Tổng hợp kiến thức về đối xứng trục lớp 8

Kiến thức về đối xứng trục

Đối xứng trục là kiến thức mà các bạn sẽ gặp trong chương trình hình học SGK lớp 8. Dưới đây là các khái niệm cơ bản để nắm rõ hơn về lý thuyết này.

Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Hai điểm được coi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng d khi d là đường trung trực của đoạn thẳng nối giữa hai điểm đó.

Quy ước:

Nếu hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d, thì d phải là đường trung trực của đoạn AB.

Nếu điểm M nằm trên đường thẳng d, thì điểm đối xứng của M qua d chính là M.

Hai hình đối xứng trục qua đường thẳng

Định nghĩa: Hai hình được xem là đối xứng với nhau qua một đường thẳng d khi mỗi điểm của hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua d, và ngược lại.

Đường thẳng d trong trường hợp này được gọi là trục đối xứng của hai hình.

Hình có trục đối xứng

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

Chúng ta nói rằng hình H có trục đối xứng.

Các hình có trục đối xứng

Trong đường tròn, trục đối xứng là các đường kính, và vì có vô số đường kính nên đường tròn có vô số trục đối xứng.

Đối với tam giác cân, trục đối xứng là đường cao, trực tâm, đường trung tuyến, và đường phân giác xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy. Tam giác cân chỉ có duy nhất một trục đối xứng.

Trong tam giác đều, các trục đối xứng bao gồm đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, và đường phân giác. Tam giác đều có ba trục đối xứng.

Với hình thang cân, trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy, và hình thang cân chỉ có một trục đối xứng.

Đối với hình thoi, hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng, do đó hình thoi có hai trục đối xứng.

Hình vuông có bốn trục đối xứng, bao gồm hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm của mỗi cặp cạnh đối diện.

Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh đối diện.

Một đa giác đều có n cạnh thì có n trục đối xứng.

Bài tập đối xứng trục

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) D đối xứng với E qua AH.

b) Δ ADC đối xứng với Δ AEB qua AH.

a) Vì Δ ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là đường phân giác của góc A.

Theo giả thiết ta có AD = AE nên Δ ADE cân tại A nên AH là đường trung trực của DE

⇒ D đối xứng với E qua AH.

b) Vì Δ ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH cũng là trung trực của BC.

⇒ B đối xứng với C qua AH, E đối xứng D qua AH.

Mặt khác, ta có A đối xứng với A qua AH theo quy ước.

⇒ Δ ADC đối xứng Δ AEB qua AH.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến. Chứng minh AB và AC đối xứng nhau qua AM.

Vì ABC là tam giác cân tại A nên AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

=> AM ⊥ BC 

AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC mà AM ⊥ BC nên B đối xứng với C qua AM.

Mặt khác: A ∈ AM nên A đối xứng với A qua AM.

=> AB đối xứng AC qua AM

Bài tập nâng cao 

Bài 3: Cho Δ ABC có $\hat{A}$ = ${50}^o$, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE.

b) Tính số đo góc $\widehat{DAE}$ = ?

a) Theo giả thiết ta có:

+ D đối xứng M qua AB

+ E đối xứng M qua AC

+ A đối xứng A qua AB, AC

=> AD đối xứng AM qua AB, AE đối xứng AM qua AC.

Áp dụng tính chất đối xứng ta có: AD = AM; AM = AE 

=> AD = AE => (đpcm).

b) Theo ý câu a, ta có:

+ $\widehat{A1}$ đối xứng $\widehat{A2}$ qua AB

+ $\widehat{A3}$ đối xứng $\widehat{A4}$ qua AC

Áp dụng tính chất đối xứng trục, ta có:

$\widehat{A1}$ = $\widehat{A2}$; $\widehat{A3}$ = $\widehat{A4}$ => Tổng các góc $\widehat{A2}$+ $\widehat{A3}$= $\hat{A}$ = 50 độ => $\widehat{DAE}$ = 2$\hat{A}$ = ${100}^o$.

Vậy góc DAE = ${100}^o$.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AD, BC ở E và F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua O.

Vì ABCD là hình bình hành

=> AD // BC

=> $\widehat{DAO}=\widehat{BCO}$ (hai góc so le trong)

Có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

=> O là trung điểm của AC

=> AO = OC 

Xét tam giác AOE và tam giác COF có:

$\widehat{EAO}=\widehat{FCO}$ ($\widehat{DAO}=\widehat{BCO}$)

$\widehat{EOA}=\widehat{FOC}$ (hai góc đối đỉnh)

AO = OC

Do đó: ΔAOE = ΔCOF (g – c – g)

=> OE = OF (hai cạnh tương ứng)

Mà O, E, F thẳng hàng nên E đối xứng với F qua O.

Xem thêm: 

Tổng hợp kiến thức toán hình lớp 8

Khám phá kiến thức về hình thang lớp 8

Kết luận

Nhìn chung, đối xứng trục là một khái niệm lý thuyết có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Thông qua kiến thức mà trung tâm gia sư online Học là Giỏi chia sẻ về đối xứng trục, các bạn có thể tiếp cận và giải quyết các bài toán từ cơ bản đến nâng cao một cách logic và hiệu quả.