Tìm hiểu các kiến thức về hình thang cân

Lý thuyết về hình thang cân

Hình thang cân là một dạng đặc biệt của hình thang, có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Ví dụ: Ta có ABCD là hình thang cân với đáy là AB, CD <=> AB // CD và $\hat{A} = \hat{B}$ hoặc $\hat{C} = \hat{D}$

Tính chất

Trong một hình thang cân có:

Định lý 1: Hai cạnh bên sẽ có độ dài bằng nhau

Ví dụ: ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD => AD = BC

Định lý 2: Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau 

Ví dụ: ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD => $\hat{A} = \hat{B}$ hoặc $\hat{C} = \hat{D}$

Định lý 3: Hai đường chéo bằng nhau 

Ví dụ: ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD => AC = BD 

Chú ý:  Hình thang cân nội tiếp trong một đường tròn, có nghĩa là cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn. 

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Một hình thang cân sẽ có những đặc điểm sau:

+ Có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau

+ Có hai đường chéo bằng nhau

+ Hình thang cân nội tiếp đường tròn

Lưu ý: Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng. Ví dụ tứ giác có hai cặp cạnh song song với nhau cũng có các cạnh bên bằng nhau, nhưng không phải là hình thang cân.

Bài tập hình thang cân

Để củng cố và vận dụng hiệu quả các kiến thức về hình thang cân, dưới đây được xây dựng từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng nhận dạng, chứng minh và tính toán, đồng thời nâng cao tư duy hình học và khả năng giải quyết vấn đề một cách logic.

Bài tập hình thang cân cơ bản

Bài 1: Hình thang ABCD có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Do góc $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$ nên tam giác ECD có $\widehat{C1} = \widehat{D1}$, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)

Tương tự do góc ACD = góc BDC và AB // CD, suy ra $\widehat{EAB} = \widehat{EBA}$

Nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 2: Cho hình thang MNPQ (MN // PQ) có $\widehat{NMP} = \widehat{MNQ}$ , E là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh hình thang MNPQ là hình thang cân.

Vì MN // QP nên $\widehat{NMP} = \widehat{MPQ}$ và $\widehat{NQP} = \widehat{MNQ}$ (các cặp góc so le trong)

Mà $\widehat{NMP} = \widehat{MNQ}$ ⇒ $\widehat{NMP} = \widehat{MPQ} = \widehat{NQP} = \widehat{MNQ}$.

Δ MNE có $\widehat{NMP} = \widehat{MNQ}$ nên Δ MNE cân tại E

Suy ra ME = NE (1)

Δ QEP có $\widehat{MPQ} = \widehat{NQP}$ nên Δ QEP cân tại E

Suy ra EQ = EP (2)

Từ (1) và (2) ta có: ME + EP = NE +  EQ hay MP = NQ

Suy ra MNPQ là hình thang cân.

Bài tập hình thang cân nâng cao

Bài 3: Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

•Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{BAD} = \widehat{ABC}$; $\widehat{ADC} =\widehat{ BCD}$; AD = BC; AC = BD.

Xét ∆DIC cân tại I (vì $\widehat{ADC} =\widehat{ BCD}$ ) nên IC = ID.

Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA

Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1)

•Xét ∆ABD và ∆BAC có:

AB là cạnh chung;

$\widehat{BAD} = \widehat{ABC}$ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ABD} = \widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác JAB cân tại J (vì $\widehat{ABD} = \widehat{BAC}$ ) nên JA = JB

Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra I,J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 4: Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.

Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{DAB} = \widehat{ABC}$; $\hat{C} = \hat{D}$; AD = BC.

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của $\widehat{BAD} và \widehat{ABC}$.

Suy ra $\widehat{A1} = \widehat{A2} = \frac{1}{2} \widehat{DAB}$; $\widehat{B1} = \widehat{B2} = \frac{1}{2} \widehat{ABC}$.

Mà $\widehat{DAB} = \widehat{ABC}$ nên $\widehat{A1} = \widehat{A2} = \widehat{B1} = \widehat{B2}$.

Xét tam giác EAB cân tại E (vì $\widehat{A1} = \widehat{B1}$ ) nên EA = EB.

Xét ∆ADE và ∆BCE có:

EA = EB (chứng minh trên)

$\widehat{A2} = \widehat{B2}$(chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆BCE (c.g.c).

Suy ra EC = ED

Bài tập vận dụng

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (với AB // CD). Hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại điểm K, điểm này nằm trên cạnh đáy DC. Từ K, vẽ đoạn thẳng KM vuông góc với AB tại M.

a) Hãy chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác cân.

b) Chứng minh rằng AM = BM.

Bài 6: Cho tam giác cân EFG với EF = EG. Trên hai cạnh EF và EG, lần lượt lấy các điểm H và I sao cho EH = EI. Hãy chứng minh rằng tứ giác HIGF là hình thang cân.

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4 cm, đáy lớn CD = 10 cm và cạnh bên BC = 5 cm. Hãy tính đường cao AH của hình thang này.

Bài 8: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, và AB < CD. Gọi G là giao điểm của hai cạnh AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh tam giác AGB cân tại G.

b) Chứng minh rằng tam giác ABD và tam giác BAC bằng nhau.

c) Chứng minh rằng FC = FD.

Xem thêm:

Tổng hợp kiến thức về hình thang SGK lớp 8

Đường trung bình của tam giác

Sau khi đi qua những định lý và bài tập, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng hình thang cân cũng rất phổ biến trong các dạng bài chứng minh và tính toán. Qua bài học trên, hệ thống giáo dục online Học là Giỏi hi vọng bạn đã nắm vững kiến thức trên để tự tin áp dụng vào những bài tập tiếp theo.