Khám phá kiến thức về hình thang lớp 8

Khái niệm về hình thang

Hình thang là một tứ giác (tức là một hình có bốn cạnh) luôn có hai cạnh đối song song với nhau. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy.

Ví dụ:

Hình thang ABCD (AB // CD):

Ta có:

+ AB và CD được gọi là các cạnh đáy. Trong đó, AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn.

+ AD và BC được gọi là các cạnh bên.

+ Gọi AH là đường cao kẻ từ A xuống CD. Khi đó, AH sẽ là đường cao của hình thang ABCD.

Tính chất của hình thang

Đối với hình tứ giác đặc biệt này, chúng ta có các tính chất quan trọng khi làm bài tập hay sử dụng để chứng minh trong hình học.

• Tính chất về góc

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng luôn bằng 180^o ( 2 góc nằm ở vị trí trong cùng phía của hai cạnh đáy). Đây là quy tắc của góc kề trong hình thang, xuất phát từ việc hai cạnh đáy của nó song song với nhau. 

• Tính chất về cạnh

- Hình thang nếu có hai cạnh đáy bằng nhau, hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.

- Hình thang nếu hai cạnh bên song song, hai cạnh đáy cũng sẽ bằng nhau.

Với hình thang cân, không chỉ hai cạnh bên và hai đáy có những đặc điểm như vậy, mà còn có một đặc điểm nữa: hai đường chéo của hình thang cân luôn bằng nhau. 

• Đường trung bình của hình thang

- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

- Tính chất: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.

Ví dụ: EF là đường trung bình của hình thang ABCD. Khi đó:

$EF= \frac{AB + CD}{2}$

Các dạng đặc biệt của hình thang

Ngoài dạng cơ bản, hình thang có các dạng đặc biệt mà các bạn cần phải lưu ý khi gặp phải trong các bài toán. 

Hình thang vuông

Định nghĩa: ABCD là hình thang có A = ${90}^o$ thì ABCD là hình thang vuông. 

Hình thang cân 

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Hình bình hành

Định nghĩa: là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau và hai cạnh bên song song bằng nhau.

Hình chữ nhật 

Định nghĩa: là hình thang vừa vuông vừa cân.

Các công thức tính hình thang

Hình thang có các công thức tính toán cần phải nhớ và lưu ý khi làm bài tập. Dưới đây là công thức cơ bản để tính diện tích và chu vi của hình thang.

Diện tích hình thang

Diện tích (S) = Nửa tích của tổng hai cạnh đáy với chiều cao.

$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$

Trong đó:

+ a và b là độ dài của hai cạnh đáy.

+ h là chiều cao của hình thang.

Ví dụ: Giả sử bạn có một hình thang với đáy nhỏ a là 4m, đáy lớn b là 6m, và chiều cao h là 3m. Cách tính diện tích sẽ như sau:

$S = \frac{(4 + 6) \times 3}{2} = \frac{10 \times 3}{2} = 15m²$

Chu vi hình thang

Chu vi của hình thang chính là tổng chiều dài của tất cả các cạnh của nó. 

$P = a + b + c + d$

 Trong đó:

+ a và b là độ dài của hai cạnh đáy.

+ c và d là độ dài của hai cạnh bên.

Ví dụ: Giả sử bạn có một hình thang với độ dài các cạnh như sau: đáy trên (a) là 5m, đáy dưới (b) là 7m, cạnh bên (c) là 3m, và cạnh bên còn lại (d) là 4m. Khi đó, chu vi sẽ được tính như sau:

$P = 5 + 7 + 3 + 4 = 19 \text{ m}$

Bài tập hình thang

Hình thang có nhiều dạng bài tập khá thú vị trong chương trình hình học lớp 8, dưới đây là hai dạng bài tập cơ bản và nâng cao. 

Bài tập cơ bản

Bài 1: Tính diện tích hình thang

Đề bài: Một hình thang có đáy lớn là 8m, đáy nhỏ là 5m, và chiều cao là 4m. Hãy tính diện tích của hình thang đó.

 Công thức tính diện tích của hình thang là:

$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$

Trong đó:

$a = 8m$ (đáy lớn),

$b = 5m$ (đáy nhỏ),

$h = 4m$ (chiều cao).

Chỉ cần thay số vào công thức:

$S = \frac{(8 + 5) \times 4}{2} = \frac{13 \times 4}{2} = 26m^2$

Vậy diện tích hình thang là 26$m^2$.

Bài 2: Tính chu vi hình thang

Đề bài: Một hình thang có các cạnh lần lượt là: đáy lớn 9m, đáy nhỏ 6m, cạnh bên thứ nhất 5m, cạnh bên thứ hai 7m. Hãy tính chu vi của hình thang.

Chu vi hình thang được tính bằng tổng độ dài của tất cả các cạnh:

$P = a + b + c + d$

Với $a = 9m$, $b = 6m$, $c = 5m$, và $d = 7m$. Ta có:

$P = 9 + 6 + 5 + 7 = 27m$

Vậy chu vi hình thang là 27m.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Tìm chiều cao hình thang

Đề bài: Một hình thang có diện tích là 48m², đáy lớn là 10m và đáy nhỏ là 6m. Hãy tính chiều cao của hình thang.

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang:

$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$

Thay giá trị của $S = 48m^2$, $a = 10m$, và $b = 6m$ vào:

$48 = \frac{(10 + 6) \times h}{2}$

Giải phương trình này, ta có:

$48 = \frac{16 \times h}{2}$

​ $48 = 8 \times h$

 $h = \frac{48}{8} = 6m$

Vậy chiều cao của hình thang là 6m.

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 4 cm, đáy lớn CD = 10 cm, cạnh bên BC = 5 cm. Tính đường cao AH.

Kẻ BI ⊥ CD tại I.

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có:

$\hat{\text{D}}=\hat{\text{C}}$

AD = BC

Do đó ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DH = CK.

Hay $DH=\frac{1}{2}(CD-AB)=\frac{1}{2}(10-4)=3\text{ (}cm).$

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADH vuông tại H, ta có:

$A{D}^2=A{H}^2+D{H}^2$

Suy ra $A{H}^2=A{D}^2-D{H}^2$$=5^2-3^2$ = 16.

Do đó AH = 4 cm.

Xem thêm:

Đường trung bình của tam giác

Hình thang cân

Kết luận

Nhìn chung, hình thang chứa đựng nhiều đặc điểm thú vị và hữu ích trong cả đời sống lẫn toán học. Từ các dạng đặc biệt như hình thang vuông, hình thang cân đến các công thức tính toán diện tích và chu vi, hình thang đem đến cho chúng ta những bài toán và ứng dụng thực tiễn. Qua bài học này, trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn đã nắm vững khái niệm và tính chất của hình thang để tự tin áp dụng vào những bài tập tiếp theo.