\& \sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z}) \\& \sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi(k \in \mathbb{Z})\end{aligned}$

- Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho

$\sin x=\sin a^{\circ} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=a^{\circ}+k 360 \\x=180^{\circ}-a^{\circ}+k 360\end{array}\right.$

Phương trình $\cos x=m t$

Với $|\mathrm{m}|>1$, phương trình $\cos x=m_{\text {vô }}$ nghiệm.

Với $|\mathrm{m}| \leq 1$, gọi $\alpha$ là số thực thuộc đoạn $[0 ; \pi]$ sao cho $\cos x=m$. Khi đó, ta có:

$\cos x=m \Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k 2 \pi \\x=-\alpha+k 2 \pi\end{array}(k \in\mathbb{Z})\right.$

Một số trường hợp đặc biệt:

$\begin{aligned}& \cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi(k \in Z) \\& \cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z}) \\& \cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)\end{aligned}$

- Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x_{\text {sao }}$ cho $\cos x=\cos a^{\circ} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=a^{\circ}+k 360^{\circ} \\ x=-a+k 360^{\circ}\end{array}\right.$

Phương trình $\tan x=m$

Gọi $\alpha$ là số thực thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$ sao cho $\tan x=m$. Khi đó với mọi $m \in \mathbb{R}$, ta có: $\tan x=m \Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi(k \in \mathbb{Z})$

Phương trình $\cot x=m$

Gọi $\alpha$ là số thực thuộc khoảng $(0 ; \pi)$ sao cho $\cot x=m$. Khi đó với mọi $m \in \mathbb{R}$, ta có: $\cot x=m \Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi(k \in \mathbb{Z})$.

Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

1. Dãy số

$\begin{array}{ll}+u_{n+1}-u_n>0 \text { : dãy tăng }\left(n \in N^*\right) &+u_{n+1}-u_n<0 \text { : dãy giảm }\left(n \in N^*\right) \\+u_n \leq M \text { : dãy bị chặn trên bởi } \mathrm{M}\left(n \in N^*\right) & +u_n \geq m: \text { dãy bị chặn dưới bởi } \mathrm{m}\left(n \in N^*\right) \\+m \leq u_n \leq M \text { : dãy bị chặn }\left(n \in N^*\right) & +\left|u_n\right| \leq M \text { : dãy bị chặn bởi } \mathrm{M}\left(n \in N^*\right)\end{array}$.

2. Cấp số cộng, cấp số nhân (CSC, CSN)

Đặc biệt: Tổng CSN lùi vô hạn $S_n=\frac{u_1}{1-q}$

Giới hạn. Hàm số liên tục

1. Giới hạn của dãy số

2. Giới hạn của hàm số

Một số kết quả giới hạn cơ bản

$\lim _{x \rightarrow x_0} x=x_0$

$\lim _{x \rightarrow x_0} c=c$ với $c$ là hằng số

$\lim _{x \rightarrow+\infty} c=c$

$\lim _{x \rightarrow-\infty} c=c\end{aligned}$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{c}{x^k}=0$

$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{c}{x^k}=0$

Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi $x \rightarrow x$ vẫn còn đúng khi $x \rightarrow+\infty$ hoặc $x \rightarrow-\infty$

$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{1}{x-a}=+\infty$

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a}=-\infty$

Với $\mathrm{k}$ là số nguyên dương, ta có:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^k=+\infty$

$\lim _{x \rightarrow-\infty} x^k=+\infty$ nếu $\mathrm{k}$ chẵn

$\lim _{x \rightarrow-\infty} x^k=-\infty$ nếu $\mathrm{k}$ lẻ

- Nếu $\lim _{x \rightarrow x_c} f(x)=L ; \lim _{x \rightarrow x_c} g(x)=M(L, M \in \mathbb{R})$

Khi đó:

$\begin{aligned}& \lim _{x \rightarrow x_e}(f(x)+g(x))=L+M \\& \lim _{x \rightarrow x_e}(f(x)-g(x))=L-M \\& \lim _{x \rightarrow x_e}(f(x) \cdot g(x))=L \cdot M \\& \lim _0\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{L}{M}(M \neq 0)\end{aligned}$

Nếu $f(x) \geq 0$ và $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=L$ thì $L \geq 0$ và $\lim _{x \rightarrow x_e} \sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x) \cdot g(x)$

Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$

3. Hàm số liên tục

Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(\mathrm{a} ; \mathrm{b})$ và $x_0 \in(a ; b)$. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$

Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

Cho hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $(\mathrm{a} ; \mathrm{b})$ nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]$ nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b) và $\lim _{x \rightarrow i^{+}} f(x)=f(a) ; \lim _{x \rightarrow b} f(x)=f(b)$

ĐN2: Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0^f} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^0} f(x)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại $x=x_0$

+ Tính chất: Hàm số cho bởi 1 công thức luôn liên tục trên $\mathrm{TXĐ}$ của nó.

Các bạn có thể tham khảo bài viết: Tổng hợp chi tiết các dạng bài tập về hàm số liên tục

Như vậy, Gia sư online Học là Giỏi đã hệ thống tất tần tật công thức toán đại số 11 học kì 1 bộ Cánh Diều. Gia sư online Học là Giỏi hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích cho các em. Chúc các em học tốt!

Xem thêm:

Bí kíp học tốt toán lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

[Tổng hợp chi tiết] Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác