Đường trung bình của tam giác, hình thang toán lớp 8

Kiến thức cần nhớ 

Đường trung bình là một phương pháp toán học hữu ích giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khác nhau. Từ tam giác cho đến hình thang, các định lý về đường trung bình đều mang lại những cách tiếp cận mới mẻ và dễ hiểu hơn. Dưới đây là kiến thức cần nhớ về đường trung bình.

Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa

Trong toán học, đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bất kỳ trong tam giác. Mỗi tam giác có ba cạnh nên sẽ có ba đường trung bình, và mỗi đường trung bình sẽ song song với cạnh còn lại, đồng thời tạo ra các cặp cạnh có tỉ lệ với nhau. 

Đặc biệt, đối với các tam giác cân hoặc tam giác đều, đường trung bình có thể bằng nửa độ dài của cạnh còn lại.

Các tính chất đường trung bình tam giác

Tính chất 1: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng cắt qua một cạnh và song song với cạnh thứ hai, thì nó sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Chứng minh:

Gọi M là trung điểm của BC. 

Tam giác ABC có AD /AB = AE /AC = 1/2 , suy ra DE // BC (định lí Thales đảo). 

Tương tự ta chứng minh được EM // AB. Tứ giác DEMB có DE //BM và EM // DB 

Nên tứ giác DEMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành), suy ra DE = BM = 1/2 BC . 

Vậy DE // BC; DE = 1/2 BC

Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Tính chất 2: Đường trung bình của tam giác luôn song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa cạnh đó.

Trong trường hợp đặc biệt của tam giác vuông, nếu bạn nối hai trung điểm của hai cạnh góc vuông, đường trung bình sẽ song song với cạnh huyền. Còn nếu bạn nối trung điểm của một cạnh góc vuông với trung điểm của cạnh thường, thì đường trung bình sẽ vuông góc với một cạnh góc vuông.

Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa 

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Các tính chất đường trung bình hình thang

Tính chất 3: Trong một hình thang, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai đáy, thì đường thẳng đó sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Tính chất 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng một nửa tổng độ dài của hai đáy.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC và AB = 4( cm ) và CD = 7( cm ). Tính độ dài đoạn EF.

Ta có hình thang ABCD có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC

⇒ EF là đường trung bình của hình thang.

Áp dụng định lý 2, ta có EF = (AB + CD)/2

⇒ EF = (AB + CD)/2 = (4 + 7)/2 = 5,5( cm ).

Bài tập về đường trung bình

Đương trung bình có nhiều dạng bài tập khá thú vị trong chương trình hình học lớp 8, dưới đây là hai dạng bài tập cơ bản và nâng cao. 

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM.

Gọi E là trung điểm của DC.

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

E là trung điểm của CD (ta gọi).

Nên ME là đường trung bình của ∆BCD.

⇒ ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác).

Suy ra: DI // ME.

Lại có: AD = ½ DC (giả thiết).

DE = 1/2 DC (vì E là trung điểm của DC).

Suy ra AD = DE nên D là trung điểm của AE.

Xét tam giác AME có D là trung điểm của AE và DI // ME (cmt).

Suy ra I là trung điểm của AM (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy AI = IM

Bài 2: Cho ∆ABC( AB > AC ) có $\hat{A}$ = ${50}^o$. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC. Tính $\widehat{BEF}$ = ?

Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD và BCD.

Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:

( 1 )      FI//BD       

( 2 )      FI = a

( 3 )      EI = a      

( 4 )      EI//AC

Từ ( 1 ) ⇒ $\widehat{E1}$ = $\widehat{F1}$ (vì so le trong)       ( 5 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ FI = EI nên $\widehat{E2}$ = $\widehat{F1}$ (vì trong tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau)       ( 6 )

Từ ( 5 ) và ( 6 ) ⇒ $\widehat{E1}$ = $\widehat{E2}$

Từ ( 4 ) ⇒ $\widehat{BEI}$ = $\hat{A}$ = ${50}^o$ (vì đồng vị)

Mà $\widehat{BEI}$ = 2$\widehat{E1}$ ⇒ $\widehat{E1}$ = ${25}^o$

Bài nâng cao

Bài 3: Cho ∆ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Tính tỉ số AE/EC.

Xét ∆BEC có: 

M là trung điểm của BC; 

F là trung điểm của EC. 

Do đó, MF là đường trung bình của ∆BEC. 

Suy ra MF // BE. 

Xét ∆AMF có: 

D là trung điểm của AM; 

DE // MF (do MF // BE).

Do đó, DE là đường trung bình của ∆AMF. 

Suy ra E là trung điểm của AF nên AE = EF. 

Mà EF = FC = 1/2 EC (do F là trung điểm của EC) 

Do vậy, AE = EF = FC = 1/2 EC. 

Suy ra AE /EC = 1/2 .

Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có AB = 2cm,CD = 5cm,AD = 7cm. Gọi E là trung điểm của BC. Tính $\widehat{AED}$ = ?

Đặt $\widehat{E1}$ = α ,$\widehat{E2}$ = β ⇒ $\widehat{AED}$ = α + β

Do E là trung điểm của BC theo giả thiết vẽ I là trung điểm của AD thì AI = ID = AD/2 = 3,5( cm ).       ( 1 )

Ta có EI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang ABCD ta có:

IE = (AB + CD)/2 = (2 + 5)/2 = 3,5( cm )       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có:

IA = IE

IE = ID

A1 = E1 = α

D2 = E2 = β

 (vì trong tam giác, đối diện với hai cạn bằng nhau là hai góc bằng nhau)

+ Xét tam giác ADE có $\widehat{A1} + \widehat{AED} + \widehat{D2}$ = ${180}^o$

Hay α + α + β + β = 2( α + β ) = ${180}^o$ ⇒ α + β = ${90}^o$

Do α + β = ${90}^o$ nên AEDˆ = ${90}^o$.

Bài tập tự luyện

Bài 5: Cho ∆ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của ∆ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Bài 6: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh BF ⊥ AE.

Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh E, F, I thẳng hàng.

Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh EI // CD; IF // AB.

Xem thêm:

Hình thang

Hình thang cân

Kết luận

Đường trung bình trong tam giác và hình thang là một khái niệm ẩn chứa nhiều tính chất hình học thực tiễn, giúp rút ngắn và đơn giản hóa các bài toán liên quan đến tỷ lệ và song song. Qua bài học trên, trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng kiến thức trên giúp người học giải quyết những bài toán từ cơ bản đến nâng cao một cách hiệu quả và logic.