Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Tìm hiểu các kiến thức về hình thang cân

schedule.svg

Thứ ba, 8/10/2024 09:49 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Hình thang cân là một dạng tứ giác đặc biệt quen thuộc của hình học và đóng vai trò nhất định trong các ứng dụng thực tiễn. Đây là một phần quan trọng đối với kiến thức hình học và giúp chúng ta ứng dụng giải bài tập trong kiến thức phổ thông lớp 8. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá kỹ hơn về các kiến thức quan trọng về hình thang cân nhé.

Mục lục [Ẩn]

Lý thuyết về hình thang cân

Hình thang cân là một dạng đặc biệt của hình thang, có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Ví dụ: Ta có ABCD là hình thang cân với đáy là AB, CD <=> AB // CD và A^ = B^ hoặc C^ = D^

Lý thuyết về hình thang cân

Tính chất

Tính chất

Trong một hình thang cân có:

- Định lý 1: Hai cạnh bên sẽ có độ dài bằng nhau

Ví dụ: ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD => AD = BC

- Định lý 2: Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau 

Ví dụ: ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD => A^ = B^ hoặc C^ = D^

- Định lý 3: Hai đường chéo bằng nhau 

Ví dụ: ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD => AC = BD 

Chú ý:  Hình thang cân nội tiếp trong một đường tròn, có nghĩa là cả bốn đỉnh của hình thang cân đều nằm trên một đường tròn. 

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Một hình thang cân sẽ có những đặc điểm sau:

+ Có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau

+ Có hai đường chéo bằng nhau

+ Hình thang cân nội tiếp đường tròn

Lưu ý: Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng. Ví dụ tứ giác có hai cặp cạnh song song với nhau cũng có các cạnh bên bằng nhau, nhưng không phải là hình thang cân.

Bài tập hình thang cân

Bài tập cơ bản

Bài 1: Hình thang ABCD có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Hình thang ABCD có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Do góc ACD^ = BDC^ nên tam giác ECD có C1^ = D1^, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)

Tương tự do góc ACD = góc BDC và AB // CD, suy ra EAB^ = EBA^ 

Nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 2: Cho hình thang MNPQ (MN // PQ) có NMP^ = MNQ^ , E là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh hình thang MNPQ là hình thang cân.

Cho hình thang MNPQ (MN // PQ) có   N  M  P  ^     =     M  N  Q  ^   , E là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh hình thang MNPQ là hình thang cân.

Vì MN // QP nên NMP^ = MPQ^ và NQP^ = MNQ^ (các cặp góc so le trong) 

Mà NMP^ = MNQ^ ⇒ NMP^ = MPQ^ = NQP^ = MNQ^ . 

Δ MNE có NMP^ = MNQ^ nên Δ MNE cân tại E 

Suy ra ME = NE (1) 

Δ QEP có MPQ^ = NQP^ nên Δ QEP cân tại E 

Suy ra EQ = EP (2) 

Từ (1) và (2) ta có: ME + EP = NE +  EQ hay MP = NQ 

Suy ra MNPQ là hình thang cân.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

•Vì ABCD là hình thang cân nên BAD^ = ABC^ ; ADC^ = BCD^ ; AD = BC; AC = BD. 

Xét ∆DIC cân tại I (vì ADC^ = BCD^ ) nên IC = ID. 

Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA 

Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1) 

•Xét ∆ABD và ∆BAC có: 

AB là cạnh chung; 

BAD^ = ABC^ (chứng minh trên); 

AD = BC (chứng minh trên). 

Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c) 

Suy ra ABD^ = BAC^ (hai góc tương ứng). 

Tam giác JAB cân tại J (vì ABD^ = BAC^ ) nên JA = JB 

Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2) 

Từ (1) và (2) suy ra I,J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 4: Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.

Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED

Vì ABCD là hình thang cân nên DAB^ = ABC^ ; C^ = D^ ; AD = BC . 

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của BAD^ và ABC^ . 

Suy ra A1^ = A2^ = 12 DAB^ ; B1^ = B2^ = 12 ABC^ . 

Mà DAB^ = ABC^ nên A1^ = A2^ = B1^ = B2^ .

Xét tam giác EAB cân tại E (vì A1^ = B1^ ) nên EA = EB. 

Xét ∆ADE và ∆BCE có: 

EA = EB (chứng minh trên); 

A2^ = B2^ (chứng minh trên); 

AD = BC (chứng minh trên) 

Do đó ∆ADE = ∆BCE (c.g.c). 

Suy ra EC = ED

Bài tập vận dụng

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (với AB // CD). Hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại điểm K, điểm này nằm trên cạnh đáy DC. Từ K, vẽ đoạn thẳng KM vuông góc với AB tại M.

a) Hãy chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác cân.

b) Chứng minh rằng AM = BM.

Bài 6: Cho tam giác cân EFG với EF = EG. Trên hai cạnh EF và EG, lần lượt lấy các điểm H và I sao cho EH = EI. Hãy chứng minh rằng tứ giác HIGF là hình thang cân.

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4 cm, đáy lớn CD = 10 cm và cạnh bên BC = 5 cm. Hãy tính đường cao AH của hình thang này.

Bài 8: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, và AB < CD. Gọi G là giao điểm của hai cạnh AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh tam giác AGB cân tại G.

b) Chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác BAC bằng nhau.

c) Chứng minh rằng FC = FD.

Xem thêm:

Tổng hợp kiến thức về hình thang SGK lớp 8

Đường trung bình của tam giác

Kết luận

Sau khi đi qua những định lý và bài tập, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng hình thang cân cũng rất phổ biến trong các dạng bài chứng minh và tính toán. Qua bài học trên, trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn đã nắm vững kiến thức của hình thang cân để tự tin áp dụng vào những bài tập tiếp theo.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Tổng hợp công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn dễ nhớ
schedule

Thứ ba, 26/8/2025 09:12 AM

Tổng hợp công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn dễ nhớ

Trong thống kê và xác suất, cách dữ liệu phân tán quanh giá trị trung bình có ý nghĩa trong học tập cũng như thực tiễn. Hai công thức này thường được sử dụng để đo lường mức độ biến động đó chính là phương sai và độ lệch chuẩn. Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản về phương sai và độ lệch chuẩn, kèm theo bài tập minh họa dễ hiểu.

Tập hợp con là gì? Các trường hợp đặc biệt của tập hợp con
schedule

Thứ hai, 25/8/2025 09:45 AM

Tập hợp con là gì? Các trường hợp đặc biệt của tập hợp con

Khái niệm tập hợp hỗ trợ học sinh làm quen với cách mô tả và phân loại đối tượng trong môn toán cấp 3. Trong đó, tập hợp con là gì luôn là câu hỏi thường gặp bởi đây là kiến thức cơ bản nhưng lại có ứng dụng trong nhiều dạng bài tập. Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững khái niệm, tính chất và cách vận dụng tập hợp con một cách rõ ràng, dễ hiểu.

Tập hợp rỗng là gì? Các tính chất của tập hợp rỗng
schedule

Thứ hai, 25/8/2025 07:42 AM

Tập hợp rỗng là gì? Các tính chất của tập hợp rỗng

Trong toán học, khái niệm tập hợp rỗng thường gây thắc mắc cho nhiều học sinh khi mới làm quen. Hiểu đúng về tập hợp rỗng giúp các em sẽ tránh được những nhầm lẫn thường gặp trong quá trình giải toán, đặc biệt ở phần chứng minh, so sánh và vận dụng tập hợp trong các bài tập nâng cao. Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn định nghĩa và các tính chất về tập hợp rỗng thông qua bài viết dưới đây nhé.

Bí quyết luyện toán ôn thi vào 10 dễ đạt điểm cao
schedule

Thứ hai, 18/8/2025 08:35 AM

Bí quyết luyện toán ôn thi vào 10 dễ đạt điểm cao

Toán ôn thi vào 10 luôn là nỗi lo lớn của nhiều học sinh khi kỳ thi chuyển cấp. Đây là môn học đòi hỏi tư duy logic, khả năng phân tích. Nhiều em dù chăm chỉ học nhưng vẫn gặp khó khăn trong việc hệ thống kiến thức và làm quen với dạng đề thi. Học là GIỏi sẽ giúp các em có định hướng rõ ràng, tự tin hơn trên hành trình đạt điểm cao và chinh phục môn toán ôn thi vào 10 trong bài viết này nhé.

Hướng dẫn áp dụng dấu hiệu chia hết cho 11 hiệu quả
schedule

Thứ sáu, 8/8/2025 03:59 AM

Hướng dẫn áp dụng dấu hiệu chia hết cho 11 hiệu quả

Trong toán học, ngoài việc thực hiện phép chia thông thường còn có những mẹo giúp ta nhận biết nhanh dấu hiệu chia hết cho 11. Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu rõ quy tắc, cách vận dụng và thực hành qua các bài tập cơ bản đến nâng cao giúp bạn nắm chắc kiến thức và tự tin khi gặp dạng bài này nhé.

Cách nhận biết dấu hiệu chia hết cho 8 đơn giản
schedule

Thứ năm, 7/8/2025 09:46 AM

Cách nhận biết dấu hiệu chia hết cho 8 đơn giản

Dấu hiệu chia hết cho 8 là một kiến thức xuất hiện trong các dạng đề kiểm tra hoặc ở nhiều bài tập. Học là Giỏi sẽ giúp các bạn nắm vững các dạng toán về dấu hiệu chia hết cho 8​ để dễ dàng thực hiện phép chia phức tạp nhé.

message.svg zalo.png