Tổng hợp đầy đủ cách tính diện tích tam giác

Cho tam giác $ABC$, ta kí hiệu độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$, các góc của tam giác được viết đơn giản là $A, B, C$. Diện tích tam giác được kí hiệu là $S$.

Cách tính diện tích tam giác số 1

Đây là công thức đầu tiên mà các em học trong chương trình phổ thông.

Gọi độ dài đường cao (chiều cao) hạ từ các đỉnh $A, B, C$ lần lượt là $h_a, h_b, h_c$.

$S=\frac{1}{2} a h_a=\frac{1}{2} b h_b=\frac{1}{2} c h_c .$

Đặc biệt:

- Diện tích tam giác vuông tại $A$ là: $S=\frac{1}{2} A B$. $A C$.

- Diện tích tam giác cân tại $A$ là: $S=\frac{1}{2} A H$. $B C$.

(với $H$ là trung điểm của $B C$ ).

Cách tính diện tích tam giác số 2

Công thức này thường sử dụng khi tam giác đó biết độ dài hai cạnh và số đo của góc xen giữa.

$S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B$.

Cách tính diện tích tam giác số 3

Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $S=\frac{a b c}{4 R} .$

Cách tính diện tích tam giác số 4

Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $p$ là nửa chu vi tam giác ($\left.p=\frac{a+b+c}{2}\right)$.

$S=p r .$

Cách tính diện tích tam giác số 5

Công thức này còn được gọi là Công thức Héron.

Với $p$ là kí hiệu nửa chu vi , ta có:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Cách tính diện tích tam giác số 6

$S=\frac{1}{2} \sqrt{A B^2 \cdot A C^2-(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C})^2}$

Cách tính diện tích tam giác số 7

Trong mặt phẳng $O x y$, gọi tọa độ các đỉnh của tam giác $A B C$ là:

$A\left(x_A, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right), C\left(x_C, y_C\right) \text {. }$

Khi đó:

$S=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right| .$

Vì sao lại có công thức này? Chúng mình tham khảo phần chứng minh sau nhé:

Ta có: $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin \widehat{B A C}$

$A\left(x_A ; y_A\right), B\left(x_B ; y_B\right), C\left(x_C ; y_C\right)$

Khi đó ta có:

$\begin{aligned}& \overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A\right)=\left(x_1 ; y_1\right) \Rightarrow A B=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \\& \overrightarrow{A C}=\left(x_C-x_A ; y_C-y_A\right)=\left(x_2 ; y_2\right) \Rightarrow A C=\sqrt{x_2^2+y_2^2}\end{aligned}$

$\cos \widehat{B A C}=\cos (\overrightarrow{A B}, \widehat{A C})=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

Do $\sin \widehat{B A C}>0$ nên

$\begin{aligned}\sin \widehat{B A C} & =\sqrt{1-\cos ^2 \widehat{B A C}}=\sqrt{1-\left(\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}}\right)^2} \\& =\frac{\left|x_1 y_2-x_2 y_1\right|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}}\end{aligned}$

Vì vậy $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin \widehat{B AC}=\frac{1}{2}\left|x_1 y_2-x_2 y_1\right|$

Từ đó ta có công thức

$S=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right| .$

Cách tính diện tích tam giác số 8

Áp dụng trong không gian, với khái niệm tích có hướng của 2 vectơ. Ta có:

$S=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|$.

Học là Giỏi mong rằng, việc tổng hợp các cách tính diện tích tam giác sẽ giúp các bạn dễ dàng giải được các bài toán diện tích và linh hoạt khi sử dụng chúng nhé! Chúc các bạn học tốt.