Tổng hợp các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 mới nhất

Các dạng toán vi-ét thường gặp khi thi vào 10

Định lý Viet học ở chương trình đại số có nội dung kiến thức quan trọng đối với học sinh, đặc biệt ở trong các đề thi vào 10. Dưới đây là 4 dạng bài toán về định lí vi-ét bạn có thể tham khảo:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Phương pháp giải

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai dạng tổng quát:

$a x^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính biệt thức Δ

Công thức tính Δ: $\Delta = b^2 - 4ac$

Nếu Δ<0: Phương trình không có nghiệm thực.

Nếu Δ≥0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép.

Bước 2: Nhẩm nghiệm bằng hệ thức Vi-ét

Nếu phương trình có dạng $x^2 + bx + c = 0$ (tức là a=1), ta tìm hai số thỏa mãn:

Tổng bằng −b

Tích bằng c

Hai số này chính là nghiệm của phương trình.

Nếu $a \neq 1$, ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa về dạng trên rồi áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm.

Các trường hợp đặc biệt

Nếu a+b+c=0, phương trình có nghiệm: $x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{c}{a}$

Nếu a−b+c=0, phương trình có nghiệm: $x_1 = -1, \quad x_2 = \frac{-c}{a}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau bằng phương pháp nhẩm nghiệm:

a. $x^2 - 10x + 24 = 0$

b. $x^2 - 13x + 40 = 0$

c. $3x^2 + 5x + 2 = 0$

d. $3x^2 - 2x - 1 = 0$

Giải

a. Xét phương trình $x^2 - 10x + 24 = 0$:

Tính $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tìm hai số có tổng 10 và tích 24: Ta có 24=6×4, và 6+4=10.

Vậy nghiệm của phương trình là $x_1 = 6, x_2 = 4$.

b. Xét phương trình $x^2 - 13x + 40 = 0$:

Tính $\Delta = (-13)^2 - 4(1)(40) = 169 - 160 = 9 > 0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tìm hai số có tổng 13 và tích 40: Ta có 40=8×5, và 8+5=13.

Vậy nghiệm của phương trình là $x_1 = 8, x_2 = 5$.

c. Xét phương trình $3x^2 + 5x + 2 = 0$:

Ta có $a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10 \neq 0$, không áp dụng công thức đặc biệt, nên ta thử tìm nghiệm:

Chia cả hai vế cho 3: $x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = 0$

Nhẩm nghiệm: Tìm hai số có tổng $\frac{5}{3}$​ và tích $\frac{2}{3}$​: $\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times 1$.

Vậy nghiệm là $x_1 = -1, x_2 = -\frac{2}{3}$​.

d. Xét phương trình $3x^2 - 2x - 1 = 0$:

Ta có $a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0$.

Suy ra các nghiệm của phương trình là: $x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{3}$

Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp giải

Bài toán yêu cầu tìm hai số u và v thỏa mãn điều kiện:

- Tổng của hai số: u+v=S

- Tích của hai số: u⋅v=P

Các bước giải bài toán

Kiểm tra điều kiện tồn tại hai số u và v:

Nếu $S^2 < 4P$, không tồn tại hai số thỏa mãn.

Nếu $S^2 \geq 4P$, tồn tại hai số cần tìm.

Thiết lập phương trình

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 - Sx + P = 0$

Giải phương trình

Tính biệt thức $\Delta = S^2 - 4P$.

Nếu Δ<0, không có nghiệm thực.

Nếu Δ≥0, giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hai số biết:

a) Tổng của chúng bằng 10, tích của chúng bằng 21.
b) Tổng của chúng bằng 15, tích của chúng bằng 60.

Giải

a) Với S=10, P=21

Kiểm tra điều kiện: $S^2 = 100 \geq 4P = 84$, nên tồn tại hai số cần tìm.

Hai số đó là nghiệm của phương trình: $x^2 - 10x + 21 = 0$

Tính biệt thức: $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(21) = 100 - 84 = 16 > 0$

Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$

$x_2 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$

Vậy hai số cần tìm là 3 và 7.

b) Với S=15, P=60

Kiểm tra điều kiện: $S^2 = 225 \geq 4P = 240$.

Do 225<240, không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 3: Tính giá trị hoặc thiết lập biểu thức liên hệ giữa các nghiệm

Phương pháp giải

Theo định lý Vi-et, nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a \neq 0$), thì chúng thỏa mãn các hệ thức:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Cách giải bài toán

Xác định điều kiện tồn tại nghiệm:

Tính $\Delta = b^2 - 4ac$.

Nếu Δ<0, phương trình vô nghiệm, do đó không tồn tại tổng và tích nghiệm.

Nếu Δ≥0, phương trình có hai nghiệm thực $x_1, x_2$, tiếp tục thực hiện bước sau.

Áp dụng định lý Vi-et để xác định tổng và tích nghiệm:

Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.

Biến đổi biểu thức liên hệ giữa các nghiệm

Dựa vào tổng và tích nghiệm, ta có thể thiết lập các biểu thức khác liên quan đến $x_1$​ và $x_2$​ mà không phụ thuộc vào tham số.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) $x^2 - 8x + 12 = 0$.

b) $4x^2 - 6x + 5 = 0$.

Giải:

a) Ta có a=1, b=−8, c=12.

Tính $\Delta = (-8)^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16 > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8, \quad x_1 x_2 = \frac{12}{1} = 12.$

Vậy tổng hai nghiệm bằng 8, tích hai nghiệm bằng 12.

b) Ta có a=4, b=−6, c=5.

Tính $\Delta = (-6)^2 - 4(4)(5) = 36 - 80 = -44 < 0$, phương trình vô nghiệm.

Do đó, không tồn tại tổng và tích các nghiệm.

Ví dụ 2:

Biết $x_1, x_2$​ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 7x + 10 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức:

$A = x_1^2 + x_2^2$

Giải:

Theo Vi-et: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 x_2 = 10$.

Ta có công thức: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.$

Thay số: $A = 7^2 - 2(10) = 49 - 20 = 29.$

Vậy A=29.

Ví dụ 3:

Cho phương trình $x^2 - 3(m+2)x + 2m - 5 = 0$(với m là tham số). Tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m.

Giải:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\Delta = (3(m+2))^2 - 4(2m - 5) \geq 0$, luôn đúng với mọi m, nên phương trình có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

Theo Vi-et: $x_1 + x_2 = 3(m+2), \quad x_1 x_2 = 2m - 5.$

Từ đó, ta thiết lập biểu thức: $x_1 + x_2 - 2x_1 x_2 = 6.$

Biểu thức này không phụ thuộc vào m, là hệ thức cần tìm.

Dạng 4: Sử dụng hệ thức Vi-et để xác định tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu,...)

Phương pháp giải

Cho phương trình bậc hai có dạng $a{x}^2+bx+c=0$ (a ≠ 0), ta có:

Điều kiện để phương trình có:

- Hai nghiệm cùng dấu khi: Δ ≥ 0 và tích hai nghiệm P > 0.

- Hai nghiệm trái dấu khi: a.c < 0.

- Hai nghiệm dương khi: Δ ≥ 0, tổng hai nghiệm S > 0 và tích hai nghiệm P > 0.

- Hai nghiệm âm khi: Δ ≥ 0, tổng hai nghiệm S < 0 và tích hai nghiệm P > 0.

- Hai nghiệm đối nhau khi: Δ ≥ 0 và tổng hai nghiệm S = 0.

- Hai nghiệm nghịch đảo của nhau khi: Δ ≥ 0 và tích hai nghiệm P = 1.

- Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi: a.c < 0 và S < 0.

- Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi: a.c < 0 và S > 0.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho $x_1=p.x_2$ (với p là một số thực):

Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Áp dụng định lý Vi-et để tìm hệ thức về tổng và tích nghiệm.

Bước 3: Kết hợp các hệ thức, giải hệ phương trình để tìm x_1 và x_2.

Bước 4: Thay nghiệm vào hệ thức để tìm giá trị tham số.

So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).

Bước 2: Áp dụng định lý Vi-et để tìm tổng và tích nghiệm.

Tìm tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm lớn hơn một số α bằng cách lập hệ bất phương trình từ tổng và tích nghiệm.

Tương tự, để tìm tham số m sao cho phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn α hoặc nằm trong khoảng xác định.

Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2+5x+3m-1=0$ (x là ẩn số, m là tham số). 

a. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

b. Xác định m để hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Giải:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0.

Áp dụng hệ thức Vi-et để tìm m thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2-10mx+9m=0$ (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: Δ ≥ 0, tổng nghiệm S > 0, tích nghiệm P > 0.

Giải hệ phương trình để tìm giá trị phù hợp của m.

Các bài tập định lí Vi-ét 

Bài 1: Gọi $x_1, x_2$​ là các nghiệm của phương trình $x^2 - 4x - 5 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính:
a) $x_1 + x_2$​
b) $x_1 \cdot x_2$
c) $x_1^2 + x_2^2$​

Bài 2: Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $4x^2 - 7x + 3 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $x_1^3 + x_2^3$​
b) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ (với điều kiện $x_1, x_2 \neq 0$)

Bài 3: Cho phương trình $x^2 + 3x - m^2 = 0$.
Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: $x_1 + x_2 = 6$.

Bài 4: Tìm giá trị m để phương trình $x^2 - 8mx + 5m = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1 > x_2 > 0$.

Bài 5: Tìm giá trị m để phương trình $x^2 - 3(m - 2)x + 2m - 5 = 0$ có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Bài 6: Tìm giá trị m để phương trình $3x^2 + mx + m - 4 = 0$ có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm âm.

Bài 7: Cho phương trình $x^2 + 5mx + 6m = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm.

Bài 8: Tìm m để phương trình $mx^2 - (6m - 4)x + 7m - 3 = 0$ có hai nghiệm đối nhau.

Bài 9: Cho phương trình $x^2 - 3mx - 4m + 8 = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và $x_1 < x_2$​.

Bài 10: Cho phương trình $x^2 - 4mx + 3m - 2 = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2024 để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?

Bài 11: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v=10 và u⋅v=21.
b) u+v=5 và u⋅v=6.
c) u+v=−7 và u⋅v=12.

Bài 12: Tìm hiệu u−v biết u+v=14, u⋅v=48, với u>v.

Bài 13: Tìm hai số x,y biết $x^2 + y^2 = 50$ và $xy = 24$.

Bài 14: Cho phương trình $x^2 - 9x + q = 0$, biết hiệu hai nghiệm bằng 5. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

Bài 15: Cho phương trình $x^2 - qx + 36 = 0$, biết phương trình có hai nghiệm và một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.

Bài 16: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
a) $x^2 - 7x + 12 = 0$.
b) $x^2 + 6x + 9 = 0$.
c) $x^2 - 9x + 14 = 0$.

Bài 17: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
a) $x^2 - 5x + 6 = 0$.
b) $x^2 + 4x + 4 = 0$.
c) $x^2 - 8x + 15 = 0$.

Bài 18: Cho phương trình $3x^2 + (4m - 3)x + m - 2 = 0$ (với m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 19: Cho phương trình $x^2 + (m + 2)x + m - 1 = 0$ (với m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 20: Cho phương trình $5x^2 + (3m - 2)x + 2m - 3 = 0$ (với m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Kết luận

Thành thạo các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về nghiệm phương trình. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng thông qua bài viết trên sẽ giúp bạn hiểu được các dạng toán vi-ét để dễ dàng chinh phục đề thi lớp 10 nhé.