Tổng hợp kiến thức phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khái niệm và phân loại 

Bạn đã từng cảm thấy như mình gặp khó khăn giữa những con số khi gặp một phương trình chứa ẩn ở mẫu chưa? Ở phần này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm và cách phân loại các phương trình.

Khái niệm

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình mà ẩn số không chỉ xuất hiện ở tử số như bình thường, mà lại thêm vào cả ở mẫu số. Điều này khiến việc giải phương trình bị khó khăn hơn so với các phương trình cơ bản. 

Ví dụ:

$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = 1$

Ở đây, ẩn $x$ không chỉ có mặt trong tử số mà còn nằm trong các mẫu số $x-1$ và $x+2$. 

Phân loại 

Tùy thuộc vào dạng của mẫu thức, các phương trình này có thể được chia thành hai loại chính:

Phương trình có mẫu số là biểu thức bậc nhất

Đây là dạng phương trình phổ biến và khá dễ để giải hơn so với các dạng khác. Mẫu số của phương trình này chỉ là các biểu thức bậc nhất, nghĩa là ẩn số xuất hiện với số mũ 1. Dạng này thường dễ xử lý vì chúng ta chỉ cần quy đồng hoặc nhân cả hai vế của phương trình để loại bỏ mẫu số.

Ví dụ:

$\frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-2}$

Ở đây, mẫu số là các biểu thức bậc nhất $x+1$ và $x-2$.

Phương trình có mẫu số là biểu thức bậc hai (hoặc bậc cao hơn)

Loại phương trình này bắt đầu phức tạp hơn một chút vì mẫu số không còn đơn giản là bậc nhất nữa. Thay vào đó, chúng có thể là biểu thức bậc hai hoặc cao hơn. Giải loại phương trình này đòi hỏi chúng ta phải cẩn thận hơn, vì việc quy đồng hoặc loại bỏ mẫu sẽ phức tạp hơn.

Ví dụ:

$\frac{4}{x^2 - 1} + \frac{5}{x + 2} = 3$

Mẫu số trong phương trình này bao gồm $x^2 - 1$, một biểu thức bậc hai, và $x+2$, một biểu thức bậc nhất.

Phương pháp giải 

Việc giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thực ra cũng không quá khó nếu bạn nắm vững vài bước cơ bản. Dưới đây là các bước cơ bản để giải phương trình:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Đây là một bước không thể bỏ qua vì ẩn số nằm ở mẫu, chúng ta phải đảm bảo rằng mẫu số không bao giờ được bằng 0. Bạn chỉ cần nhìn vào mẫu và xác định giá trị nào của ẩn khiến mẫu bằng 0, rồi loại trừ giá trị đó khỏi tập nghiệm. 

Ví dụ, nếu bạn có phương trình như sau:

$\frac{2x+3}{x-2} = 5$

Bạn phải đảm bảo rằng $x \neq 2$ vì nếu $x = 2$, mẫu sẽ bằng 0, và điều này làm cho phương trình trở nên vô nghĩa.

Bước 2: Quy đồng mẫu số của phương trình rồi khử mẫu.

Bước tiếp theo là xử lý cái mẫu số đó. Bạn không thể làm việc trực tiếp với mẫu số trong phương trình, vì thế bạn sẽ cần quy đồng hoặc loại bỏ mẫu đi. Cách dễ nhất là nhân cả hai vế của phương trình với một biểu thức sao cho tất cả các mẫu số đều biến mất. Thường thì bạn sẽ nhân với bội chung nhỏ nhất của các mẫu số.

Giả sử phương trình là:

$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = 1$

Bội chung nhỏ nhất của $x-1$ và $x+2$ là $(x-1)(x+2)$. Bạn sẽ nhân cả hai vế của phương trình với $(x-1)(x+2)$ để loại bỏ mẫu số.

Bước 3: Giải phương trình

Khi mẫu số đã được loại bỏ, việc của bạn bây giờ chỉ là giải một phương trình bình thường. Lúc này, phương trình có thể trở thành phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, và bạn đã có đủ kỹ năng để giải chúng. 

Ví dụ, sau khi loại bỏ mẫu ở phương trình trước, bạn có thể thu được:

$2(x+2) + 3(x-1) = (x-1)(x+2)$

Bây giờ chỉ cần nhân và rút gọn, rồi tìm ra giá trị của $x$.

Bước 4: Kết luận

Đừng quên kiểm tra lại nghiệm của mình với điều kiện xác định từ bước đầu tiên. Nếu giá trị của x nào đó làm mẫu số bằng 0, bạn phải loại trừ nó khỏi tập nghiệm. Sau đó bạn có thể kết luận phương trình.

Bài tập vận dụng 

Phương trình chứa ẩn ở mẫu giúp giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp, dưới đây mình sẽ giới thiệu hai dạng bài tập cơ bản và nâng cao. 

Bài tập cơ bản

Dưới đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu cơ bản:

$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = 1$

Cách giải:

Bước 1: Điều kiện xác định: chúng ta có mẫu số là $x-1$ và $x+2$, vì vậy, để phương trình có nghĩa, $x \neq 1$ và $x \neq -2$.

Bước 2: Quy đồng mẫu số Tiếp theo, chúng ta sẽ quy đồng để loại bỏ mẫu số. Ở đây, bội chung nhỏ nhất của hai mẫu là $(x-1)(x+2)$. Bạn nhân cả hai vế của phương trình với biểu thức này:

$\frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = (x-1)(x+2)$

Bước 3: Rút gọn Sau khi nhân và loại bỏ mẫu số, phương trình trở thành:

$2(x+2) + 3(x-1) = (x-1)(x+2)$

Giờ chỉ cần nhân tung các biểu thức ra và rút gọn:

$2x + 4 + 3x - 3 = x^2 + x - 2$

 $5x + 1 = x^2 + x - 2$

Tiếp tục đưa tất cả về một vế:

$0 = x^2 - 4x - 3$

Bước 4: Giải phương trình Đây là phương trình bậc hai đơn giản, bạn có thể giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định Cuối cùng, đừng quên kiểm tra xem các nghiệm có vi phạm điều kiện xác định không. Ở đây $x = 2 \pm \sqrt{7}$ không phải là $1$ hay $-2$, vì vậy cả hai nghiệm đều hợp lệ.

Bài tập nâng cao

Bây giờ chúng ta thử một bài phức tạp hơn để thử thách bản thân:

$\frac{x+1}{x^2 - 4} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x+2}$​

Cách giải:

Bước 1: Điều kiện xác định Ta có mẫu số là $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$,  nên điều kiện xác định ở đây là $x \neq 2$ và $x \neq -2$.

Bước 2: Quy đồng mẫu số Mẫu số chung của các phân thức này là $(x-2)(x+2)$. Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung này:

$(x+1) + 2(x+2) = 3(x-2)$

Bước 3: Rút gọn Sau khi loại bỏ mẫu số, phương trình trở thành:

$x+1 + 2x + 4 = 3x - 6$

Rút gọn hai vế:

$3x + 5 = 3x - 6$

Chuyển $3x$ sang cùng một vế:

$5 = -6$

Điều này là vô lý, nên bài toán này không có nghiệm nào cả.

Bài tập thêm

Giải các bài toán sau đây:

a) $\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-1} = \frac{1}{x^2 - 1}$

b) $\frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}$

c) $\frac{5x - 3}{x^2 + 3x} = \frac{2}{x}$

d) $\frac{2}{x^2 - x} - \frac{1}{x} = \frac{3}{x(x - 1)}$

Kết luận

Vậy là chúng ta đã cùng nhau lướt qua dạng bài phương trình chứa ẩn ở mẫu, từ việc kiểm tra điều kiện xác định, quy đồng, cho đến giải quyết chúng một cách gọn gàng. Dù lúc đầu có vẻ phức tạp, nhưng một khi đã nắm rõ cách làm, bạn sẽ thấy những phương trình này chẳng còn phức tạp. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn sẽ nắm bắt được những kiến thức về phương trình chứa ẩn ở mẫu trong bài này.