Cách chứng minh đường trung trực lớp 7 chi tiết kèm bài tập

Đường trung trực là gì?

Định nghĩa

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Lưu ý: Đường trung trực là một đường thẳng, không phải là một đoạn thẳng hay tia.

Tính chất

Trong chương trình Toán lớp 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống), tính chất quan trọng nhất của đường trung trực là:

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì: MA = MB

Tổng hợp các cách chứng minh đường trung trực

Muốn giải đúng và nhanh, trước hết học sinh cần xác định dữ kiện đề bài đang cho để lựa chọn phương pháp phù hợp. Dưới đây là hai cách chứng minh cơ bản và được sử dụng nhiều nhất.

Cách 1. Đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng

Đây là cách chứng minh trực tiếp dựa trên định nghĩa đường trung trực.

Muốn chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, cần chứng minh đồng thời hai điều kiện:

- Đường thẳng d đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB.

- Đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB.

Nên áp dụng cách này khi đề bài cho hoặc dễ chứng minh được:

- Một điểm là trung điểm của đoạn thẳng.

- Hai đoạn thẳng bằng nhau để suy ra trung điểm.

- Hai đường thẳng vuông góc.

- Góc vuông, đường cao hoặc các dữ kiện liên quan đến tính vuông góc.

Cách 2. Chứng minh một điểm cách đều hai đầu nút của đoạn thẳng

Đây là cách sử dụng tính chất của đường trung trực và xuất hiện rất nhiều trong các bài toán chứng minh hình học.

Theo tính chất đường trung trực: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Do đó, nếu chứng minh được: MA = MB, ta có thể kết luận: Điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Nên áp dụng cách này khi đề bài xuất hiện:

- Hai đoạn thẳng bằng nhau.

- Tam giác cân.

- Bán kính của cùng một đường tròn.

- Hai cạnh tương ứng bằng nhau sau khi chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Các dạng bài tập chứng minh đường trung trực

Dưới đây là 4 dạng bài tập chứng minh đường trung trực thường gặp trong chương trình Toán 7 cùng ví dụ minh họa và lời giải chi tiết. 

Dạng 1. Vận dụng tính chất của đường trung trực

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất đường trung trực: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Cho góc vuông $\widehat{x O y}$. Trên tia $\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}$ lần lượt lấy hai điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ (không trùng với O ). Đường trung trực của đoạn thẳng OA và OB cắt nhau tại H . Chứng minh H là trung điểm của AB .

Lời giải
Có H thuộc trung trực của OA và OB

$<br>\rightarrow \mathrm{HA}=\mathrm{HO}=\mathrm{HB}<br>$

$\rightarrow \triangle \mathrm{AHO}, \triangle \mathrm{BHO}$ cân tại H

$$
\begin{aligned}
& \text { Có } \widehat{A H B}=\widehat{A H O}+\widehat{B H O} \\
& =180^{\circ}-2 \widehat{A O H}+180^{\circ}-2 \widehat{B O H} \\
& =360^{\circ}-2(\widehat{A O H}+\widehat{B O H}) \\
& =360^{\circ}-2 \widehat{A O B} \\
& =360^{\circ}-2.90^{\circ} \\
& =180^{\circ}
\end{aligned}
$$

$\rightarrow \mathrm{A}, \mathrm{H}, \mathrm{B}$ thẳng hàng
Mà $\mathrm{HA}=\mathrm{HB} \rightarrow \mathrm{H}$ là trung điểm của AB

Dạng 2. Chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực

Phương pháp giải: Chứng minh hai đoạn thẳng từ điểm cần xét đến hai đầu mút của đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ: Cho  đoạn thẳng AB = 5cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 4cm và đường tròn tâm B bán kính 3cm. Hai đường tròn này cắt nhau tại P, Q. Chứng minh rằng A thuộc đường trung trực của PQ.

Lời giải

Vì P, Q thuộc đường tròn tâm A → AP = AQ

→ A thuộc đường trung trực của PQ

Dạng 3. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng

Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B. 

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác MAB cân tại M, tam giác NAB cận tại N (M, N nằm khác phía so với AB). Chứng minh MN là đường trung trực của AB.

Lời giải

Có $\triangle \mathrm{MAB}$ cân tại M nên $\mathrm{MA}=\mathrm{MB}$

→ M thuộc đường trung trực của AB (1)

Lai có $\Delta \mathrm{NAB}$ cân tại N nên NA = NB
$\rightarrow \mathrm{N}$ thuộc đường trung trực của $\mathrm{AB}(2)$

Từ (1), (2) suy ra MN là đường trung trực của AB .

Dạng 4. Chứng minh ba đường trung trực của tam giác đồng quy

Phương pháp giải: Chứng minh ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. 

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Hai đường trung trực của các cạnh AB và BC cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O cũng nằm trên đường trung trực của cạnh AC.

Lời giải

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên: OA = OB

Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên: OB = OC

→ OA = OC

→ Điểm O cách đều 2 đầu mút A và C

Do đó: O nằm trên đường trung trực của cạnh AC.

Vậy ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.

Xem thêm: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

10 bài tập chứng minh đường trung trực từ cơ bản đến nâng cao

Dưới đây là 10 bài tập tự luyện chứng minh đường trung trực được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh ôn luyện đầy đủ các dạng bài: chứng minh một điểm thuộc đường trung trực, chứng minh một đường thẳng là đường trung trực và vận dụng tính chất của đường trung trực.

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB. Điểm M là trung điểm của AB. Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Biết MA = MB. Chứng minh điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 3. Cho đoạn thẳng CD. Điểm O là trung điểm của CD. Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với CD. Lấy điểm P bất kỳ trên d. Chứng minh:

a) PC = PD.

b) P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Bài 4. Cho tam giác cân ABC tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực của cạnh BC.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Hai điểm M và N cùng cách đều hai điểm A và B và MA = MB, NA = NB. Chứng minh đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 6. Cho đoạn thẳng AB. Trên đường trung trực của AB lấy hai điểm phân biệt P và Q.

a) Chứng minh PA = PB. 

b) Chứng minh QA = QB.

c) Chứng minh đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB. Biết d1​ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC và d2​ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với AC. Hai đường thẳng d1​ và d2 cắt nhau tại O.

a) Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác.

b) O nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Bài 8. Cho tam giác ABC. Điểm M thỏa mãn MA = MB, MB = MC.

a) Chứng minh M nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

b) Chứng minh M nằm trên đường trung trực của cạnh BC.

c) Chứng minh ba đường trung trực của tam giác đồng quy.

Bài 9. Cho tam giác cân ABC tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng DE đi qua đỉnh A

Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm hai đường trung trực của các cạnh AB và AC. Trên tia đối của tia OA lấy điểm M sao cho OM = OA. 

a) Chứng minh MA = 2OA.

b) Chứng minh MB = MC.

c) Chứng minh M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hy vọng bài viết đã giúp các con hệ thống đầy đủ cách chứng minh đường trung trực theo chương trình sách Kết nối tri thức với cuộc sống, từ lý thuyết, phương pháp đến các dạng bài tập thường gặp. Nếu cần một lộ trình học bài bản, bám sát chương trình mới và được hướng dẫn theo từng chuyên đề, các con có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi.