Dãy số lớp 11: Tổng hợp lý thuyết và bài tập chọn lọc

Dãy số là gì?

Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, trong đó mỗi số được gọi là một số hạng của dãy. 

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương $N^*$ được gọi là một dãy số vô hạn, kí hiệu là $\mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{n})$.

Kí hiệu: Ta thường viết $u_n$ thay cho u(n) và kí hiệu cả dãy số là $\left(u_n\right)$.
Dãy số $\left(u_n\right)$ được viết dưới dạng liệt kê các số hạng:

$u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$

Trong đó:
$u_1$ : Gọi là số hạng đầu.
$u_n$ : Gọi là số hạng thứ n hoặc số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu $\forall \mathrm{n} \in N^*, u_n=\mathrm{c}$ (c là hằng số) thì $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ: Dãy số $\left(u_n\right)$ các số tự nhiên chẵn: $2,4,6,8 \ldots$

Thì Dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và số hạng tổng quát $u_n=2 \mathrm{n}$.

Dãy số hữu hạn

Một hàm số u xác định trên tập hợp $\mathrm{M}=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; \mathrm{m}\}\left(\right.$ với $\left.\mathrm{m} \in N^*\right)$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển: $u_1, u_2, u_3, \ldots ., u_m$

Trong đó:
$u_1$ : Gọi là số hạng đầu.
$u_m$ : Gọi là số hạng cuối.

Ví dụ: Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10 , được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

a) Hãy liệt kê đầy đủ các số hạng của dãy.

Tập hợp các số hạng của dãy bao gồm: $2,4,6,8$

b) Xác định đâu là số hạng đầu và số hạng cuối.
- Số hạng đầu $\left(u_1\right): 2$
- Số hạng cuối $\left(u_m\right): 8$

Các cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tồng quát

Khi $u_n=f(\mathrm{n})$, trong đó $f$ là một hàm số xác định trên $N^*$

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được $u_n$.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được $u_n$ với $n$ tùy ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

Dãy số được xác định dựa vào mối quan hệ giữa số hạng đang xét với các số hạng đứng trước nó.

Cấu trúc cần có:
1. Giá trị của số hạng đầu tiên (hoặc vài số hạng đầu).

2. Công thức liên hệ giữa $u_n$ và $u_{n-1}, u_{n-2}, \ldots$

Các dạng thường gặp:
- Dạng 1 (Phụ thuộc 1 số hạng trước): $\left\{\begin{array}{c}u_1=a \\ u_n=f\left(u_{n-1}\right) \quad(\mathrm{n} \geq 2)\end{array}\right.$

- Dạng 2 (Phụ thuộc 2 số hạng trước): $\left\{\begin{array}{c}u_1=a, u_2=b \\ u_n=f\left(u_{n-1}, u_{n-2}\right)\end{array}(\mathrm{n} \geq 3)\right.$

Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $u_n$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$

Dãy số $u_n$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số $u_n$

a) Phương pháp 1

Xét hiệu $\mathrm{H}=u_{n+1}-u_n$
- Nếu $\mathrm{H}>0$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì dãy số tăng
- Nếu $\mathrm{H}<0$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì dãy số giảm

b) Phương pháp 2

Nếu $u_n>0$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì ta có tì số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ so sánh với 1
- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì dãy số tăng
- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì dãy số giảm

Dãy số bị chặn

Dãy số $u_n$ gọi là dãy số chặn trên nếu $\mathrm{M}: u_n \leq \mathrm{M}$, với $\forall \mathrm{n} \in N^*$

Dãy số $u_n$ gọi là dãy số chặn dưới nếu $\mathrm{m}: u_n \geq \mathrm{m}$, với $\forall \mathrm{n} \in N^*$

Dãy số $u_n$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới nếu $\mathrm{m}, \mathrm{M}: \mathrm{m} \leq u_n \leq \mathrm{M}$, với $\forall \mathrm{n} \in N^*$

Các dạng bài tập dãy số lớp 11 trọng tâm

Dưới đây là các dạng bài tập dãy số lớp 11 trọng tâm (theo chương trình sách Kết nối tri thức với cuộc sống), được phân loại rõ ràng để bạn dễ ôn luyện.

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số

Đề bài: Cho dãy số $\left(u_n\right): u_n=f(\mathrm{n})$. Tìm số hạng $u_k$
→ Thay $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ vào $u_k$ để giải đề

Đề bài: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{c}u_1=a \\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.$. Tìm số hạng $u_k$
→ Tính lần lượt $u_2, u_3, \ldots, u_k$ bằng cách thế $u_1$ vào $u_2$, thế $u_2$ vào $u_3$ và $u_{k-1}$ vào $u_k$

Đề bài: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{c}u_1=a, u_2=b \\ u_{n+2}=c u_{n+1}+d u_n+e\end{array}\right.$. Tìm số hạng $u_k$
→ Tính lần lượt $u_3, u_4, \ldots, u_k$ bằng cách thế $u_1$ và $u_2$ vào $u_3$, tương tự $u_2$ và $u_3$ vào $u_4$ và $u_{k-2}$ và $u_{k-1}$ vào $u_k$.

Đề bài: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{c}u_1=a \\ u_{n+1}=f\left(\left\{n, u_n\right\}\right) \text {. Tìm số hạng } u_k\end{array}\right.$
→ Tính lần lượt $u_2, u_3, \ldots, u_k$ bằng cách thế $\left\{1 ; u_1\right\}$ vào $u_2$, thế $\left\{2 ; u_2\right\}$ vào $u_3$ và $\left\{\mathrm{k}-1 ; u_{k-1}\right\}$ vào $u_k$.

Bài tập minh hoạ: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $u_n=\frac{2 n^2-n+3}{n+2}$. Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

Lời giải

Để tìm năm số hạng đầu của dãy số, ta lần lượt thay các giá trị $\mathrm{n}=1,2,3,4,5$ vào công thức tồng quát cùa $u_n$ :

Với $\mathrm{n}=1 \rightarrow u_1=\frac{4}{3}$

Với $\mathrm{n}=2 \rightarrow u_2=\frac{9}{4}$

Với $\mathrm{n}=3 \rightarrow u_3=\frac{18}{5}$

Với $\mathrm{n}=4 \rightarrow u_4=\frac{31}{6}$

Với $\mathrm{n}=5 \rightarrow u_5=\frac{48}{7}$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: $\frac{4}{3} ; \frac{9}{4} ; \frac{18}{5} ; \frac{31}{6} ; \frac{48}{7}$

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Cách 1: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$
- Nếu $u_{n+1}-u_n>0$, với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ là dãy số tăng
- Nếu $u_{n+1}-u_n<0$, với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ là dãy số giảm

Cách 2: Khi $u_n>0$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ ta xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$
- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì dãy số tăng
- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$ thì dãy số giảm

Cách 3: Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi thì ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh:
- $u_{n+1}>u_n$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$
- $u_{n+1}<u_n$ với $\forall \mathrm{n} \in N^*$

Cách giải nhanh:

a) Dãy số $\left(u_n\right): u_n=\mathrm{an}+\mathrm{b}$ tăng khi $\mathrm{a}>0$ hay giảm khi $\mathrm{a}<0$

b) Dãy số $\left(u_n\right): u_n=q^n$
- Không tăng không giảm khi $\mathrm{q}<0$
- Giảm khi $0<q<1$
- Tăng khi $q>1$

c) Dãy số $\left(u_n\right): u_n=\frac{a n+b}{c n+d}$ với $c n+d>0 \forall \mathrm{n} \in N^*$
- Tăng khi ad - bc $>0$
- Giảm khi ad - bc <0

d) Dãy số đan dấu là dãy số không tăng không giảm

e) Dãy số $\left(u_n\right)$ tăng hoặc giảm thì $q^n \cdot u_n$ với $\mathrm{q}<0$ không tăng không giảm

Bài tập minh hoạ: Xét tính tăng giảm của dãy số sau:
a) $u_n=3 n+6$
b) $u_n=\frac{n+5}{n+2}$
c) $u_n=\mathrm{n}-\sqrt{n^2-1}$

Lời giải

a) $u_n=3 \mathrm{n}+6$ có $\mathrm{a}=3>0 \rightarrow$ Dãy số tăng
b) $u_n=\frac{n+5}{n+2}$ có ad - bc $=2-5=-3<0 \rightarrow$ Dãy số giảm
c) $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow u_{n+1}=\mathrm{n}+1-\sqrt{(n+1)^2-1} \\
& \rightarrow u_{n+1}-u_n=\left[\mathrm{n}+1-\sqrt{(n+1)^2-1}\right]-\left[\mathrm{n}-\sqrt{n^2-1}\right] \\
& \rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\left.n+1+\sqrt{(n+1)^2-1}\right]}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}<0
\end{aligned}
$$

→ Dãy số giảm

Dạng 3: Xét tính bị chặn

Hướng giài:

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=q^n$ với $|\mathrm{q}| \leq 1 \rightarrow$ dãy số bị chặn

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=q^n$ với $|\mathrm{q}|<-1 \rightarrow$ dãy số không bị chặn

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=q^n$ với $\mathrm{q}>1 \rightarrow$ dãy số bị chặn dưới

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=\mathrm{an}+\mathrm{b}$ bị chặn dưới nếu $\mathrm{a}>0$ hay bị chặn trên nếu $\mathrm{a}<0$

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=\mathrm{a} n^2+\mathrm{bn}+\mathrm{c}$ bị chặn dưới nếu $\mathrm{a}>0$ hay bị chặn trên nếu $\mathrm{a}<$ 0

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=a_m n^m+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_1 n+a_0$ bị chặn dưới nếu $a_m>0$ hay bị chặn trên nếu $a_m<0$

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$, bị chặn nếu bậc của $P(n)$ nhỏ hơn hoặc bằng bậc của $Q(n)$

- Dãy số $\left(u_n\right): u_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$, bị chặn trên hoặc dưới nếu bậc của $P(n)$ lớn hơn bậc của $Q(n)$

Bài tập minh hoạ: Xét tính bị chặn của dãy số sau $u_n=\frac{2 n+3}{n+2}$

Lời giải

Có $\mathrm{n} \in N^* \rightarrow \mathrm{n} \geq 1 \rightarrow 2 \mathrm{n}+3>0$ và $\mathrm{n}+2>0$

Do đó, $u_n=\frac{2 n+3}{n+2}>0$

$u_n=\frac{2 n+3}{n+2}=2-\frac{1}{n+2}$

Vì $\mathrm{n} \geq 1 \rightarrow \mathrm{n}+2 \geq 3 \rightarrow \frac{1}{n+2} \leq \frac{1}{3} \rightarrow-\frac{1}{n+2} \geq-\frac{1}{3}$

$u_n=2-\frac{1}{n+2} \geq 2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

Đồng thời $\frac{1}{n+2}>0 \rightarrow 2-\frac{1}{n+2}<2$

$$\rightarrow \frac{5}{3} \leq u_n<2$$

→ Dãy số $u_n$ bị chặn

Giải bài tập giới hạn dãy số lớp 11 củng cố lý thuyết.

Bài 1: Cho dãy số $\left(u_n\right)$. Viết 5 số hạng đầu tiên và tìm số hạng thứ $20\left(u_{20}\right)$ của mỗi dãy số trên.
a) $u_n=5 n-3$
b) $u_n=\frac{n+1}{2^n}$

Bài 2: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi: $u_1=2$ và $u_n=u_{n-1}+3$ với mọi $\mathrm{n} \geq 2$
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$ theo n .

Bài 3: Xét tính đơn điệu (tăng hay giảm) của các dãy số $\left(u_n\right)$ sau:
a) $u_n=\frac{1}{n+2}$
b) $u_n=2 n^2+1$
c) $u_n=\frac{3 n-1}{n+1}$

Bài 4: Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên hoặc bị chặn?
a) $u_n=n^2+n$
b) $u_n=\frac{n}{n+1}$
c) $u_n=\sin (\mathrm{n})+\cos (\mathrm{n})$

Bài 5: Viết công thức số hạng tổng quát ( $u_n$ cùa các dãy số tăng gồm các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều là số lẻ ( $1,3,5,7, \ldots$ ).
b) Khi chia cho 5 dư $2(2,7,12,17, \ldots)$.

Hy vọng nội dung tổng hợp về dãy số lớp 11 trên đã giúp bạn nắm vững lý thuyết trọng tâm và rèn luyện kỹ năng qua các dạng bài tập chọn lọc theo chuẩn kiến thức sách Kết nối tri thức và cuộc sống. 

Xem thêm: Tổng hợp các công thức lượng giác thường gặp

Chăm chú nghe giảng nhưng khi làm bài kiểm tra bạn không biết sai ở đâu, chưa biết áp dụng công thức nào cho bài toán. Lúc này, việc tham gia một khóa học Toán lớp 11 bài bản trở thành giải pháp cần thiết để củng cố kiến thức, hệ thống giáo dục Học là Giỏi sẽ giúp bạn hệ thống lại toàn bộ chuyên đề và lấy lại phong độ học tập.