Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Định lý cosin

schedule.svg

Thứ tư, 22/5/2024 02:20 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Trong hình học tam giác, định lý cosin là một trong những định lý quan trọng nhất. Định lý này cho phép chúng ta tính toán một cạnh của tam giác khi biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa chúng. Sau đây là kiến thức về định lý cosin mà Học là Giỏi đã tổng hợp lại.

Mục lục [Ẩn]

Định lý cosin

Định lý cosin

Định lý cosin được phát biểu như sau: Trong một tam giác bất kỳ, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen ở giữa chúng.

Hệ quả của định lý hàm cosin

Từ định lý hàm số Cosin, chúng ta có thể dễ dàng suy ra các biểu thức tính giá trị của cosA, cosB, và cosC theo ba cạnh của tam giác ABC như sau:

  cosA=b2+c2a22bc  cosB=a2+c2b22ac  cosC=a2+b2c22ab\begin{aligned} & \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ & \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ & \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{aligned}

Chú ý:

Hệ quả định lý hàm cosin là những định lý được suy ra từ định lý hàm cosin. Chúng có thể được sử dụng để giải các bài toán tam giác một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Một số hệ quả của định lý hàm cosin được diễn giải bằng lời, như sau:

Cosin của một góc trong tam giác bất kì bằng tỷ số bình phương của cạnh đối diện với góc đó chia cho tổng bình phương của hai cạnh còn lại.

Bình phương của một cạnh trong tam giác bất kì bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc đối diện với cạnh đó.

Nếu biết độ dài của ba cạnh của một tam giác, ta có thể tính được số đo của các góc trong tam giác đó.

Nếu biết độ dài của hai cạnh và góc xen giữa chúng, ta có thể tính được độ dài cạnh còn lại của tam giác đó.

Nếu biết độ dài của một cạnh và góc đối diện với cạnh đó, ta có thể tính được độ dài của hai cạnh còn lại của tam giác đó.

Để sử dụng hệ quả định lý hàm cosin, ta cần nắm vững định lý hàm cosin và các hệ quả của định lý này. Sau đó, ta cần xác định xem hệ quả nào phù hợp với bài toán cần giải.

Ứng dụng của định lý cosin trong giải toán

Ứng dụng của định lý cosin trong giải toán

Tính độ dài cạnh tam giác: Định lý cosin cho phép chúng ta tính toán độ dài của một cạnh của tam giác khi biết các độ dài của hai cạnh khác và góc giữa chúng. Điều này rất hữu ích trong hình học và các vấn đề liên quan đến đo đạc.

Tính toán các góc trong tam giác: Định lý cosin cũng cho phép chúng ta tính toán các góc trong tam giác khi biết độ dài của ba cạnh. Điều này có thể hữu ích trong việc xác định hình dạng và hướng của tam giác.

Xác định tích vô hướng: Định lý cosin cũng được sử dụng trong việc tính toán tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Euclid. Điều này có ứng dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính và trong các lĩnh vực như vật lý và công nghệ.

Giải quyết các vấn đề vận động: Trong vật lý và kỹ thuật, định lý cosin được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến chuyển động và lực tác động lên các đối tượng. Nó giúp tính toán các thành phần của lực hoặc vận tốc trong các hướng khác nhau.

Ứng dụng trong thiết kế và xây dựng: Định lý cosin cũng được sử dụng trong các ứng dụng thiết kế và xây dựng, chẳng hạn như xác định các lực căng trong các cấu trúc như cầu, tòa nhà, và thiết bị kỹ thuật.

Xác định khoảng cách giữa các điểm: Định lý cosin có thể được sử dụng để tính khoảng cách giữa các điểm trong không gian dựa trên tọa độ của chúng.

Bài tập định lý cosin

Bài 1:
Cho tam giác DEF, biết DE=13cm, DF=20cm, E=120. Tính cạnh EFEF.

Bài 2:
Một tam giác MNP có MN=12m, NP=18m, M=60. Tính độ dài cạnh MPMP.

Bài 3:
Tính khoảng cách giữa hai điểm AA và BB ở hai bên bờ hồ. Biết từ điểm C, C cách A và B lần lượt 500m và 600m, góc giữa hai đoạn CA và CB là 70∘.

Bài 4:
Cho tam giác ABC, biết AB=25cm,AC=30cm,A=40AB = 25 \, \text{cm}, AC = 30 \, \text{cm}, \angle A = 40^\circ. Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Bài 1:
Sử dụng định lí côsin:

EF2=DE2+DF22DEDFcosEEF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos E

EF2=132+20221320cos120EF^2 = 13^2 + 20^2 - 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ

 EF2=169+400+520=1089EF^2 = 169 + 400 + 520 = 1089

EF=1089=33cmEF = \sqrt{1089} = 33 \, \text{cm}

Đáp án: EF=33cmEF = 33 \, \text{cm}

Bài 2:
Sử dụng định lí côsin:

MP2=MN2+NP22MNNPcosMMP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos M

 MP2=122+18221218cos60MP^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos 60^\circ

 MP2=144+324216=252MP^2 = 144 + 324 - 216 = 252

MP=25215,9mMP = \sqrt{252} \approx 15,9 \, \text{m}.

Đáp án: MP15,9mMP \approx 15,9 \, \text{m}.

Bài 3:
Sử dụng định lí côsin:

AB2=AC2+BC22ACBCcosCAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C

 AB2=5002+60022500600cos70AB^2 = 500^2 + 600^2 - 2 \cdot 500 \cdot 600 \cdot \cos 70^\circ

AB2250000+3600004080000,342AB^2 \approx 250000 + 360000 - 408000 \cdot 0,342

AB2250000+360000139536=470464AB^2 \approx 250000 + 360000 - 139536 = 470464

AB470464686mAB \approx \sqrt{470464} \approx 686 \, \text{m}

Đáp án: AB686mAB \approx 686 \, \text{m}.

Bài 4:

Tính BC:

BC2=AB2+AC22ABACcosABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A

BC2=252+30222530cos40BC^2 = 25^2 + 30^2 - 2 \cdot 25 \cdot 30 \cdot \cos 40^\circ

BC19,1cmBC \approx 19,1 \, \text{cm}.

Tính các góc B, C:

Sử dụng hệ quả của định lí côsin:

cosB=AC2+BC2AB22ACBC\cos B = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}

cosB0,77\cos B \approx 0,77, suy ra B39\angle B \approx 39^\circ
C=180AB=101\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 101^\circ

Đáp án:
BC19,1cmBC \approx 19,1 \, \text{cm}B39\angle B \approx 39^\circC101\angle C \approx 101^\circ

Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki


Trên đây là các công thức định lý cosin thường gặp và nâng cao. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài tập trong chương trình toán phổ thông nhé.

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Mẹo học bảng nhân 5 cực dễ hiểu cho học sinh tiểu học
schedule

Thứ sáu, 25/4/2025 07:16 AM

Mẹo học bảng nhân 5 cực dễ hiểu cho học sinh tiểu học

Bảng nhân 5 là một phần không thể thiếu trong hệ thống bảng cửu chương hỗ trợ học sinh ghi nhớ và vận dụng phép nhân với số 5 một cách nhanh chóng. Hôm nay gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn khám phá chi tiết bảng nhân 5 nhé.

Bí quyết tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội uy tín
schedule

Thứ ba, 22/4/2025 03:21 AM

Bí quyết tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội uy tín

Lớp 9 là dấu mốc quan trọng quyết định tương lai học tập của học sinh vào cấp 3, đặc biệt là tại Hà Nội, nơi có môi trường giáo dục cạnh tranh khốc liệt. Trong bối cảnh ấy, việc tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội trở thành nhu cầu cấp thiết với nhiều phụ huynh nhằm giúp con tự tin bước vào kỳ thi chuyển cấp. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn tìm hiểu những lưu ý gì khi tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà nội nhé.

Giải pháp tìm gia sư toán lớp 6 tại Hà Nội hiệu quả
schedule

Thứ hai, 21/4/2025 09:10 AM

Giải pháp tìm gia sư toán lớp 6 tại Hà Nội hiệu quả

Lớp 6 là bước ngoặt quan trọng khi con bắt đầu làm quen với tư duy Toán học nâng cao và chương trình đổi mới. Vì vậy, tìm gia sư Toán lớp 6 đang trở thành giải pháp thiết thực giúp học sinh tự tin hơn ngay từ những bài toán đầu tiên. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cho bạn cái nhìn tổng thể trong việc tìm gia sư toán lớp 6 tại Hà Nội ở bài viết dưới đây nhé.

Các công thức và cách tính xác suất từ cơ bản đến nâng cao
schedule

Thứ ba, 15/4/2025 10:22 AM

Các công thức và cách tính xác suất từ cơ bản đến nâng cao

Trong toán học và cuộc sống, việc dự đoán một sự kiện có xảy ra hay không luôn là điều khiến con người tò mò. Các công thức và cách tính xác suất sẽ giúp chúng ta đo lường mức độ xảy ra của một biến cố, từ những trò chơi may rủi cho đến các quyết định trong đời sống thực tế. Gia sư online Học là Giỏi giúp bạn hiểu rõ các công thức và cách tính xác suất từ những khái niệm cơ bản đến các công thức ứng dụng cao nhé.

Tổng hợp các ký hiệu toán học cần ghi nhớ
schedule

Thứ sáu, 11/4/2025 10:03 AM

Tổng hợp các ký hiệu toán học cần ghi nhớ

Trong toán học, ký hiệu đóng vai trò giúp con người biểu đạt những khái niệm trừu tượng một cách logic và hệ thống. Gia sư online Học là Giỏi sẽ cung cấp các ký hiệu toán học ở trong bài viết để bạn có thể nắm bắt và biết cách sử dụng hơn nhé.

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị
schedule

Thứ ba, 11/3/2025 07:55 AM

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị

Bảng nhân 4 là một trong những kiến thức quan trọng trong toán học tiểu học, giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng tính nhẩm nhanh. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững bảng nhân 4 trong bài viết để bạn áp dụng phép nhân đối với các bài tập một cách hiệu quả.

message.svg zalo.png