7 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng chi tiết và dễ hiểu

Định nghĩa 3 điểm thẳng hàng là gì?

Ba điểm được gọi là thẳng hàng nếu tồn tại một đường thẳng duy nhất đi qua cả ba điểm đó.

Nếu một trong ba điểm không nằm trên cùng đường thẳng với hai điểm còn lại thì ba điểm không thẳng hàng.

Mối quan hệ của 3 điểm thẳng hàng

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì.

Hướng dẫn các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7

Tùy theo giả thiết của đề bài mà học sinh có thể lựa chọn phương pháp chứng minh phù hợp. Dưới đây là 7 cách chứng minh phổ biến, kèm theo dấu hiệu nhận biết và cách áp dụng.

Cách 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng khi và chỉ khi: $\widehat{A B C}=180^{\circ}$.
Hay nói cách khác, tổng hai góc kề nhau tạo bởi ba điểm bằng 180°.

Áp dụng khi đề bài cho:

- Các số đo góc.

- Các góc kề nhau.

- Có thể tính được tổng hai góc.

Ví dụ: Cho ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ và điểm M sao cho $\widehat{A B M}=135^{\circ}$ và $\widehat{M B C}=45^{\circ}$. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

\section*{Lời giải}

Ta có: $\widehat{A B M}+\widehat{M B C}=135^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$

Hai góc $\widehat{A B M}$ và $\widehat{M B C}$ là hai góc kề nhau.

Suy ra: $\widehat{A B C}=180^{\circ}$

Mà góc bẹt có số đo $180^{\circ}$, nên ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Cách 2: Dựa trên tiền đề Euclid

Tiên đề Euclid phát biểu: Qua hai điểm phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng.

Do đó, nếu chứng minh được một điểm cùng nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm còn lại thì ba điểm sẽ thẳng hàng.

Áp dụng khi:

- Đã biết một đường thẳng đi qua hai điểm.

- Chứng minh được điểm thứ ba cũng thuộc đường thẳng đó.

- Có nhiều đường thẳng đi qua cùng hai điểm.

Ví dụ: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Lấy điểm C sao cho C thuộc đường thẳng d. Chứng minh A, B, C thẳng hàng.

Lời giải

Theo giả thiết:

- A thuộc đường thẳng d.

- B thuộc đường thẳng d.

- C thuộc đường thẳng d.

Như vậy cả ba điểm đều nằm trên cùng đường thẳng d.

Theo định nghĩa ba điểm thẳng hàng, suy ra: A, B, C thẳng hàng.

Cách 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Trong mặt phẳng: Qua một điểm chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng tại cùng một điểm thì chúng trùng nhau.

Áp dụng khi đề bài có:

- Góc vuông.

- Hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng.

- Quan hệ vuông góc cần khai thác.

Ví dụ: Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Qua A kẻ hai đường thẳng AB và AC sao cho: $\mathrm{AB} \perp \mathrm{d}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{d}$. Chứng minh $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng.

Lời giải

Ta có:

- AB vuông góc với d.

- AC vuông góc với d.

Hai đường thẳng AB và AC đều đi qua A và cùng vuông góc với đường thẳng d.

Theo tính duy nhất của đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng: AB ≡ AC.

Do đó B và C cùng thuộc một đường thẳng đi qua A.

Suy ra: A, B, C thẳng hàng.

Cách 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Mỗi góc chỉ có một tia phân giác duy nhất.

Nếu chứng minh được hai tia đều là tia phân giác của cùng một góc thì hai tia đó trùng nhau.

Áp dụng khi đề bài có:

- Hai góc bằng nhau.

- Tia phân giác.

- Góc được chia thành hai phần bằng nhau.

Ví dụ: Cho góc xOy. Hai điểm M và N nằm trong góc sao cho: OM là tia phân giác của góc xOy. ON cũng là tia phân giác của góc xOy. Chứng minh O, M, N thẳng hàng.

\section*{Lời giải}

Theo giả thiết: $\widehat{x O M}=\widehat{M O y}$, nên OM là tia phân giác của góc xOy .
Đồng thời, $\widehat{x O N}=\widehat{N O Y}$, nên ON cũng là tia phân giác của góc xOy.
Mỗi góc chỉ có một tia phân giác duy nhất.

Do đó: $\mathrm{OM} \equiv \mathrm{ON}$.

Vậy M và N cùng nằm trên một tia xuất phát từ O.
Suy ra: $\mathrm{O}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ thẳng hàng.

Cách 5: Áp dụng tính chất đường trung trực

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Đồng thời, mỗi đoạn thẳng chỉ có một đường trung trực duy nhất.

Áp dụng khi đề bài xuất hiện:

- Trung điểm.

- Hai khoảng cách bằng nhau.

- Đường trung trực.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. Qua M kẻ hai đường thẳng d và d′ đều vuông góc với AB. Điểm C thuộc d′. Chứng minh M và C cùng thuộc đường trung trực của AB.

Lời giải
Do M là trung điểm AB nên: $\mathrm{MA}=\mathrm{MB}$.

Lại có: $\mathrm{d} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{d}^{\prime} \perp \mathrm{AB}$.
Hai đường thẳng cùng đi qua M và cùng vuông góc với AB.
Theo tính duy nhất của đường vuông góc: $\mathrm{d} \equiv \mathrm{d}^{\prime}$.

Suy ra C thuộc d.

Mà d là đường trung trực của AB .
Do đó M và C cùng nằm trên đường trung trực của AB.
Nếu gọi D là giao điểm của đường trung trực với AB thì D, M, C thẳng hàng.

Cách 6: Áp dụng tính chất đường đồng quy

Trong tam giác:

- Ba đường trung tuyến đồng quy.

- Ba đường cao đồng quy.

- Ba đường phân giác đồng quy.

- Ba đường trung trực đồng quy.

Khi khai thác tính chất này, nhiều bài toán yêu cầu chứng minh các điểm cùng thuộc một đường đặc biệt.

Áp dụng khi đề bài xuất hiện:

- Tam giác.

- Trung tuyến.

- Đường cao.

- Đường phân giác.

- Đường trung trực.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G. Chứng minh A, D, G thẳng hàng.

Lời giải

Theo giả thiết:

- AD là trung tuyến.

- G là giao điểm hai đường trung tuyến.

Do G thuộc trung tuyến AD.

Mà D cũng thuộc AD.

Suy ra: A, D và G cùng thuộc đường thẳng AD.

Vậy: A, D, G thẳng hàng.

Cách 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng khi hai vectơ: $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A C}$ cùng phương.
Điều này tương đương với việc tồn tại một số thực k sao cho: $\overrightarrow{A B}=\mathrm{k} \overrightarrow{A C}$

Áp dụng khi:

- Đề bài cho tọa độ.

- Có thể tính vectơ.

- Cần chứng minh hai vectơ cùng phương.

Lưu ý: Đây là phương pháp nâng cao, thường học ở THPT hoặc dùng trong các bài toán mở rộng.

Ví dụ: Cho ba điểm: $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(5 ; 10), \mathrm{C}(3 ; 6)$. Chứng minh $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng.

Lời giải

Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(5-1 ; 10-2)=(4 ; 8) \\
& \overrightarrow{A C}=(3-1 ; 6-2)=(2 ; 4)
\end{aligned}
$$

Suy ra:

$<br>\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A C}<br>$

Hai vectơ cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Xem thêm: Cách chứng minh tam giác cân lớp 7

Bài tập ôn luyện chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7

Dưới đây là các bài tập ôn luyện chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7, được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao. Các bài tập khai thác nhiều phương pháp như góc bẹt, đường trung trực, tia phân giác, đường cao, đường trung tuyến và tính chất đường vuông góc.

Bài 1. Cho ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ và điểm M sao cho:

$$
\begin{aligned}
-\widehat{A B M} & =110^{\circ} \\
-\widehat{M B C} & =70^{\circ}
\end{aligned}
$$

Chứng minh ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ thẳng hàng.

Bài 2. Cho góc xOy . Hai tia OM và ON đều là tia phân giác của góc xOy . Chứng minh ba điểm $\mathrm{O}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ thẳng hàng.

Bài 3. Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Qua A kẻ hai đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với d. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 4. Cho đoạn thẳng AB. M là trung điểm của AB. Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Điểm C thuộc d. Chứng minh M và C cùng thuộc đường trung trực của AB.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Điểm D nằm trong tam giác sao cho: $\widehat{A D B}=125^{\circ}$ và $\widehat{B D C}$ $=55^{\circ}$. Chứng minh A, D, C thẳng hàng.

Bài 6. Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A, D, G thẳng hàng.

Bài 7. Cho tam giác ABC. Đường cao AH cắt BC tại H. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng AH. Chứng minh ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc BC. Đường thẳng này cắt đường thẳng AM tại I. Chứng minh ba điểm A, M, I thẳng hàng.

Bài 9. Cho tam giác ABC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Lấy điểm M thuộc đường thẳng AD sao cho H nằm giữa A và M. Chứng minh ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại $\mathrm{A} . \mathrm{M}$ là trung điểm của BC . Qua B kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $B C$. Qua $M$ cũng kẻ đường thẳng $d^{\prime}$ vuông góc với $B C$. Đường thẳng d' cắt AM tại N. Chứng minh:

a) Hai đường thẳng d và d′ song song.

b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Hy vọng qua bài viết này, con đã hiểu rõ các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng cũng như biết cách áp dụng vào từng dạng bài cụ thể. Đừng quên luyện tập thường xuyên để thành thạo từng phương pháp và biết cách vận dụng linh hoạt. Nếu cần lộ trình học bài bản cùng giáo viên giàu kinh nghiệm, khóa học Toán lớp 7 của Học là Giỏi sẽ đồng hành giúp các em nâng cao tư duy và đạt kết quả tốt hơn.