Ôn tập rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 cấp tốc

Kiến thức cơ bản rút gọn biểu thức cần nắm

Để làm tốt dạng bài rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10, học sinh không chỉ cần nhớ công thức mà còn phải hiểu bản chất và biết cách vận dụng linh hoạt trong từng dạng bài cụ thể.

Căn thức bậc 2

Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho $x^2=\mathrm{a}$
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là $\sqrt{a}$ là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng

$\left\{\begin{array}{l}a \geq 0 \\ \sqrt{a}=x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x^2=a\end{array}\right.\right.$

Với hai số thực không âm $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ ta có: $\sqrt{a} \leq \sqrt{b} \leftrightarrow \mathrm{a} \leq \mathrm{b}$
Khi biến đồi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

Hằng đẳng thức đáng nhớ: $\sqrt{A^2}=|\mathrm{A}|= \begin{cases}A & \text { nếu } A \geq 0 \\ -A & \text { nếu } A<0\end{cases}$
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{A^2 B}=|\mathrm{A}| \sqrt{B} \text { với } \mathrm{A}, \mathrm{~B} \geq 0 \\
& \sqrt{A^2 B}=|\mathrm{A}| \sqrt{B}=-\mathrm{A} \sqrt{B} \text { với } \mathrm{A}<0, \mathrm{~B} \geq 0
\end{aligned}
$$

Đưa thừa số vào trong dấu căn: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A B}{B^2}}=\frac{\sqrt{A B}}{|B|}$ với $\mathrm{AB} \geq 0, \mathrm{~B} \neq 0$

Khừ căn thức ở mẫu: $\frac{M}{\sqrt{A}}=\frac{M \sqrt{A}}{A}$ với $\mathrm{A}>0$

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{M}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{M(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B}$ với $\mathrm{A}, \mathrm{B} \geq 0, \mathrm{~A} \neq \mathrm{B}$

Căn thức bậc 3

Căn bậc 3 của một số thực a kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho $x^3=\mathrm{a}$

Cho $\mathrm{a} \in \mathrm{R}, \sqrt[3]{a}=\mathrm{x} \leftrightarrow x^3=(\sqrt[3]{a})^3=\mathrm{a}$

Mỗi số thực a chỉ có duy nhất một căn bậc 3

Nếu $\mathrm{a}>0$ thì $\sqrt[3]{a}>0$

Nếu $\mathrm{a}<0$ thì $\sqrt[3]{a}<0$
Nếu $\mathrm{a}=0$ thì $\sqrt[3]{a}=0$

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \text { với } \forall \mathrm{b} \neq 0 \\
& \sqrt[3]{a b}=\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} \text { với } \forall \mathrm{a}, \mathrm{~b} \\
& \mathrm{a}<\mathrm{b} \leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b} \\
& \mathrm{a} \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3 b} \\
& \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a b^2}}{b} \text { với } \mathrm{b} \neq 0 \\
& \frac{\sqrt[3]{a}}{b}=\sqrt[3]{\frac{a}{b^3}} \\
& \frac{1}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2} \pm \sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^2}}{a \pm b} \text { vói } \mathrm{a} \neq \mathrm{b}
\end{aligned}
$$

Các dạng bài rút gọn biểu thức trong đề thi

Các dạng bài rút gọn biểu thức trong chuyên đề ôn thi vào 10 môn toán được thiết kế theo hướng phân hóa năng lực học sinh, từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng cao.

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức

Ghi nhớ:

- $\sqrt{A}$ xác định ↔ $\mathrm{A} \geq 0$ (biểu thức A là đa thức)

- $\frac{A}{B}$ xác định $\leftrightarrow \mathrm{B} \neq 0$ (biểu thức $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ là đa thức)

- $\frac{A}{\sqrt{B}}$ xác định $\leftrightarrow \mathrm{B}>0$ (biểu thức $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ là đa thức)

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: $\mathrm{B}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{x-4}$

Lời giải

$\mathrm{B}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$

Điều kiện:

$x \geq 0$

$\sqrt{x}-2 \neq 0 \rightarrow \mathrm{x} \neq 4$

$\sqrt{x}+2 \neq 0 \text { (luôn đúng với } \mathrm{x} \geq 0 \text { ) }$

Kết quả: $x \geq 0, x \neq 4$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số

Ghi nhớ:

- $A^2-B^2=(\mathrm{A}-\mathrm{B})(\mathrm{A}+\mathrm{B})$

- $A^3+B^3=(\mathrm{A}+\mathrm{B})\left(A^2-\mathrm{AB}+B^2\right)$

- $A^3-B^3=(\mathrm{A}-\mathrm{B})\left(A^2+\mathrm{AB}+B^2\right)$

- $(A+B)^2=A^2+2 \mathrm{AB}+B^2$

- $(A-B)^2=A^2-2 \mathrm{AB}+B^2$

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: $\mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)$

Lời giải

Biểu thức A có nghĩa, ta cần:

$x \geq 0$

$\sqrt{x}-1 \neq 0 \rightarrow \mathrm{x} \neq 1$

$\mathrm{x}-\sqrt{x} \neq 0 \rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) \neq 0 \rightarrow \mathrm{x} \neq 0 \text { và } \mathrm{x} \neq 1$

$\sqrt{x}+1 \neq 0$ (luôn đúng với $\mathrm{x} \geq 0$ )

$x-1 \neq 0 \rightarrow x \neq 1$

$\rightarrow$ ĐKXĐ: $\mathrm{x} \geq 0$ và $\mathrm{x} \neq 1$

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right) \\
& \mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right) \\
& \mathrm{A}=\frac{x-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}: \frac{1}{\sqrt{x}-1} \\
& \mathrm{~A}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) \\
& \mathrm{A}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}
\end{aligned}
$$

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

Ví dụ: Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 4$. Tìm x biết $\mathrm{P}>1$

Lời giải

$$
\begin{aligned}
& P>1 \rightarrow \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}>1 \\
& \rightarrow \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-1>0 \\
& \rightarrow \frac{-1}{\sqrt{x}-2}>0
\end{aligned}
$$

$$\text { Vì }-1<0 \rightarrow \sqrt{x}-2<0 \rightarrow \mathrm{x}<4$$

Kết hợp với điều kiện $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 4$ ta có giá trị x trong khoảng $0 \leq \mathrm{x}<4$

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

Ví dụ: Cho biểu thức: $\mathrm{P}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$ với $\mathrm{x}>0$. Tính giá trị của P khi biết $\mathrm{x}=4$

Lời giải

$$
\begin{aligned}
& P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \\
& P=\left(\frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}\right) \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}} \\
& P=\frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}}
\end{aligned}
$$

Khi $\mathrm{x}=4 \rightarrow \mathrm{P}=\frac{7}{2}$

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Ví dụ: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{4}{\sqrt{x}-2}$. Tìm các số nguyên x để A có giá trị nguyên

Lời giải:

ĐKXĐ: $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 4$

Để $\mathrm{A} \in \mathrm{Z}$ thì $\sqrt{x}-2$ phải là ước của 4

Ước của 4 là $\{ \pm 1 ; \pm 2 ; \pm 4\}$
$\sqrt{x}-2=-1 \rightarrow \sqrt{x}=1 \rightarrow \mathrm{x}=1$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=1 \rightarrow \sqrt{x}=3 \rightarrow \mathrm{x}=9($ thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0)$
$\sqrt{x}-2=-2 \rightarrow \sqrt{x}=0 \rightarrow \mathrm{x}=0$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=2 \rightarrow \sqrt{x}=4 \rightarrow \mathrm{x}=16$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=-4 \rightarrow \sqrt{x}=-2$ (vô nghiệm không thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=4 \rightarrow \sqrt{x}=6 \rightarrow \mathrm{x}=36$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )

Vậy $\mathrm{x} \in\{0 ; 1 ; 9 ; 16 ; 36\}$ thì biểu thức A nguyên

Dạng 6: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

Ghi nhớ:

- Bất đẳng thức Cosi: Với hai số $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ không âm ta có: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$ (Dấu "=" xảy ra khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ )

- $|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}| \geq|\mathrm{a}+\mathrm{b}|$ (Dấu "=" xảy ra khi $\mathrm{a} . \mathrm{b} \geq 0$ )

Ví dụ: Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{4}{\sqrt{x}+2}$, tìm GTLN của biểu thức P

Lời giải

ĐKXĐ: $\mathrm{x} \geq 0$

$\rightarrow \sqrt{x}+2 \geq 2$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2} \leq \frac{1}{2} \\
& \rightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+2} \leq \frac{4}{2} \\
& \rightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+2} \leq 2
\end{aligned}
$$

Dấu "=" xảy ra $\mathrm{x}=0$

Vậy GTLN của $P$ là $2 \leftrightarrow x=0$

Luyện bài tập rút gọn biểu thức lớp 9

Dưới đây là phần bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 được chọn lọc từ cơ bản đến nâng cao giúp bạn ôn thi vào 10 hiệu quả.

Bài 1: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}}$ và $\mathrm{B}=\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $\mathrm{x}>0, \mathrm{x} \neq 4, \mathrm{x} \neq \frac{9}{4}$
a) Cho $\mathrm{x}=25$ tính giá trị biểu thức B
b) Biết $\mathrm{P}=\mathrm{B}: \mathrm{A}$. Chứng minh: $\mathrm{P}=\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-3}$
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên

Bài 2: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{8 \sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-x-3}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq$ 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Với $\mathrm{A}=\frac{4}{5}$ giá trị của x bằng bao nhiêu
c) Tìm GTLN của biểu thức A

Bài 3: Thực hiện phép tính: $\sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{108}-\sqrt{12}$

Bài 4: Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ và $\mathrm{B}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right) \frac{x-\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}+1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 9$, $\mathrm{x} \neq 1$. Tìm giá trị nguyên của x đề $\mathrm{A} . \mathrm{B}<1$

Bài 5: Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}+5}{2 \sqrt{x}-1}$ và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3 \sqrt{x}+1}{x-1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 1, \mathrm{x} \neq \frac{1}{4}$. Tìm x để biểu thức $\mathrm{M}=\mathrm{A}$. B đạt GTLN.

Bài 6: Cho $\mathrm{A}=\frac{x+2}{x \sqrt{x}-1}$ và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 9$. Có $\mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}$, hãy so sánh biểu thức C với 1 .

Bài 7: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+7}$ và $\mathrm{B}=\frac{2-3 \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ với $\mathrm{x}>0, \mathrm{x} \neq 4$. Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{A}{B}$. Tìm tất cả giá trị nguyên của x để $\sqrt{P} \leq \frac{1}{2}$.

Hy vọng nội dung về rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 trên sẽ giúp bạn ôn tập hiệu quả và tự tin hơn khi làm bài. Bạn cũng có thể tham gia khóa luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán tại Học là Giỏi để được hướng dẫn chi tiết, luyện tập bài bản và nâng cao điểm số trong kỳ thi quan trọng sắp tới.