Trang chủ › Cẩm nang học tập › Bí quyết học tập
Ôn thi vào lớp 10 luôn là giai đoạn “nước rút” đầy áp lực, đặc biệt với những dạng toán thường xuyên xuất hiện như rút gọn biểu thức. Bài viết dưới đây, Gia sư Học là Giỏi sẽ giúp bạn ôn tập rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 cấp tốc, nhận diện dạng đề và xử lý nhanh các bài một cách hiệu quả.
Mục lục [Ẩn]
Để làm tốt dạng bài rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10, học sinh không chỉ cần nhớ công thức mà còn phải hiểu bản chất và biết cách vận dụng linh hoạt trong từng dạng bài cụ thể.
Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho $x^2=\mathrm{a}$
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là $\sqrt{a}$ là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng
$\left\{\begin{array}{l}a \geq 0 \\ \sqrt{a}=x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x^2=a\end{array}\right.\right.$
Với hai số thực không âm $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ ta có: $\sqrt{a} \leq \sqrt{b} \leftrightarrow \mathrm{a} \leq \mathrm{b}$
Khi biến đồi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
Hằng đẳng thức đáng nhớ: $\sqrt{A^2}=|\mathrm{A}|= \begin{cases}A & \text { nếu } A \geq 0 \\ -A & \text { nếu } A<0\end{cases}$
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{A^2 B}=|\mathrm{A}| \sqrt{B} \text { với } \mathrm{A}, \mathrm{~B} \geq 0 \\
& \sqrt{A^2 B}=|\mathrm{A}| \sqrt{B}=-\mathrm{A} \sqrt{B} \text { với } \mathrm{A}<0, \mathrm{~B} \geq 0
\end{aligned}
$$
Đưa thừa số vào trong dấu căn: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A B}{B^2}}=\frac{\sqrt{A B}}{|B|}$ với $\mathrm{AB} \geq 0, \mathrm{~B} \neq 0$
Khừ căn thức ở mẫu: $\frac{M}{\sqrt{A}}=\frac{M \sqrt{A}}{A}$ với $\mathrm{A}>0$
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{M}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{M(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B}$ với $\mathrm{A}, \mathrm{B} \geq 0, \mathrm{~A} \neq \mathrm{B}$
Căn bậc 3 của một số thực a kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho $x^3=\mathrm{a}$
Cho $\mathrm{a} \in \mathrm{R}, \sqrt[3]{a}=\mathrm{x} \leftrightarrow x^3=(\sqrt[3]{a})^3=\mathrm{a}$
Mỗi số thực a chỉ có duy nhất một căn bậc 3
Nếu $\mathrm{a}>0$ thì $\sqrt[3]{a}>0$
Nếu $\mathrm{a}<0$ thì $\sqrt[3]{a}<0$
Nếu $\mathrm{a}=0$ thì $\sqrt[3]{a}=0$
$$
\begin{aligned}
& \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \text { với } \forall \mathrm{b} \neq 0 \\
& \sqrt[3]{a b}=\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} \text { với } \forall \mathrm{a}, \mathrm{~b} \\
& \mathrm{a}<\mathrm{b} \leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b} \\
& \mathrm{a} \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3 b} \\
& \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a b^2}}{b} \text { với } \mathrm{b} \neq 0 \\
& \frac{\sqrt[3]{a}}{b}=\sqrt[3]{\frac{a}{b^3}} \\
& \frac{1}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2} \pm \sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^2}}{a \pm b} \text { vói } \mathrm{a} \neq \mathrm{b}
\end{aligned}
$$

Các dạng bài rút gọn biểu thức trong chuyên đề ôn thi vào 10 môn toán được thiết kế theo hướng phân hóa năng lực học sinh, từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng cao.
Ghi nhớ:
- $\sqrt{A}$ xác định ↔ $\mathrm{A} \geq 0$ (biểu thức A là đa thức)
- $\frac{A}{B}$ xác định $\leftrightarrow \mathrm{B} \neq 0$ (biểu thức $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ là đa thức)
- $\frac{A}{\sqrt{B}}$ xác định $\leftrightarrow \mathrm{B}>0$ (biểu thức $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ là đa thức)
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: $\mathrm{B}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{x-4}$
Lời giải
Điều kiện:
Kết quả: $x \geq 0, x \neq 4$
Ghi nhớ:
- $A^2-B^2=(\mathrm{A}-\mathrm{B})(\mathrm{A}+\mathrm{B})$
- $A^3+B^3=(\mathrm{A}+\mathrm{B})\left(A^2-\mathrm{AB}+B^2\right)$
- $A^3-B^3=(\mathrm{A}-\mathrm{B})\left(A^2+\mathrm{AB}+B^2\right)$
- $(A+B)^2=A^2+2 \mathrm{AB}+B^2$
- $(A-B)^2=A^2-2 \mathrm{AB}+B^2$
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: $\mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)$
Lời giải
Biểu thức A có nghĩa, ta cần:
$\sqrt{x}+1 \neq 0$ (luôn đúng với $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\rightarrow$ ĐKXĐ: $\mathrm{x} \geq 0$ và $\mathrm{x} \neq 1$
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right) \\
& \mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right) \\
& \mathrm{A}=\frac{x-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}: \frac{1}{\sqrt{x}-1} \\
& \mathrm{~A}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1) \\
& \mathrm{A}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}
\end{aligned}
$$
Ví dụ: Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 4$. Tìm x biết $\mathrm{P}>1$
Lời giải
$$
\begin{aligned}
& P>1 \rightarrow \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}>1 \\
& \rightarrow \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-1>0 \\
& \rightarrow \frac{-1}{\sqrt{x}-2}>0
\end{aligned}
$$
$$\text { Vì }-1<0 \rightarrow \sqrt{x}-2<0 \rightarrow \mathrm{x}<4$$
Kết hợp với điều kiện $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 4$ ta có giá trị x trong khoảng $0 \leq \mathrm{x}<4$
Ví dụ: Cho biểu thức: $\mathrm{P}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$ với $\mathrm{x}>0$. Tính giá trị của P khi biết $\mathrm{x}=4$
Lời giải
$$
\begin{aligned}
& P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \\
& P=\left(\frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}\right) \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}} \\
& P=\frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}}
\end{aligned}
$$
Khi $\mathrm{x}=4 \rightarrow \mathrm{P}=\frac{7}{2}$
Ví dụ: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{4}{\sqrt{x}-2}$. Tìm các số nguyên x để A có giá trị nguyên
Lời giải:
ĐKXĐ: $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 4$
Để $\mathrm{A} \in \mathrm{Z}$ thì $\sqrt{x}-2$ phải là ước của 4
Ước của 4 là $\{ \pm 1 ; \pm 2 ; \pm 4\}$
$\sqrt{x}-2=-1 \rightarrow \sqrt{x}=1 \rightarrow \mathrm{x}=1$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=1 \rightarrow \sqrt{x}=3 \rightarrow \mathrm{x}=9($ thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0)$
$\sqrt{x}-2=-2 \rightarrow \sqrt{x}=0 \rightarrow \mathrm{x}=0$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=2 \rightarrow \sqrt{x}=4 \rightarrow \mathrm{x}=16$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=-4 \rightarrow \sqrt{x}=-2$ (vô nghiệm không thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
$\sqrt{x}-2=4 \rightarrow \sqrt{x}=6 \rightarrow \mathrm{x}=36$ (thoả mãn $\mathrm{x} \geq 0$ )
Vậy $\mathrm{x} \in\{0 ; 1 ; 9 ; 16 ; 36\}$ thì biểu thức A nguyên
Ghi nhớ:
- Bất đẳng thức Cosi: Với hai số $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ không âm ta có: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$ (Dấu "=" xảy ra khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ )
- $|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}| \geq|\mathrm{a}+\mathrm{b}|$ (Dấu "=" xảy ra khi $\mathrm{a} . \mathrm{b} \geq 0$ )
Ví dụ: Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{4}{\sqrt{x}+2}$, tìm GTLN của biểu thức P
Lời giải
ĐKXĐ: $\mathrm{x} \geq 0$
$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2} \leq \frac{1}{2} \\
& \rightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+2} \leq \frac{4}{2} \\
& \rightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+2} \leq 2
\end{aligned}
$$
Dấu "=" xảy ra $\mathrm{x}=0$
Vậy GTLN của $P$ là $2 \leftrightarrow x=0$

Dưới đây là phần bài tập rút gọn biểu thức lớp 9 được chọn lọc từ cơ bản đến nâng cao giúp bạn ôn thi vào 10 hiệu quả.
Bài 1: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}}$ và $\mathrm{B}=\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $\mathrm{x}>0, \mathrm{x} \neq 4, \mathrm{x} \neq \frac{9}{4}$
a) Cho $\mathrm{x}=25$ tính giá trị biểu thức B
b) Biết $\mathrm{P}=\mathrm{B}: \mathrm{A}$. Chứng minh: $\mathrm{P}=\frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-3}$
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nguyên
Bài 2: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{8 \sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-x-3}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq$ 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Với $\mathrm{A}=\frac{4}{5}$ giá trị của x bằng bao nhiêu
c) Tìm GTLN của biểu thức A
Bài 3: Thực hiện phép tính: $\sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{108}-\sqrt{12}$
Bài 4: Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ và $\mathrm{B}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right) \frac{x-\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}+1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 9$, $\mathrm{x} \neq 1$. Tìm giá trị nguyên của x đề $\mathrm{A} . \mathrm{B}<1$
Bài 5: Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}+5}{2 \sqrt{x}-1}$ và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3 \sqrt{x}+1}{x-1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 1, \mathrm{x} \neq \frac{1}{4}$. Tìm x để biểu thức $\mathrm{M}=\mathrm{A}$. B đạt GTLN.
Bài 6: Cho $\mathrm{A}=\frac{x+2}{x \sqrt{x}-1}$ và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 9$. Có $\mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}$, hãy so sánh biểu thức C với 1 .
Bài 7: Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+7}$ và $\mathrm{B}=\frac{2-3 \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ với $\mathrm{x}>0, \mathrm{x} \neq 4$. Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{A}{B}$. Tìm tất cả giá trị nguyên của x để $\sqrt{P} \leq \frac{1}{2}$.

Hy vọng nội dung về rút gọn biểu thức lớp 9 thi vào 10 trên sẽ giúp bạn ôn tập hiệu quả và tự tin hơn khi làm bài. Bạn cũng có thể tham gia khóa luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán tại Học là Giỏi để được hướng dẫn chi tiết, luyện tập bài bản và nâng cao điểm số trong kỳ thi quan trọng sắp tới.
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết xem nhiều
Học là Giỏi hợp tác với VTVprime thúc đẩy giáo dục số
Thứ sáu, 30/1/2026
20+ trường THPT ở Hà Nội có chất lượng đào tạo tốt nhất 2025
Thứ năm, 30/10/2025
STEM là gì? Lợi ích và ứng dụng trong giáo dục hiện đại
Thứ ba, 12/8/2025
Tại sao cần tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội?
Thứ tư, 7/5/2025
Bí quyết tìm gia sư toán lớp 9 ở Hà Nội uy tín
Thứ ba, 22/4/2025Khóa học video Toán 4 (Biệt đội Toán hoc 4)
›
Khóa học video Toán 5 (Biệt đội Toán hoc 5)
›
Khóa Luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ hai, 21/9/2026 02:09 PM
Cách tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn lớp 9
Điều kiện xác định của biểu thức chứa căn lớp 9 không khó, nhưng lại dễ khiến con nhầm lẫn giữa các dạng biểu thức khác nhau. Căn thức có mẫu số, căn thức trong phân thức hay nhiều căn thức cùng xuất hiện đều có cách xác định điều kiện riêng. Cùng Học là Giỏi hệ thống lại phương pháp làm bài để con tự tin hơn khi gặp dạng toán này nhé.
Thứ hai, 21/9/2026 01:45 PM
Mẹo giải nhanh các phương trình lượng giác cơ bản lớp 11
Trong chương trình Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, học sinh bắt đầu làm quen với các phương trình lượng giác chứa sin, cos, tan và cot. Mỗi dạng phương trình có cách nhận biết và phương pháp giải riêng. Trong nội dung dưới đây, Học là Giỏi sẽ hướng dẫn các mẹo giải nhanh phương trình lượng giác cơ bản, đồng thời chỉ ra cách áp dụng vào từng dạng bài để các em giải bài chính xác và hiệu quả hơn.
Thứ năm, 17/9/2026 02:20 PM
Hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng hay một hiệu
Trong chương trình Toán 8, các hằng đẳng thức đáng nhớ là phần kiến thức quan trọng, giúp các con rút gọn và biến đổi biểu thức nhanh hơn. Trong đó, hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu là những hằng đẳng thức thường xuyên được sử dụng trong bài tập. Nội dung dưới đây Học là Giỏi sẽ hệ thống lại lý thuyết và cách vận dụng theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống.
Thứ tư, 16/9/2026 02:02 PM
Góc và số đo góc lớp 6: Khái niệm, phân loại và cách đo
Trong chương trình Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống, góc và số đo góc là phần kiến thức nền tảng của hình học. Các con cần nắm được góc là gì, cách xác định số đo và phân biệt các loại góc thường gặp để có thể vận dụng khi làm bài tập. Nội dung dưới đây Học là Giỏi sẽ hệ thống những kiến thức cần nhớ về góc và số đo góc một cách dễ hiểu và chi tiết.
Thứ tư, 16/9/2026 01:52 PM
Trung điểm của đoạn thẳng lớp 6: Lý thuyết và Bài tập
Khi học hình học lớp 6, các con sẽ được làm quen với nhiều khái niệm liên quan đến điểm, đường thẳng và đoạn thẳng. Trong đó, trung điểm của đoạn thẳng là nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong các bài tập nhận biết, tính độ dài và chứng minh đơn giản. Bài viết dưới đây của Học là Giỏi sẽ tổng hợp lý thuyết và bài tập theo chương trình sách giáo khoa Kết nối tri thức với cuộc sống, giúp các con ôn tập hiệu quả hơn.
Thứ sáu, 11/9/2026 07:44 AM
Bài giảng Toán: Quy tắc làm tròn và ước lượng chi tiết
Tìm hiểu quy tắc làm tròn và ước lượng là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 6, giúp các con biết cách làm tròn số và đưa ra kết quả gần đúng trong những trường hợp cần tính nhanh. Nội dung bài học bám sát kiến thức trong sách giáo khoa Kết nối tri thức với cuộc sống, kèm ví dụ minh họa để các con dễ hiểu và vận dụng.