Bí quyết giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình, bạn có thể thực hiện qua 3 bước cơ bản sau:

▪ Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình của bài toán
- Chọn ẩn số phù hợp, đồng thời đặt ra những điều kiện thích hợp cho ẩn số ấy.
- Dùng ẩn số này để biểu diễn các đại lượng chưa biết và đã biết.
- Tạo phương trình hoặc hệ phương trình để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng.

▪ Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

▪ Bước 3: Đưa ra kết luận
Kiểm tra các nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện đã đặt ra, loại bỏ những nghiệm không phù hợp, rồi đưa ra kết luận.

Các dạng bài toán bằng cách lập phương trình

Để dễ dàng nắm bắt mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, chúng ta có thể phân loại thành 4 dạng cơ bản:

Dạng 1: Bài toán về chuyển động

Với bài toán chuyển động, có một số kiến thức trọng tâm bạn cần ghi nhớ để giải quyết nhanh chóng và chính xác:

A. Ba đại lượng quan trọng trong bài toán chuyển động:

Quãng đường – Ký hiệu là S

Thời gian – Ký hiệu là t

Vận tốc – Ký hiệu là v

B. Công thức liên hệ ba đại lượng này:

$S = t \times v$(Quãng đường = Vận tốc × Thời gian)

$v = \frac{S}{t}$ (Vận tốc = Quãng đường / Thời gian)

$t = \frac{S}{v}$ (Thời gian = Quãng đường / Vận tốc)

C. Đơn vị phải tương ứng với nhau:

Ba đại lượng này phải được đồng nhất về đơn vị, chẳng hạn:

Nếu S tính bằng km, thì v phải tính bằng km/h, và t phải tính theo giờ.

Ví dụ: Có một xe khách đi từ điểm A đến điểm B với vận tốc v₁=50 km/h. Sau khi trả khách, xe đi từ B về A với vận tốc v₂=40km/h. Tổng thời gian cả đi và về hết 5 giờ 24 phút. Hãy tìm quãng đường S từ A đến B.

Trước tiên, ta cần đổi tổng thời gian từ giờ và phút ra đơn vị giờ cho nhất quán.
Vì $24$ phút là $\frac{24}{60} = 0.4$ giờ, nên tổng thời gian là:
$5 \text{ giờ } 24 \text{ phút} = 5.4 \text{ giờ}.$

Gọi $S$ là quãng đường từ A đến B (cũng chính là từ B về A, vì quãng đường là như nhau). Ta cần tìm $S$.

Chúng ta biết rằng:

Thời gian xe đi từ A đến B: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{50}$ 

Thời gian xe đi từ B về A: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{40}$

Tổng thời gian cả đi lẫn về là 5.4 giờ, nên ta có phương trình sau:

$t_1 + t_2 = 5.4$

Thay $t_1 = \frac{S}{50}$​ và $t_2 = \frac{S}{40}$ vào phương trình:

$\frac{S}{50} + \frac{S}{40} = 5.4$

Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm mẫu số chung của 50 và 40, đó là 200:

$\frac{4S}{200} + \frac{5S}{200} = 5.4$

Cộng hai phân số:

$\frac{4S + 5S}{200} = 5.4$

Tức là:

$\frac{9S}{200} = 5.4$

Nhân cả hai vế với 200 để khử mẫu số:

$9S = 5.4 \times 200 = 1080$

Cuối cùng, chia cả hai vế cho 9:

$S = \frac{1080}{9} = 120 \text{ km}.$

Vậy, quãng đường từ A đến B là S=120 km.

Dạng 2: Bài toán về năng suất

Kiến thức cần lưu ý:

A. Ba đại lượng không thể thiếu trong bài toán năng suất

Năng suất (N): Tốc độ hoàn thành công việc.

Thời gian (t): Khoảng thời gian hoàn thành công việc.

Khối lượng công việc (CV): Toàn bộ công việc cần làm.

B. Công thức liên hệ đại lượng

Công thức cơ bản để giải dạng toán này:

CV=N×t (K.lượng công việc = Năng suất x Thời gian.)

Khối lượng công việc hoàn thành sẽ bằng năng suất nhân với thời gian bỏ ra. 

N=CV/t (Năng suất = K.lượng công việc / Thời gian.)

t=CV/N (Thời gian = K.lượng công việc / Năng suất.)

C. Điều cần chú ý

Đối với những bài toán có nhiều người (hoặc nhiều vòi nước) làm chung hoặc làm riêng, điều cần nhớ là chúng ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị. Điều này giúp dễ dàng so sánh và tính toán năng suất.

- Năng suất riêng lẻ của mỗi người (hoặc mỗi vòi nước) sẽ bằng: 1/thời gian

- Để giải quyết bài toán, bạn chỉ cần lập phương trình: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

Ví dụ: Hai đội thợ quét sơn văn phòng. Nếu làm đơn lẻ, đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Nếu họ cùng làm thì mất 4 ngày để hoàn thành công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm việc riêng lẻ thì họ sẽ mất bao lâu để hoàn thành?

Bước 1: Đặt ẩn

Gọi $t_1$ là thời gian đội I hoàn thành công việc nếu làm một mình (tính bằng ngày).
Vì đội II chậm hơn 6 ngày, nên thời gian đội II hoàn thành công việc là $t_2 = t_1 + 6$.

Bước 2: Xác định năng suất của từng đội

Theo bài toán về năng suất, ta biết rằng:

Năng suất của đội I (tức là phần công việc đội I hoàn thành trong 1 ngày) sẽ là:

$\frac{1}{t_1}$

Năng suất của đội II (tức là phần công việc đội II hoàn thành trong 1 ngày) sẽ là:

$\frac{1}{t_1 + 6}$

Khi cả hai đội làm cùng nhau, họ hoàn thành công việc trong 4 ngày, tức là năng suất chung của cả hai đội là:

$\frac{1}{4}$

Bước 3: Lập phương trình

Khi hai đội làm chung, tổng năng suất của họ sẽ bằng năng suất chung, nghĩa là:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 6} = \frac{1}{4}$

Bước 4: Giải phương trình

Để giải phương trình này, trước tiên ta quy đồng mẫu số:

$\frac{(t_1 + 6) + t_1}{t_1(t_1 + 6)} = \frac{1}{4}$

Tức là:

$\frac{2t_1 + 6}{t_1(t_1 + 6)} = \frac{1}{4}$

Nhân chéo hai vế của phương trình:

$4(2t_1 + 6) = t_1(t_1 + 6)$

Phát triển vế phải:

$8t_1 + 24 = t_1^2 + 6t_1$

Chuyển tất cả về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

$t_1^2 - 2t_1 - 24 = 0$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

$t_1 = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-24)}}{2 \times 1}$

 $t_1 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

​​ $t_1 = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2}$

$t_1 = \frac{2 \pm 10}{2}$

Vậy, $t_1$​ có hai giá trị:

$t_1=\frac{2+10}{2}=6 \text{hoặc}{t}_1=\frac{2-10}{2}=-4$

Vì thời gian không thể âm, ta có $t_1 = 6$ (ngày).

Bước 6: Tính thời gian đội II hoàn thành

Thời gian đội II hoàn thành công việc là:

$t_2=t_1+6=6+6=12\text{ ngày}\mathrm{.}$

Kết luận

Vậy nếu làm việc riêng lẻ:

Đội I mất 6 ngày để hoàn thành công việc.

Đội II mất 12 ngày để hoàn thành công việc.

Dạng 3: Bài toán về số và chữ số

Kiến thức cần nhớ:

1. Nếu bài toán nói rằng A hơn B k đơn vị, bạn chỉ cần nhớ:
A−B=k hoặc A=B+k

2. Khi gặp hai số liên tiếp, nghĩa là hai số này hơn kém nhau đúng 1 đơn vị. Ta có:
A−B=1 hoặc B−A=1

3. Nếu A gấp k lần B, bạn chỉ cần hình dung rằng A lớn hơn B một lượng gấp k lần:
A=k×BA

4. Nếu A bằng một nửa B, điều đó có nghĩa là:
A=1/2×B

Ví dụ: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:

Hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là -2.

Tích của hai chữ số này là 15.

Bước 1: Đặt ẩn

Gọi $x$ là chữ số hàng chục và $y$ là chữ số hàng đơn vị của số cần tìm.
Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

Hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị:

$x - y = -2$

Tích của hai chữ số:

$x \times y = 15$

Bước 2: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại

Từ phương trình $x - y = -2$, ta có thể biểu diễn $x$ theo $y$:

$x = y - 2$

Bước 3: Thay vào phương trình tích

Bây giờ, thay $x = y - 2$ vào phương trình $x \times y = 15$:

$(y - 2) \times y = 15$

Giải phương trình này:

$y^2 - 2y = 15$

Chuyển tất cả về một vế:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-15)}}{2 \times 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}$

$y = \frac{2 \pm 8}{2}$

Ta có hai nghiệm:

$y=\frac{2+8}{2}=5 \text{hoặc}y=\frac{2-8}{2}=-3$

Vì $y$ là chữ số hàng đơn vị nên $y$ phải là số tự nhiên, vậy $y = 5$.

Bước 5: Tính x

Thay $y = 5$ vào phương trình $x = y - 2$:

$x = 5 - 2 = 3$

Vậy số tự nhiên cần tìm là 35.

Dạng 4: Bài toán về hình học

Kiến thức cần nhớ:

Diện tích tam giác vuông
S = ½ x (a x h)

Diện tích hình chữ nhật
S = Chiều dài x Chiều rộng

Diện tích hình vuông
S = a x a

Ví dụ: Ông A có một mảnh đất hình chữ nhật với diện tích S=320 m², chiều rộng bé hơn chiều dài 4 mét. Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh đất này.

Gọi:

Chiều dài của mảnh đất là l (m).

Chiều rộng của mảnh đất là w (m).

Theo đề bài, ta có:

Diện tích mảnh đất:

$S = l \times w = 320$

Chiều rộng bé hơn chiều dài 4 mét:

$w = l - 4$

Từ phương trình thứ hai, ta có thể thay $w$ vào phương trình diện tích:

$l \times (l - 4) = 320$

$l^2 - 4l = 320$

$l^2 - 4l - 320 = 0$

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai:

$l = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-320)}}{2 \times 1}$

​​ $l = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1280}}{2}$

​​ $l = \frac{4 \pm \sqrt{1296}}{2}$

$l = \frac{4 \pm 36}{2}$​

Ta có hai nghiệm:

$l=\frac{40}{2}=20 \text{hoặc}l=\frac{-32}{2}=-16$

Vì chiều dài không thể âm, ta chọn $l = 20$ mét.

Sử dụng phương trình $w = l - 4$:

$w = 20 - 4 = 16 \, m$

Kết luận

Chiều dài của mảnh đất là 20 mét, và chiều rộng là 16 mét.

Vận dụng giải bài bằng lập phương trình

Bài 1: Một người đi bộ từ nhà đến trường mất 30 phút. Nếu người đó đi nhanh hơn 1 km/h thì thời gian đi từ nhà đến trường chỉ còn 24 phút. Hỏi khoảng cách từ nhà đến trường là bao nhiêu km?

Đáp án: Khoảng cách từ nhà đến trường là 2 km.

Bài 2: Hai thợ xây cùng làm một công trình. Nếu thợ I làm một mình thì cần 12 ngày để hoàn thành công việc. Nếu thợ II làm một mình thì cần 16 ngày. Hỏi nếu cả hai thợ cùng làm thì bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Đáp án: 6.86 (ngày)

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:

Chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị.

Tổng của hai chữ số bằng 9.

Đáp án: Số tự nhiên cần tìm là 63.

Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 4 mét và chiều rộng thêm 2 mét, thì diện tích mảnh đất sẽ tăng thêm 56 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất.

Đáp án: Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là 4.8 mét và chiều dài ban đầu là 14.4 mét.

Xem thêm:

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình bậc nhất 1 ẩn

Kết luận

Thông qua việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta không chỉ tìm ra đáp án cho các bài toán mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và phân tích vấn đề. Các dạng bài toán từ chuyển động, năng suất, số và chữ số cho đến hình học đều mang những thử thách khi chúng ta giải quyết bài toán. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng những kiến thức và ví dụ cụ thể sẽ trở thành phương pháp hữu ích giúp bạn chinh phục bất kỳ bài toán nào.