Bí quyết giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình, bạn có thể thực hiện qua 3 bước cơ bản sau:

Bước 1: Lập phương trình

Chọn ẩn và đặt điều kiện (nếu có)

Bước đầu tiên trong giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là chọn các ẩn số cần tìm và đặt điều kiện. Điều này giúp bạn xác định rõ các đại lượng chưa biết trong bài toán.

Ví dụ: Trong bài toán về chuyển động, ta có hai chiếc xe A và B di chuyển với vận tốc khác nhau, và ta cần tìm thời gian mà chúng gặp nhau. Nếu ta chọn thời gian gặp nhau là ẩn $t$t, thì ta có thể viết phương trình dựa trên quãng đường mỗi xe đi.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn

Sau khi chọn ẩn, ta cần biểu diễn các đại lượng chưa biết trong bài toán theo ẩn số đã chọn. Điều này giúp xây dựng các phương trình từ các mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.

Ví dụ: Giả sử ta có bài toán: Xe A đi với vận tốc 40 km/h và xe B đi với vận tốc 60 km/h, hai xe xuất phát từ hai điểm khác nhau, cách nhau 120 km. Thời gian mà hai xe gặp nhau là ẩn t. Quãng đường mà mỗi xe đi trong thời gian này sẽ được tính bằng vận tốc nhân với thời gian, tức là:

Quãng đường của xe A: 40t

Quãng đường của xe B: 60t Vì tổng quãng đường của hai xe là 120 km, ta có phương trình:

$40t + 60t = 120$

Lập hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng

Nếu bài toán có nhiều ẩn số, ta cần lập một hệ phương trình để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng.

Ví dụ: Tiếp tục ví dụ trên, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c} \\ \end{array}\right.\begin{array}{cc}40t+60t=120& \\ t=\text{Thời gian mà hai xe gặp nhau}& \end{array}$

Hệ phương trình này sẽ giúp ta giải được bài toán.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sử dụng phương pháp thế

Phương pháp thế là một trong những cách giải hệ phương trình phổ biến. Ta sẽ giải một trong các phương trình để tìm giá trị của một ẩn số, rồi thay giá trị đó vào phương trình còn lại.

Ví dụ: Trong bài toán trên, ta có phương trình $40t + 60t = 120$, ta có thể kết hợp hai vế lại:

100t = 120

Giải phương trình này, ta có $t = \frac{120}{100} = 1.2$ giờ. Như vậy, hai xe gặp nhau sau 1.2 giờ.

Sử dụng phương pháp cộng đại số

Phương pháp cộng đại số được sử dụng khi hệ phương trình có thể cộng hoặc trừ với nhau để loại bỏ một trong các ẩn số, từ đó giúp giải hệ phương trình.

Ví dụ: Giả sử ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{c} \\ \end{array}\right.\begin{array}{c}x+y=10\\ x-y=2\end{array}$

Khi cộng hai phương trình lại, ta có:

$(x + y) + (x - y) = 10 + 2$

$2x = 12$

Giải phương trình này, ta có x = 6. Thay x = 6 vào phương trình đầu tiên:

$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x = 6$và $y = 4$.

Sử dụng phương pháp Cramer (nếu cần thiết)

Phương pháp Cramer là một phương pháp dùng để giải hệ phương trình tuyến tính với số ẩn số và số phương trình bằng nhau. Phương pháp này sử dụng định lý Cramer để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm và kết luận

Kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện ban đầu không?

Sau khi giải xong hệ phương trình, ta cần kiểm tra nghiệm thu được có thỏa mãn các điều kiện ban đầu của bài toán hay không. Đôi khi nghiệm của bài toán có thể không phù hợp với các điều kiện thực tế của bài toán.

Ví dụ: Trong bài toán chuyển động, nếu nghiệm $t = -2$ giờ, thì đây là một nghiệm không hợp lý, vì thời gian không thể là một giá trị âm.

Trình bày kết quả cuối cùng

Sau khi kiểm tra nghiệm, ta trình bày kết quả cuối cùng một cách rõ ràng và chính xác. Nếu nghiệm đúng, ta sẽ ghi nhận kết quả và giải thích rõ ràng.

Ví dụ: Trong ví dụ về hai chiếc xe, kết quả là t=1.2 giờ. Ta kết luận: "Hai xe gặp nhau sau 1.2 giờ".

Các dạng bài toán bằng cách lập phương trình

Để dễ dàng nắm bắt mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, chúng ta có thể phân loại thành 4 dạng cơ bản:

Dạng 1: Bài toán về chuyển động

Với bài toán chuyển động, có một số kiến thức trọng tâm bạn cần ghi nhớ để giải quyết nhanh chóng và chính xác:

A. Ba đại lượng quan trọng trong bài toán chuyển động:

Quãng đường – Ký hiệu là S

Thời gian – Ký hiệu là t

Vận tốc – Ký hiệu là v

B. Công thức liên hệ ba đại lượng này:

$S = t \times v$(Quãng đường = Vận tốc × Thời gian)

$v = \frac{S}{t}$ (Vận tốc = Quãng đường / Thời gian)

$t = \frac{S}{v}$ (Thời gian = Quãng đường / Vận tốc)

C. Đơn vị phải tương ứng với nhau:

Ba đại lượng này phải được đồng nhất về đơn vị, chẳng hạn:

Nếu S tính bằng km, thì v phải tính bằng km/h, và t phải tính theo giờ.

Ví dụ: Có một xe khách đi từ điểm A đến điểm B với vận tốc v₁=50 km/h. Sau khi trả khách, xe đi từ B về A với vận tốc v₂=40km/h. Tổng thời gian cả đi và về hết 5 giờ 24 phút. Hãy tìm quãng đường S từ A đến B.

Trước tiên, ta cần đổi tổng thời gian từ giờ và phút ra đơn vị giờ cho nhất quán.
Vì $24$ phút là $\frac{24}{60} = 0.4$ giờ, nên tổng thời gian là:
$5 \text{ giờ } 24 \text{ phút} = 5.4 \text{ giờ}.$

Gọi $S$ là quãng đường từ A đến B (cũng chính là từ B về A, vì quãng đường là như nhau). Ta cần tìm $S$.

Chúng ta biết rằng:

Thời gian xe đi từ A đến B: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{50}$ 

Thời gian xe đi từ B về A: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{40}$

Tổng thời gian cả đi lẫn về là 5.4 giờ, nên ta có phương trình sau:

$t_1 + t_2 = 5.4$

Thay $t_1 = \frac{S}{50}$​ và $t_2 = \frac{S}{40}$ vào phương trình:

$\frac{S}{50} + \frac{S}{40} = 5.4$

Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm mẫu số chung của 50 và 40, đó là 200:

$\frac{4S}{200} + \frac{5S}{200} = 5.4$

Cộng hai phân số:

$\frac{4S + 5S}{200} = 5.4$

Tức là:

$\frac{9S}{200} = 5.4$

Nhân cả hai vế với 200 để khử mẫu số:

$9S = 5.4 \times 200 = 1080$

Cuối cùng, chia cả hai vế cho 9:

$S = \frac{1080}{9} = 120 \text{ km}.$

Vậy, quãng đường từ A đến B là S=120 km.

Dạng 2: Bài toán về năng suất

Kiến thức cần lưu ý:

A. Ba đại lượng không thể thiếu trong bài toán năng suất

Năng suất (N): Tốc độ hoàn thành công việc.

Thời gian (t): Khoảng thời gian hoàn thành công việc.

Khối lượng công việc (CV): Toàn bộ công việc cần làm.

B. Công thức liên hệ đại lượng

Công thức cơ bản để giải dạng toán này:

CV=N×t (K.lượng công việc = Năng suất x Thời gian.)

Khối lượng công việc hoàn thành sẽ bằng năng suất nhân với thời gian bỏ ra. 

N=CV/t (Năng suất = K.lượng công việc / Thời gian.)

t=CV/N (Thời gian = K.lượng công việc / Năng suất.)

C. Điều cần chú ý

Đối với những bài toán có nhiều người (hoặc nhiều vòi nước) làm chung hoặc làm riêng, điều cần nhớ là chúng ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị. Điều này giúp dễ dàng so sánh và tính toán năng suất.

- Năng suất riêng lẻ của mỗi người (hoặc mỗi vòi nước) sẽ bằng: 1/thời gian

- Để giải quyết bài toán, bạn chỉ cần lập phương trình: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

Ví dụ: Hai đội thợ quét sơn văn phòng. Nếu làm đơn lẻ, đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Nếu họ cùng làm thì mất 4 ngày để hoàn thành công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm việc riêng lẻ thì họ sẽ mất bao lâu để hoàn thành?

Giải:

Bước 1: Đặt ẩn

Gọi $t_1$ là thời gian đội I hoàn thành công việc nếu làm một mình (tính bằng ngày).
Vì đội II chậm hơn 6 ngày, nên thời gian đội II hoàn thành công việc là $t_2 = t_1 + 6$.

Bước 2: Xác định năng suất của từng đội

Theo bài toán về năng suất, ta biết rằng:

Năng suất của đội I (tức là phần công việc đội I hoàn thành trong 1 ngày) sẽ là:

$\frac{1}{t_1}$

Năng suất của đội II (tức là phần công việc đội II hoàn thành trong 1 ngày) sẽ là:

$\frac{1}{t_1 + 6}$

Khi cả hai đội làm cùng nhau, họ hoàn thành công việc trong 4 ngày, tức là năng suất chung của cả hai đội là:

$\frac{1}{4}$

Bước 3: Lập phương trình

Khi hai đội làm chung, tổng năng suất của họ sẽ bằng năng suất chung, nghĩa là:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 6} = \frac{1}{4}$

Bước 4: Giải phương trình

Để giải phương trình này, trước tiên ta quy đồng mẫu số:

$\frac{(t_1 + 6) + t_1}{t_1(t_1 + 6)} = \frac{1}{4}$

Tức là:

$\frac{2t_1 + 6}{t_1(t_1 + 6)} = \frac{1}{4}$

Nhân chéo hai vế của phương trình:

$4(2t_1 + 6) = t_1(t_1 + 6)$

Phát triển vế phải:

$8t_1 + 24 = t_1^2 + 6t_1$

Chuyển tất cả về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

$t_1^2 - 2t_1 - 24 = 0$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

$t_1 = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-24)}}{2 \times 1}$

 $t_1 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

​​ $t_1 = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2}$

$t_1 = \frac{2 \pm 10}{2}$

Vậy, $t_1$​ có hai giá trị:

$t_1=\frac{2+10}{2}=6 \text{hoặc}{t}_1=\frac{2-10}{2}=-4$

Vì thời gian không thể âm, ta có $t_1 = 6$ (ngày).

Bước 6: Tính thời gian đội II hoàn thành

Thời gian đội II hoàn thành công việc là:

$t_2=t_1+6=6+6=12\text{ ngày}\mathrm{.}$

Kết luận

Vậy nếu làm việc riêng lẻ:

Đội I mất 6 ngày để hoàn thành công việc.

Đội II mất 12 ngày để hoàn thành công việc.

Dạng 3: Bài toán về số và chữ số

Kiến thức cần nhớ:

1. Nếu bài toán nói rằng A hơn B k đơn vị, bạn chỉ cần nhớ:
A−B=k hoặc A=B+k

2. Khi gặp hai số liên tiếp, nghĩa là hai số này hơn kém nhau đúng 1 đơn vị. Ta có:
A−B=1 hoặc B−A=1

3. Nếu A gấp k lần B, bạn chỉ cần hình dung rằng A lớn hơn B một lượng gấp k lần:
A=k×BA

4. Nếu A bằng một nửa B, điều đó có nghĩa là:
A=1/2×B

Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:

Hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là -2.

Tích của hai chữ số này là 15.

Giải:

Bước 1: Đặt ẩn

Gọi $x$ là chữ số hàng chục và $y$ là chữ số hàng đơn vị của số cần tìm.
Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

Hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị:

$x - y = -2$

Tích của hai chữ số:

$x \times y = 15$

Bước 2: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại

Từ phương trình $x - y = -2$, ta có thể biểu diễn $x$ theo $y$:

$x = y - 2$

Bước 3: Thay vào phương trình tích

Bây giờ, thay $x = y - 2$ vào phương trình $x \times y = 15$:

$(y - 2) \times y = 15$

Giải phương trình này:

$y^2 - 2y = 15$

Chuyển tất cả về một vế:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-15)}}{2 \times 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}$

$y = \frac{2 \pm 8}{2}$

Ta có hai nghiệm:

$y=\frac{2+8}{2}=5 \text{hoặc}y=\frac{2-8}{2}=-3$

Vì $y$ là chữ số hàng đơn vị nên $y$ phải là số tự nhiên, vậy $y = 5$.

Bước 5: Tính x

Thay $y = 5$ vào phương trình $x = y - 2$:

$x = 5 - 2 = 3$

Vậy số tự nhiên cần tìm là 35.

Dạng 4: Bài toán về hình học

Kiến thức cần nhớ:

Diện tích tam giác vuông
S = ½ x (a x h)

Diện tích hình chữ nhật
S = Chiều dài x Chiều rộng

Diện tích hình vuông
S = a x a

Ví dụ: Ông A có một mảnh đất hình chữ nhật với diện tích S=320 m², chiều rộng bé hơn chiều dài 4 mét. Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh đất này.

Gọi:

Chiều dài của mảnh đất là l (m).

Chiều rộng của mảnh đất là w (m).

Theo đề bài, ta có:

Diện tích mảnh đất:

$S = l \times w = 320$

Chiều rộng bé hơn chiều dài 4 mét:

$w = l - 4$

Từ phương trình thứ hai, ta có thể thay $w$ vào phương trình diện tích:

$l \times (l - 4) = 320$

$l^2 - 4l = 320$

$l^2 - 4l - 320 = 0$

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai:

$l = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-320)}}{2 \times 1}$

​​ $l = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1280}}{2}$

​​ $l = \frac{4 \pm \sqrt{1296}}{2}$

$l = \frac{4 \pm 36}{2}$​

Ta có hai nghiệm:

$l=\frac{40}{2}=20 \text{hoặc}l=\frac{-32}{2}=-16$

Vì chiều dài không thể âm, ta chọn $l = 20$ mét.

Sử dụng phương trình $w = l - 4$:

$w = 20 - 4 = 16 \, m$

Kết luận

Chiều dài của mảnh đất là 20 mét, và chiều rộng là 16 mét.

Vận dụng giải bài bằng lập phương trình

Bài 1: Một người đi bộ từ nhà đến trường mất 30 phút. Nếu người đó đi nhanh hơn 1 km/h thì thời gian đi từ nhà đến trường chỉ còn 24 phút. Hỏi khoảng cách từ nhà đến trường là bao nhiêu km?

Đáp án: Khoảng cách từ nhà đến trường là 2 km.

Bài 2: Hai thợ xây cùng làm một công trình. Nếu thợ I làm một mình thì cần 12 ngày để hoàn thành công việc. Nếu thợ II làm một mình thì cần 16 ngày. Hỏi nếu cả hai thợ cùng làm thì bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Đáp án: 6.86 (ngày)

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:

Chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị.

Tổng của hai chữ số bằng 9.

Đáp án: Số tự nhiên cần tìm là 63.

Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 4 mét và chiều rộng thêm 2 mét, thì diện tích mảnh đất sẽ tăng thêm 56 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất.

Đáp án: Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là 4.8 mét và chiều dài ban đầu là 14.4 mét.

Xem thêm:

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình bậc nhất 1 ẩn

Thông qua việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta không chỉ tìm ra đáp án cho các bài toán mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và phân tích vấn đề. Các dạng bài toán từ chuyển động, năng suất, số và chữ số cho đến hình học đều mang những thử thách khi chúng ta giải quyết bài toán. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng những kiến thức và ví dụ cụ thể sẽ trở thành phương pháp hữu ích giúp bạn chinh phục bất kỳ bài toán nào.