Tổng hợp kiến thức về định lý viet trong Toán lớp 9

Định lý Viet ( Hệ thức Viet)

Định lý Viet là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét.

Định lý Viet thuận

Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ có hai nghiệm 

$\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2$ (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng các nghiệm $S=-\frac{b}{a}$ và tích các nghiệm $P=\frac{c}{a}$.

Định lý Viet đảo

Nếu có 2 số $x_1, x_2$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=S \\ x_1, x_2=P\end{array}\right.$ thì chúng là nghiệm số của phương trình: $\mathrm{t}^2-\mathrm{st}+\mathrm{p}=0$

(Điều kiện $\exists 2$ số $x_1, x_2$ là $S^2-4 \mathrm{P} \geq 0$ )

Chú ý: Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm

Các dạng bài tập hệ thức Viet

Dạng 1. Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Viet.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Viet, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm $x_0$ của phương trình

Bước 1: Thay giá trị $x_0$ vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Viet.

Bước 3: Tính m theo S và P.

Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.

Bước 5: Kết luận.

Dạng 4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$.

+) Nếu $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thì phương trình có nghiệm $\mathrm{x}_1=1$ và $\mathrm{x}_2=\frac{c}{a}$.

+) Nếu $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thì phương trình có nghiệm $\mathrm{x}_1=-1$ và $\mathrm{x}_2=-\frac{c}{a}$.

Dạng 5. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u+v=S$ và tích $u \cdot v=P$ thì hai số đó là nghiệm của phương trình $x^2-S x+P=0$.

Điều kiện để có u và v là $\mathrm{S}^2-4 \mathrm{P} \geq 0$.

Bài tập hệ thức Vi-ét 

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho phương trình $x^2 + 5x - 6$ = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1 , x_2$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức${x_1}^2 + {x_2}^2$.

Lời giải 

Xét phương trình $x^2 + 5x - 6$ có a = 1, b = 5, c = -6 

Có a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 , x_2$ nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có: 

$\left\{\begin{array}{c}x1+x2=-b/a=-5/1=-5\\ x1.x2=c/a=-6/1=-6\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có: 

$$\begin{gathered} {x_1}^2 + {x_2}^{2 } \\ = {x_1}^2 + 2 x_1 x_2 + {x_2}^{2 } - 2 x_1 x_2 \\ = ( {x_1}^2 + 2 x_1 x_2 + {x_2}^{2 } ) - 2 x_1 x_2 \\ = {( x_1 + x_2 )}^2 - 2 x_1 x_2 \\ ={ ( - 5 )}^2 - 2. ( - 6 ) \\ = 37 \end{gathered}$$

Bài 2: Cho phương trình $x^2 + 7 x - 4 = 0$có hai nghiệm phân biệt $x_1 , x_2$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.

Lời giải

Xét phương trình $x^2+7x-4=0$ có a = 1, b = 7, c = -4

Do a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-7}{1}=-7\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

$=\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}$

$=\frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}$

$=\frac{-7}{-4}=\frac{7}{4}$

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho phương trình $x^2+5mx-4=0$. Tìm m để $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2+6x_1{x}_2=9$.

Lời giải

Xét phương trình $x^2+5mx-4=0$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

$\Delta ={\left(5m\right)}^2-\mathrm{4.1.}(-4)=25m^2+16>0$

Mà $m^2\ge 0$ với mọi m nên $\Delta =25m^2+16>0$ với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m. Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{-5m}{1}=-5m\\ x_1.x_2=\frac{-4}{1}=-4\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

${x_1}^2+{x_2}^2+6x_1{x}_2=9$

$\iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2+4x_1{x}_2=9$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2=9$

$\iff {\left(-5m\right)}^2+4.(-4)=9$

$\iff 25m^2-16=9$

$\iff 25m^2=25$

$\iff m^2=1$

$\iff m=\pm 1$

Vậy m = 1 hoặc m = -1 thì phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2+6x_1{x}_2=9$.

Bài 4: Cho phương trình $x^2-2(m-1)x-3-m=0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2\ge 10$

Lời giải

Xét phương trình $x^2-2(m-1)x-3-m=0$ (*)

Ta có:

$\Delta ={\left[-2(m-1)\right]}^2-\mathrm{4.1.}(-3-m)=4(m^2-2m+1)+12+4m$

$=4m^2-8m+4+12+4m=4m^2-4m+16$

=$=4m^2-4m+1+15={(2m-1)}^2+15$

Ta có: ${(2m-1)}^2\ge 0$ với mọi m

$\Rightarrow \Delta ={(2m-1)}^2+15>0$ với mọi m

Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{-\left[-2(m-1)\right]}{1}=2m-2\\ x_1.x_2=\frac{-3-m}{1}=-3-m\end{array}\right.$

Mặt khác, ta có:

${x_1}^2+{x_2}^2\ge 10$

$\iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2\ge 10$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\ge 10$

$\iff {\left(2m-2\right)}^2-2(-3-m)\ge 10$

$\iff 4m^2-8m+4+6+2m\ge 10$

$\iff 4m^2-6m\ge 0$

$\iff 2m(2m-3)\ge 0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}m\ge 0\\ 2m-3\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m\le 0\\ 2m-3\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}m\ge 0\\ m\ge \frac{3}{2}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m\le 0\\ m\le \frac{3}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\ge \frac{3}{2}\\ m\le 0\end{array}\right.$

Vậy khi $m\ge \frac{3}{2}$ hoặc $m\le 0$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2\ge 10$

Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Định lý cosin

Kết luận

Trên đây là tổng hợp lí thuyết về định lí Viet trong chương trình Toán lớp 9. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng để giải được các bài toán liên quan.