Cách chứng minh tam giác cân lớp 7 nhanh và dễ hiểu

Định nghĩa và tính chất của tam giác cân lớp 7

Dưới đây là định nghĩa và tính chất của tam giác cân lớp 7 theo nguồn Kết nối tri thức và cuộc sống, giúp học sinh nắm chắc kiến thức trọng tâm.

Định nghĩa: Tam giác cân là gì?

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

$$
\begin{aligned}
&\text{Với } \triangle\text{ABC cân tại A, ta có:} \\
&\bullet \text{ AB, AC là hai cạnh bên và } \text{AB} = \text{AC} \\
&\bullet \text{ BC là cạnh đáy} \\
&\bullet \ \widehat{A} \text{ là góc ở đỉnh} \\
&\bullet \ \widehat{B} \text{ và } \widehat{C} \text{ là hai góc ở đáy}
\end{aligned}
$$

Tính chất: Các góc ở đáy bằng nhau

$$
\begin{aligned}
& \bullet \text{Với } \triangle\text{ABC cân tại A, ta có: } \widehat{B} = \widehat{C} \\
& \bullet \text{Với } \triangle\text{ABC vuông cân tại A, ta có: } \widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ
\end{aligned}
$$

3 cách chứng minh tam giác cân lớp 7 phổ biến

Trong chương trình Toán lớp 7, có nhiều dạng bài yêu cầu chứng minh một tam giác là tam giác cân. Tùy theo dữ kiện đề bài cho, học sinh có thể lựa chọn phương pháp chứng minh phù hợp. Dưới đây là 3 cách chứng minh tam giác cân thường gặp và dễ áp dụng.

Cách 1: Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau

Đây là cách chứng minh trực tiếp, dựa trên định nghĩa của tam giác cân.

Để tam giác ABC cân tại A ta chứng minh 2 cạnh bên AB và AC bằng nhau

Hai cạnh có thể được chứng minh bằng nhau thông qua: 

- Giả thiết của đề bài.

- Hai tam giác bằng nhau.

- Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

- Các bán kính của cùng một đường tròn.

- Các đoạn thẳng bằng nhau theo tính chất hình học.

Cách 2: Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau

Học sinh có thể dựa trên dấu hiệu nhận biết hai tam giác cân khi một tam giác có hai góc bằng nhau.

Giả sử xét tam giác $\triangle \mathrm{ABC}$. Nếu chứng minh được $\widehat{B}=\widehat{C}$ thì suy ra $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A

Hai góc thường được chứng minh bằng nhau thông qua:
-  Hai tam giác bằng nhau.
- Góc đối đỉnh.
- Góc đồng vị hoặc góc so le trong khi có hai đường thẳng song song.
- Tổng ba góc trong một tam giác.
- Các tính chất của tam giác cân, tam giác đều.

Cách 3: Chứng minh bằng đường đồng quy đặc biệt

Đây là phương pháp thường gặp trong các bài toán vận dụng và nâng cao. Cách làm dựa trên tính chất: trong tam giác cân, một số đường đặc biệt xuất phát từ đỉnh cân sẽ trùng nhau. Vì vậy, nếu chứng minh được một đường thẳng đồng thời có hai vai trò đặc biệt thì có thể kết luận tam giác là tam giác cân.

Các trường hợp thường gặp gồm:

- Đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

- Đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác.

- Đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của cạnh đối diện.

- Đường cao đồng thời là đường phân giác.

- Đường cao đồng thời là đường trung trực của cạnh đối diện.

- Đường phân giác đồng thời là đường trung trực của cạnh đối diện.

Sơ đồ tư duy (Mindmap) chứng minh tam giác cân

Dưới đây là sơ đồ tư duy giúp học sinh ghi nhớ nhanh các dấu hiệu và phương pháp chứng minh bằng hình ảnh trực quan và đây cũng là tài liệu hữu ích để con ôn tập hè Toán 7 lên 8, giúp củng cố kiến thức trước khi bước vào năm học mới.

Các dạng bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Sau khi nắm được các cách chứng minh tam giác cân, học sinh nên luyện tập với những dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 7. Dưới đây là hai dạng bài tiêu biểu kèm hướng dẫn giải chi tiết.

Dạng 1: Chứng minh dựa vào tam giác bằng nhau

Đây là dạng bài xuất hiện rất phổ biến. Gợi ý chứng minh hai tam giác nhỏ bằng nhau, từ đó suy ra hai cạnh hoặc hai góc tương ứng bằng nhau và kết luận tam giác ban đầu là tam giác cân.

Bài tập minh họa: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Biết $\mathrm{AM} \perp$
BC. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Lời giải

Xét hai tam giác vuông ABM và ACM, ta có:
$- \text{BM} = \text{CM (vì M là trung điểm của BC).}$

$- \text{AM là cạnh chung.}$

$- \widehat{\text{AMB}} = \widehat{\text{AMC}} = 90^\circ$

Suy ra: $\triangle \mathrm{ABM}=\triangle \mathrm{ACM}$ (theo trường hợp cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).

Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra: $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

Vậy tam giác ABC có hai cạnh AB và AC bằng nhau nên tam giác ABC cân tại A .

Dạng 2: Chứng minh dựa vào tính chất góc

Ở dạng toán này, đề bài thường không cho trực tiếp hai góc bằng nhau mà học sinh phải vận dụng các kiến thức về góc để chứng minh. Hai góc bằng nhau có thể được suy ra từ góc đối đỉnh, góc đồng vị, góc so le trong, tổng ba góc trong tam giác hoặc từ các tam giác bằng nhau.

Bài tập minh họa: Cho tam giác $A B C$. Trên tia đối của tia $C B$ lấy điểm $D$ sao cho: $\widehat{B A D}=\widehat{A C B}$. Biết thêm $\widehat{A B C}=\widehat{B A D}$. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải

Ta có: $\widehat{B A D}=\widehat{A C B}$ và $\widehat{A B C}=\widehat{B A D}$

Suy ra: $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$

Trong tam giác ABC hai góc đáy B và C bằng nhau, vì vậy $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A.

Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7

Dưới đây là 10 bài tập được sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó, giúp học sinh luyện tập đầy đủ các cách chứng minh tam giác cân lớp 7.

Bài 1: Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$. Biết $\mathrm{AM} \perp$ BC. Chứng minh rằng:
$a) \ \triangle\text{ABM} = \triangle\text{ACM}.$

$b) \ \text{Tam giác ABC cân tại A.}$

Bài 2: Cho tam giác ABC . Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D . Biết $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$.

Chứng minh rằng:
$a)\ \triangle\text{ABD} = \triangle\text{ACD}$

$b)\ \text{AB} = \text{AC}$

$c)\ \text{Tam giác ABC cân tại A}$

Bài 3: Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC tại H. Biết H là trung điểm của BC.

Chứng minh rằng:
a) $\triangle\text{ABH} = \triangle\text{ACH}$

b) $\widehat{B} = \widehat{C}$

c) Tam giác ABC cân tại A

Bài 4: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của cạnh BCB. Biết AM là tia phân giác của góc A và $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$.Chứng minh rằng:
a) $\Delta\text{ABM} = \Delta\text{ACM}$

b) $\text{AB} = \text{AC}$

c) Tam giác ABC cân tại A

Bài 5: Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho $\widehat{B A D}=\widehat{A C B}$. Biết thêm $\widehat{A B C}=\widehat{B A D}$. Chứng minh rằng:
a) $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

b) $\text{Tam giác ABC cân tại A.}$}

Bài 6: Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$; AM là đường cao của tam giác. Gọi N là điểm đối xứng của A qua M . Chứng minh rằng:
$a) \ \triangle\text{ABM} = \triangle\text{ACM}$

$b) \ \text{AB} = \text{AC}$

$c) \ \text{Tam giác ABC cân tại A}$

Bài 7: Cho tam giác ABC . Kẻ đường cao $\mathrm{AH}(\mathrm{H} \in \mathrm{BC})$. Biết: $\widehat{B A H}=\widehat{H A C}$. Chứng minh rằng:
a) $\text{Hai tam giác ABH và ACH bằng nhau.}$

b) $\text{AB} = \text{AC.}$

c) $\text{Tam giác ABC cân tại A.}$

Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên đoạn AM lấy điểm I sao cho $\mathrm{IB}=\mathrm{IC}$. Chứng minh rằng:
a) Điểm I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Đường thẳng AI là đường trung trực của BC.

c) Tam giác ABC cân tại A.

Bài 9: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho $\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$. Biết thêm: $\widehat{A D E}=\widehat{A E D}$ và $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$. Chứng minh rằng:
a) $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

b) Tam giác ABC cân tại A.

Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC , cắt tia phân giác của góc A tại điểm I . Chứng minh rằng:
a) $\Delta\text{IBM} = \Delta\text{ICM}$.

b) $\text{IB} = \text{IC}$.

c) $\Delta\text{ABI} = \Delta\text{ACI}$.

d) Tam giác ABC cân tại A.

Hy vọng những chia sẻ trên đã giúp các em nắm được cách chứng minh tam giác cân lớp 7 một cách rõ ràng và dễ áp dụng. Chỉ cần hiểu bản chất từng phương pháp và luyện tập thường xuyên, các con sẽ giải quyết dạng toán này chính xác hơn. Đừng quên theo dõi Học là Giỏi để khám phá thêm nhiều kiến thức và bí quyết học Toán hiệu quả. 

Nếu con vẫn gặp khó khăn với các bài toán hình học lớp 7, hãy tham khảo khóa học Toán lớp 7 của Học là Giỏi. Chương trình được thiết kế theo lộ trình bài bản, giúp học sinh hiểu bản chất kiến thức, rèn luyện tư duy và tự tin chinh phục mọi dạng bài.