Định lý cosin

Định lý cosin

Định lý cosin được phát biểu như sau: Trong một tam giác bất kỳ, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen ở giữa chúng.

Hệ quả của định lý hàm cosin

Từ định lý hàm số Cosin, chúng ta có thể dễ dàng suy ra các biểu thức tính giá trị của cosA, cosB, và cosC theo ba cạnh của tam giác ABC như sau:

$\begin{aligned} & \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ & \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ & \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{aligned}$

Chú ý:

Hệ quả định lý hàm cosin là những định lý được suy ra từ định lý hàm cosin. Chúng có thể được sử dụng để giải các bài toán tam giác một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Một số hệ quả của định lý hàm cosin được diễn giải bằng lời, như sau:

Cosin của một góc trong tam giác bất kì bằng tỷ số bình phương của cạnh đối diện với góc đó chia cho tổng bình phương của hai cạnh còn lại.

Bình phương của một cạnh trong tam giác bất kì bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc đối diện với cạnh đó.

Nếu biết độ dài của ba cạnh của một tam giác, ta có thể tính được số đo của các góc trong tam giác đó.

Nếu biết độ dài của hai cạnh và góc xen giữa chúng, ta có thể tính được độ dài cạnh còn lại của tam giác đó.

Nếu biết độ dài của một cạnh và góc đối diện với cạnh đó, ta có thể tính được độ dài của hai cạnh còn lại của tam giác đó.

Để sử dụng hệ quả định lý hàm cosin, ta cần nắm vững định lý hàm cosin và các hệ quả của định lý này. Sau đó, ta cần xác định xem hệ quả nào phù hợp với bài toán cần giải.

Ứng dụng của định lý cosin trong giải toán

Tính độ dài cạnh tam giác: Định lý cosin cho phép chúng ta tính toán độ dài của một cạnh của tam giác khi biết các độ dài của hai cạnh khác và góc giữa chúng. Điều này rất hữu ích trong hình học và các vấn đề liên quan đến đo đạc.

Tính toán các góc trong tam giác: Định lý cosin cũng cho phép chúng ta tính toán các góc trong tam giác khi biết độ dài của ba cạnh. Điều này có thể hữu ích trong việc xác định hình dạng và hướng của tam giác.

Xác định tích vô hướng: Định lý cosin cũng được sử dụng trong việc tính toán tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Euclid. Điều này có ứng dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính và trong các lĩnh vực như vật lý và công nghệ.

Giải quyết các vấn đề vận động: Trong vật lý và kỹ thuật, định lý cosin được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến chuyển động và lực tác động lên các đối tượng. Nó giúp tính toán các thành phần của lực hoặc vận tốc trong các hướng khác nhau.

Ứng dụng trong thiết kế và xây dựng: Định lý cosin cũng được sử dụng trong các ứng dụng thiết kế và xây dựng, chẳng hạn như xác định các lực căng trong các cấu trúc như cầu, tòa nhà, và thiết bị kỹ thuật.

Xác định khoảng cách giữa các điểm: Định lý cosin có thể được sử dụng để tính khoảng cách giữa các điểm trong không gian dựa trên tọa độ của chúng.

Bài tập định lý cosin

Bài 1:
Cho tam giác DEF, biết $DE=13\text{cm}, DF=20\text{cm}, \mathrm{\angle }E=120^{\circ }$. Tính cạnh $EF$.

Bài 2:
Một tam giác MNP có $MN=12\text{m}, NP=18\text{m}, \mathrm{\angle }M=60^{\circ }$. Tính độ dài cạnh $MP$.

Bài 3:
Tính khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ ở hai bên bờ hồ. Biết từ điểm C, C cách A và B lần lượt 500m và 600m, góc giữa hai đoạn CA và CB là 70∘.

Bài 4:
Cho tam giác ABC, biết $AB = 25 \, \text{cm}, AC = 30 \, \text{cm}, \angle A = 40^\circ$. Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Bài 1:
Sử dụng định lí côsin:

$EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos E$

$EF^2 = 13^2 + 20^2 - 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ$

 $EF^2 = 169 + 400 + 520 = 1089$

$EF = \sqrt{1089} = 33 \, \text{cm}$

Đáp án: $EF = 33 \, \text{cm}$

Bài 2:
Sử dụng định lí côsin:

$MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos M$

 $MP^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos 60^\circ$

 $MP^2 = 144 + 324 - 216 = 252$

$MP = \sqrt{252} \approx 15,9 \, \text{m}$.

Đáp án: $MP \approx 15,9 \, \text{m}$.

Bài 3:
Sử dụng định lí côsin:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$

 $AB^2 = 500^2 + 600^2 - 2 \cdot 500 \cdot 600 \cdot \cos 70^\circ$

$AB^2 \approx 250000 + 360000 - 408000 \cdot 0,342$

$AB^2 \approx 250000 + 360000 - 139536 = 470464$

$AB \approx \sqrt{470464} \approx 686 \, \text{m}$

Đáp án: $AB \approx 686 \, \text{m}$.

Bài 4:

Tính BC:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 25^2 + 30^2 - 2 \cdot 25 \cdot 30 \cdot \cos 40^\circ$

$BC \approx 19,1 \, \text{cm}$.

Tính các góc B, C:

Sử dụng hệ quả của định lí côsin:

$\cos B = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

$\cos B \approx 0,77$, suy ra $\angle B \approx 39^\circ$
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 101^\circ$

Đáp án:
$BC \approx 19,1 \, \text{cm}$, $\angle B \approx 39^\circ$, $\angle C \approx 101^\circ$

Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Trên đây là các công thức định lý cosin thường gặp và nâng cao. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài tập trong chương trình toán phổ thông nhé.