Chuyên đề hàm số và đồ thị trọng tâm thi vào 10

Lý thuyết hàm số bậc nhất 

$y=a x+b(a \neq 0)$

Hàm số bậc nhất là một trong những nội dung nền tảng của chương trình Toán THCS. Với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$, hàm số luôn xác định, do đó tập xác định là toàn bộ tập số thực.

Xét về tính biến thiên, hàm số có tính đơn điệu trên toàn trục số:

- Khi $a>0$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

- Khi $a<0$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Đường thẳng này cắt:

- Trục tung tại điểm $(0 ; b)$,

- Trục hoành tại điểm $\left(-\frac{b}{a} ; 0\right)$.

Hệ số $a$ được gọi là hệ số góc, quyết định độ nghiêng của đường thẳng; hệ số $b$ là tung độ gốc, xác định vị trí giao điểm với trục tung.

Lý thuyết hàm số bậc hai

$y=a x^2(a \neq 0)$

Hàm số bậc hai dạng đơn giản có đồ thị là một đường cong Parabol. Trong trường hợp đặc biệt này, Parabol có các đặc điểm sau:

- Đỉnh tại gốc tọa độ $O(0 ; 0)$,

- Trục đối xứng là trục tung $O y$,

- Đồ thị nhận giá trị đối xứng qua trục này.

Tính chất hình học của đồ thị phụ thuộc vào dấu của hệ số $a$ :

- Nếu $a>0$, Parabol mở lên trên và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

- Nếu $a<0$, Parabol mở xuống dưới và hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Trong cả hai trường hợp, giá trị của hàm số không đổi dấu trên toàn bộ tập xác định:

- Với $a>0, y \geq 0$ với mọi $x$,

- Với $a<0, y \leq 0$ với mọi $x$.

Xem thêm: Bí quyết giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các dạng bài toán cơ bản và nâng cao

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng:

$\left(d_1\right): y=a_1 x+b_1, \quad\left(d_2\right): y=a_2 x+b_2$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định thông qua hệ số góc và tung độ gốc:

- Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi:

$a_1=a_2 \quad \text { và } \quad b_1 \neq b_2$

- Hai đường thẳng trùng nhau khi:

$a_1=a_2 \quad \text { và } \quad b_1=b_2$

- Hai đường thẳng cắt nhau khi:

$a_1 \neq a_2$

- Hai đường thẳng vuông góc khi:

$a_1 \cdot a_2=-1$

Đây là dạng toán cơ bản nhưng có vai trò quan trọng trong việc kiểm tra khả năng nhận diện và xử lý nhanh của học sinh.

Sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng

Xét Parabol $(P): y=a x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x+n$. Để tìm giao điểm, ta giải phương trình:

$a x^2=m x+n \Leftrightarrow a x^2-m x-n=0$

Số nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng với số giao điểm giữa hai đồ thị. Ta xét biệt thức:

$\Delta=(-m)^2-4 a(-n)=m^2+4 a n$

- Nếu $\Delta>0$, hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

- Nếu $\Delta=0$, hai đồ thị tiếp xúc tại một điểm.

- Nếu $\Delta<0$, hai đồ thị không có điểm chung.

Phương pháp này cho phép chuyển bài toán hình học về bài toán đại số, từ đó xử lý một cách hệ thống và chính xác.

Vận dụng hệ thức Vi-et trong bài toán đồ thị

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2=\frac{c}{a}$

Xét phương trình bậc hai:

$a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$

Giả sử phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$. Khi đó, theo hệ thức Vi-et:

- Tổng hai nghiệm:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

- Tích hai nghiệm:

$x_1 x_2=\frac{c}{a}$

Trong các bài toán đồ thị, hai nghiệm này thường được hiểu là hoành độ giao điểm của hai đường. Nhờ đó, ta có thể:

- Tính khoảng cách giữa hai điểm,

- Tính diện tích tam giác tạo bởi các điểm,

- Xây dựng các biểu thức đối xứng như $x_1^2+x_2^2$ hoặc $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.

Đối với các biểu thức không đối xứng, cần kết hợp hệ thức Vi-et với các điều kiện bở sung của bài toán để thiết lập hệ phương trình và giải.

Bài tập chuyên đề đồ thị hàm số

Dạng 1. Nhận dạng hàm số, đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$

1. Phương pháp

2. Bài tập

Bài 1. Hàm số nào sau đây có dạng $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$ ?

A. $y=\frac{5}{x^2}$.

B. $\mathrm{y}=-5 \mathrm{x}$.

C. $y=3 x^2$.

D. $y=\frac{1}{4 x^2}$

Bài 2. Đồ thị của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$ là một đường cong nằm phía trên trục hoành nếu

A. $a=-2$.

B. $\mathrm{a}<0$.

C. $\mathrm{a}=1$.

D. $\mathrm{a}>0 \mid$

Dạng 2. Tính giá trị của hàm số $y=f(x)=a x^2$ tại $x=x_{\text {o }}$

Bài 1. Cho hàm số $y=f(x)=4 x^2$. Hãy tính $f(1), f(-1), f(2), f(-2), f(0)$

Bài 2. Diện tích $S$ của hình tròn được tính bởi công thức $S=\pi R^2$, trong đó $R$ là bán kính của hình tròn.

a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giái trị của S rồi điền vào các ô trống trong bảng sau ( $\pi \approx 3,14$, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

b) Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần?

c) Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó bằng $79,5 \mathrm{~cm}^2$.

Dạng 3. Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$

1. Phương pháp

2. Bài tập

Bài 1. Điểm $\mathrm{M}(5 ; 5)$ thuộc đồ thị hàm số nào dưới đây

Bài 2. Tìm tọa độ điểm A thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^2$, biết hoành độ của điểm A bằng 2 .

Bài 3. Tìm tọa độ điểm A thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=-3 \mathrm{x}^2$, biết tung độ của điểm A bằng -3 .

Bài 4. Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^2$, biết tung độ của điểm đó bằng 2 lần hoành độ.

Bài 5. Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^2$, biết hoành độ của điểm đó bằng 2 lần tung độ.

Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số

1. Phương pháp

2. Bài tập

Bài 1. Cho hàm số: $\mathrm{y}=\frac{3}{2} \mathrm{x}^2, \mathrm{y}=-\frac{3}{2} \mathrm{x}^2$. Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bài 2. Cho hàm số $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^2$ có đồ thị là $(\mathrm{P})$. Vẽ đồ thị $(\mathrm{P})$.

Dạng 5. Xác định hệ số a của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$

Hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có đồ thị là $(\mathrm{P})$. Điểm $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_0 ; \mathrm{y}_0\right) \in(\mathrm{P})$ thì $\mathrm{y}_0=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_0\right)$

2. Bài tập

Bài 1. Xác định hàm số bậc hai $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2$. Biết đồ thị đi qua điểm $\mathrm{A}(10 ; 30)$.

Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ có một điểm M thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2$.

Tìm hệ số a.

Bài 3. Biết rằng đường cong hình bên là một Parabol $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2$.

Tìm hệ số a.

Dạng 6. Bài toán thực tiễn

Bài 1. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m . Quãng đường chuyển động S (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) bởi công thức: $S=4 t^2$.

a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự, sau 2 giây?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?

Bài 2. Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2$ như hình. Biết chiều rộng của chân cổng là $A B=6 \mathrm{~m}$ và chiều cao của cổng là $\mathrm{OI}=4,5 \mathrm{~m}$.

Bài tập tự luyên chuyên đề đồ thị hàm số

Bài 1. Hàm số nào sau đây có dạng $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$ ?

A. $y=3 x$

B. $\mathrm{y}=(2 \sqrt{2}-\sqrt{8}) \mathrm{x}^2$

C. $\mathrm{y}=-2024 \mathrm{x}^2$.

D. $\mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{x}^2}$

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số $\mathrm{y}=(\mathrm{m}+2) \mathrm{x}^2$ có đồ thị đi qua điểm $(-1 ; 3)$. Khi đó giá trị của m tương ứng là:

A. $\mathrm{m}=-1$

B. $\mathrm{m}=1$

C. $\mathrm{m}=0$

D. $\mathrm{m}=2$

Bài 3. Cho hàm số $\mathrm{y}=-2 \mathrm{x}^2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm trục đối xứng.

B. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

C. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

D. Đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.

Bài 4. Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$.

A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

B. Với $\mathrm{a}<0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và $\mathrm{O}(0 ; 0)$ là điểm cao nhất của đồ thị.

C. Với $\mathrm{a}>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và $\mathrm{O}(0 ; 0)$ là điểm cao nhất cùa đồ thị.

D. Với $\mathrm{a}>0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và $\mathrm{O}(0 ; 0)$ là điềm thấp nhất của đồ thị.

Bài 5. Xác định hệ số a của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$, biết đồ thị của hàm số đi qua điểm $\mathrm{A}(1 ; 1)$

Bài 6. a) Vẽ đồ thị của hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}^2$.

b) Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$. Xác định a , biết rằng $\mathrm{f}(-2)=4$.

Bài 7. Cho parabol $(P): y=m x^2$. Tìm $m$ để

a) (P) đi qua điểm $\mathrm{A}(2 ; 1)$

b) Vẽ (P) khi $m=-\frac{1}{2}$

c) Với $\mathrm{m}=-\frac{1}{2}$, hãy tìm điểm thuộc Parabol mà có tổng hoành độ và tung độ bằng 0 .

Bài 8. Cho hàm số $\mathrm{y}=(\mathrm{m}+3) \mathrm{x}^2$ với $\mathrm{m} \neq-3$ có đồ thị là parabol $(\mathrm{P})$

a) Xác định m để parabol $(\mathrm{P})$ đi qua điểm $\mathrm{A}(-1 ; 1)$

b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được ở câu a . Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 16 .

Bài 9. Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{mx}^2$.

a) Tìm m biết $\mathrm{f}(-3)=-9$

b) Với giá trị m vừa tìm được ở câu a).

i) Tính $\mathrm{f}(0) ; \mathrm{f}(3)$.

ii) Tìm $\mathrm{x}_0$ biết $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_0\right)=-27$.

Bài 10. Cho hàm số (1) $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2(\mathrm{a} \neq 0)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị hàm số (1) đi qua điểm $\mathrm{A}(3 ; 5)$ khi $\mathrm{a}=\frac{9}{5}$.

b) Khi $\mathrm{a}=2$, có 2 điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có tung độ bằng 3 .

c) Khi $\mathrm{a}=-1$, có 2 điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có tung độ gấp đồi hoành độ.

Bài 11. Cho hàm số $\mathrm{y}=5 \mathrm{x}^2$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị hàm số là một parabol đi qua gốc tọa độ.

b) Đồ thị hàm số nằm bên dưới trục hoành.

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1 ;-5)$.

Bài 12. Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là $\mathrm{F}=\mathrm{av}^2$ ( a là hằng số). Khi vận tốc gió bằng $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120 N (Niu-ton)

a) Tính hằng số a .

b) Hỏi khi $v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ thì lực F bằng bao nhiêu?

c) Cùng câu hỏi này khi $v=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

Bài 13. Ở một hội chợ thương mại, người ta dựng trên mật sân một cái cổng có dạng parabol $\mathrm{y}=\alpha \mathrm{x}^2$ (như hình vẽ bên). Biết chiếc cổng có chiều cao $\mathrm{OH}=8 \mathrm{~m}$, và khoảng cách giữa hai chân cổng là $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~m}$. Người ta treo trên cổng một dây đèn trang trí song song với đường thẳng AB , từ điểm M đến điểm N , khoảng cách $\mathrm{MN}=3 \mathrm{~m}$. Tính giá trị của a và khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.

Tóm lại, việc nắm vững chuyên đề Hàm số và đồ thị không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi vào lớp 10 mà còn tạo nền tảng quan trọng cho các nội dung toán học nâng cao sau này. Để học tốt phần kiến thức này, cần kết hợp giữa hiểu lý thuyết, luyện tập có hệ thống và rèn kỹ năng phân tích bài toán. Nếu được định hướng đúng phương pháp và hỗ trợ bởi đội ngũ Gia Sư của hệ thống giáo dục online Học Là Giỏi, học sinh sẽ tối ưu hóa quá trình ôn tập, hạn chế sai sót và tự tin chinh phục mục tiêu điểm số trong kỳ thi quan trọng.