Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Hai đường tròn sẽ có 3 vị trí tương đối cơ bản và được chia làm 3 trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) cắt nhau.

Trong trường hợp này, hai đường tròn có hai điểm chung. Đường nối hai tâm O và O′ chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm chung A và B.

Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau được biểu diễn bằng bất đẳng thức sau:

R − r < OO′ < R + r

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau

1. Hai đường tròn tiếp xúc trong tại A:
Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với R>r tiếp xúc trong tại điểm A.

Trong trường hợp này, điểm A nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn, đồng thời khoảng cách giữa hai tâm O và O′ thỏa mãn:

OO′=R−r

2. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A:
Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với R>r tiếp xúc ngoài tại điểm A.

Lúc này, điểm A cũng nằm trên đường nối tâm, và khoảng cách giữa hai tâm được xác định bởi:

OO′=R+r

Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau

1. Hai đường tròn nằm ngoài nhau:
Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với R>r không có điểm chung và nằm ngoài nhau. Trong trường hợp này, khoảng cách giữa hai tâm thỏa mãn:

OO′>R+r

2. Hai đường tròn chứa nhau:
Khi một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong đường tròn còn lại và không có điểm chung, khoảng cách giữa hai tâm thỏa mãn:

OO′<R−r

3. Hai đường tròn đồng tâm:
Nếu hai đường tròn có chung tâm, khoảng cách giữa hai tâm bằng không:

OO′=0

Ta có bảng tổng hợp sau:

Tính chất của đường nối tâm

Đường nối tâm đóng vai trò là trục đối xứng của hình được tạo bởi hai đường tròn. Từ đó, có thể suy ra:

- Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp điểm luôn nằm trên đường nối tâm.

- Khi hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm chính là đường trung trực của dây chung giữa hai đường tròn.

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Ví dụ: Khi hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau, sẽ tồn tại hai tiếp tuyến chung, ký hiệu là d₁ và d₂​ (như hình minh họa).

Bài tập vị trí tương đối của hai đường tròn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Chọn một điểm A bất kỳ trên đường tròn (O). Vẽ một đường tròn khác có đường kính là đoạn OA. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn này.

Giải

Gọi O′ là tâm của đường tròn có đường kính OA. Khi đó:

O′ là trung điểm của đoạn OA.

Bán kính của đường tròn (O′) được tính là:

$R' = \frac{OA}{2} = \frac{R}{2}.$

Đoạn nối tâm giữa hai đường tròn (O) và (O′) có độ dài:

$d = OO' = \frac{OA}{2} = \frac{R}{2}.$

Ta nhận thấy rằng:

$R - R' = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} = d.$

Do đó, hai đường tròn (O) và (O′) tiếp xúc trong tại điểm A.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−1;1) và B(3;0). Lần lượt vẽ hai đường tròn (A;r) và (B;r′).

Khi r=3 và r′=1, xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Giải

Tính khoảng cách giữa hai tâm
Đoạn nối tâm AB có độ dài:

$d = AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}.$

Tính tổng bán kính
Tổng hai bán kính của hai đường tròn là:

r+r′=3+1=4.
Từ kết quả trên:

$d = \sqrt{17} > r + r' = 4.$

Điều này cho thấy hai đường tròn không giao nhau. Vì d>r+r′, hai đường tròn (A) và (B) nằm ngoài nhau.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R) cắt nhau tại hai điểm M và N. Biết OO′=24cm và MN=10cm. Tính bán kính R.

Giải

Gọi I là giao điểm của OO′ và MN. Vì OM=ON=O′M=O′N=R, nên tứ giác OMO′N là hình thoi.

Do đó, OO′⊥MN tại điểm I, và I là trung điểm của các đoạn OO′ và MN.

Khi đó:

$IM = \frac{MN}{2} = 5 \, \text{cm}, \quad IO = \frac{OO'}{2} = 12 \, \text{cm}.$

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MIO, ta có:

$R = OM = \sqrt{IM^2 + IO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}.$

Vậy, bán kính của các đường tròn là R=13cm.

Bài 4: Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R′) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN, trong đó M thuộc đường tròn (O) và N thuộc đường tròn (O′). Biết R=9cm và R′=4cm. Tính độ dài đoạn MN.

Giải

Ta có:

OO′=OA+O′A=9+4=13cm.

Kẻ đường OH⊥OM tại điểm H. Vì vậy, tứ giác O′NMH là hình chữ nhật, dẫn đến:

MH=O′N=4cm,MN=O′H.

Do đó:

OH=OM−MH=9−4=5cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OO′H, ta tính được:

$MN = O'H = \sqrt{OO'^2 - OH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}.$

Vậy độ dài đoạn MN là 12cm.

Bài tập tự luyện

Bài 5: Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;r) tiếp xúc nhau tại A. Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đường tròn lần lượt tại B và C.
Chứng minh: Các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.

Bài 6:Cho hai đường tròn (O;5cm) và (O′;5cm) cắt nhau tại A và B. Biết OO′=8cm.
Tính độ dài AB.

Bài 7: Cho góc vuông xOy. Lấy hai điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường tròn (I;OK), cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn (K;OI), cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N).

a) Chứng minh: Hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau tại C.
Chứng minh: Tứ giác OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của hai đường tròn là A và B.
Chứng minh: Ba điểm A,B,C thẳng hàng.
d) Giả sử I và K di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI+OK=a không đổi.
Chứng minh: Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Kết luận

Vị trí tương đối của hai đường tròn là một trong những chủ đề quan trọng trong hình học lớp 9. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã nắm được lý thuyết và sẵn sàng đối mặt với các bài toán khó hơn trong tương lai về vị trí tương đối này nhé.