Tất tần tật các công thức toán đại số 9 học kì 1 - Cánh Diều

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất

Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình tích có dạng $(a x+b)(c x+d)=0(a \neq 0, c \neq 0)$.

Để giải phương trình tích $(a x+b)(c x+d)=0$ với $a \neq 0$ và $c \neq 0$, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: $a x+b=0$ và $c x+d=0$

Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

Ví dụ: Giải phương trình: $(4 x+5)(3 x-2)=0$.

Bài giải

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

$\text { *) } \begin{aligned}4 x+5 & =0 \\x & =-\frac{5}{4} ;\end{aligned}$

$\text { *) } \begin{aligned}3 x-2 & =0 \\x & = \frac{2}{3}.\end{aligned}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $-\frac{5}{4} $ và $x=\frac{2}{3}$.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau:

- Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

- Buớc 3. Giải phương trình vừa tìm được.

- Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình: $\frac{x^2}{2-x}+\frac{3 x-1}{3}=\frac{5}{3}$

Bài giải

Điều kiện xác định: $2-x \neq 0$ hay $x \neq 2$.

$\begin{aligned}\frac{x^2}{2-x}+\frac{3 x-1}{3} & =\frac{5}{3} \\\frac{3 x^2}{3(2-x)}+\frac{(3 x-1)(2-x)}{3(2-x)} & =\frac{5(2-x)}{3(2-x)} \\3 x^2+(3 x-1)(2-x) & =5(2-x) \\3 x^2+6 x-3 x^2-2+x & =10-5 x \\7 x-2 & =10-5 x \\12 x & =12 \\x & =1 .\end{aligned}$

Ta thấy $x=1$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1$.

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là hệ thức dạng: $a x+b y=c$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước, $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$.

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y: \quad ax+b y=c$.

Nếu $a x_0+b y_0=c$ là một khẳng định đúng thì cặp số $\left(x_0 ; y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của phương trình $ax+b y=c$.

Chú ý

- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, mỗi nghiệm của phương trình $ax+b y=c$ được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm $\left(x_0 ; y_0\right)$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $\left(x_0 ; y_0\right)$.

- Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\left\{\begin{array}{l}a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}\end{array}\right.$ (I), ở đó mō̃i phương trình $ax+b y=c$ và $a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}$ đéu là phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Nếu cặp số $\left(x_0 ; y_0\right)$ là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số $\left(x_0 ; y_0\right)$ được gọi là nghiệm của hệ ( $\mathbf{l}$

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế theo các bước sau:

- Bước 1. (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

- Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

- Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}12 x-4 y=-16 (1) \\3 x-y=-4  (2) \end{array}\right.$

Bài giải

Từ phương trình (2), ta có:

$y=3 x+4$

Thay vào phương trình (1), ta được: $12 x-4(3 x+4)=-16$ (4).

Giải phương trình (4):

$\begin{aligned}12 x-4(3 x+4) & =-16 \\12 x-12 x-16 & =-16 \\0 x & =0 .\end{aligned}$

Do đó, phương trình (4) có vô số nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số theo các bước sau:

- Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cân) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

- Bước 2. (Đưa về phương trình một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 , tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

- Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thế giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y & =4  (1) \\ -2 x+3 y & =-7  (2) \end{aligned}\right.$

Bài giải

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 và nhân hai vế của phương trình (2) với 3 , ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{aligned} 6 x+4 y & =8 (3)\\ -6 x+9 y & =-21   (4) \end{aligned}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $13 y=-13$ (5) 

Giải phương trình (5), ta có:

$\begin{aligned}13 y & =-13 \\y & =-1 .\end{aligned}$

Thế giá trị $y=-1$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $\quad 3 x+2 \cdot(-1)=4 \quad$ (6)

Giải phương trình (6):

$\begin{aligned}3 x+2 \cdot(-1) & =4 \\3 x & =6 \\x & =2 .\end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x ; y)=(2 ;-1)$.

Bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a<b$ (hay $a>b, a \leq b, a \geq b$ ) là bất đẳng thức và gọi $a$ là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý

- Hai bất đẳng thức $a<b$ và $c<d$ (hay $a>b$ và $c>d$ ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

- Hai bất đẳng thức $a<b$ và $c>d$ (hay $a>b$ và $c<d$ ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất

* Ta thừa nhận các khẳng định sau:

Với hai số thực $a$ và $b$, ta có:

- Nếu $a>b$ thì $a-b>0$. Ngược lại, nếu $a-b>0$ thì $a>b$.

- Nếu $a<b$ thì $a-b<0$. Ngược lại, nếu $a-b<0$ thì $a<b$.

- Nếu $a \geq b$ thì $a-b \geq 0$. Ngược lại, nếu $a-b \geq 0$ thì $a \geq b$.

- Nếu $a \leq b$ thì $a-b \leq 0$. Ngược lại, nếu $a-b \leq 0$ thì $a \leq b$.

Nhận xét: Do khẳng định nêu trên, để chứng minh $a>b$, ta có thể chứng minh $a-b>0$ hoặc chứng minh $b-a<0$.

* Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bắt đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đā cho.

Như vậy, nếu $a>b$ thì $a+c>b+c$ vơ̂i mọi số thực $c$.

Tương tự, nếu $a \geq b$ thì $a+c \geq b+c$ với mọi số thực $c$.

* Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bắt đảng thức mới cùng chiếu với bất đẳng thức đā cho.

Với ba số $a, b, c$ mà $c>0$, ta có:

- Nếu $a>b$ thì $a c>b c$;

- Nếu $a<b$ thì $a c<b c$;

- Nếu $a \geq b$ thì $a c \geq b c$;

- Nếu $a \leq b$ thì $a c \leq b c$.

* Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Như vậy, với ba số $a, b, c$ mà $c<0$, ta có:

- Nếu $a>b$ thì $a c<b c$;

- Nếu $a<b$ thì $a c>b c$;

- Nếu $a \geq b$ thì $a c \leq b c$;

- Nếu $a \leq b$ thì $a c \geq b c$.

Nếu $a>b$ và $b>c$ thì $a>c$.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Khái niệm

- Một bất phương trình với ẩn $x$ có dạng $A(x)>B(x)$ (hoặc $A(x)<B(x), A(x) \geq B(x)$, $A(x) \leq B(x))$ trong đó vế trái $A(x)$ và vế phải $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến $x$.

- Khi thay giá trị $x=a$ vào bất phương trình với ẩn $x$, ta được một khẳng định đúng thì số $a$ (hay giá trị $x=a$ ) gọi là nghiệm của bất phương trình đó.

Bất phương trình dạng $a x+b>0$ (hoặc $a x+b<0, a x+b \geq 0, a x+b \leq 0)$ với $a, b$ là hai số đã cho và $a$ = 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải

* Bất phương trình $a x+b>0(với a>0)$ được giải như sau:

$\begin{aligned}a x+b & >0 \\a x & >-b \\x & >\frac{-b}{a} .\end{aligned}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:

$x>\frac{-b}{a} .$

* Bất phương trình $a x+b>0($ với $a<0)$ được giải như sau:

$\begin{aligned}a x+b & >0 \\a x & >-b \\x & <\frac{-b}{a} .\end{aligned}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<\frac{-b}{a} .$

Căn bậc hai

Một số công thức cần nhớ

- $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2 \sqrt{a b}+b$

- $(1+\sqrt{a})^2=1+2 \sqrt{a}+a$

- $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2 \sqrt{a b}+b$

- $(1-\sqrt{a})^2=1-2 \sqrt{a}+a$

- $a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

- $a \sqrt{a}+b \sqrt{b}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{a b}+b)$

- $a \sqrt{a}-b \sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{a b}+b)$

- $1-a \sqrt{a}=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)$

- $1+a \sqrt{a}=(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)$

- $a \sqrt{b}+b \sqrt{a}=(\sqrt{a b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

- $a \sqrt{b}-b \sqrt{a}=(\sqrt{a b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Cách tìm điều kiện xác định

$\sqrt{\mathrm{A}}$ có nghĩa khi $\mathrm{A} \geq 0$

$\mathrm{A}(\mathrm{x})$ là đa thức $\Rightarrow \mathrm{A}(\mathrm{x})$ luôn có nghĩa

$\frac{A(x)}{B(x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow B(x) \neq 0$

$\sqrt{A(x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow A(x) \geq 0$

$\frac{A(x)}{\sqrt{B(x)}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow B(x)>0$

Các công thức biến đổi căn thức

+) $\sqrt{A^2}=|A|=\left\{\begin{array}{c}A \quad \text{nếu} \quad A \ge 0 \\-A \quad \text{nếu} \quad A < 0\end{array}\right.$

+) Nếu A không âm thì:

$\sqrt{A^2}= A=\sqrt{A} \cdot \sqrt{A}=(\sqrt{A})^2$

$\sqrt{A \cdot B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ với $A\geq 0 ; B \geq 0$

Tổng quát:

$\begin{aligned}& \sqrt{A_1 A_2 \ldots A_n}=\sqrt{A_1} \cdot \sqrt{A_2} \cdots \sqrt{A_n} \text { với } A_i \geq 0(1 \leq i \\& \leq n \text { ) } \\& +) \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}(\text { với } A \geq 0, B \geq 0) \\&\end{aligned}$

+) Đưa thừa số $A^2$ ra ngoài dấu căn bậc hai t được $|A|$.

Ta có: $\sqrt{A^2 B}=|A| \sqrt{B}$

+) Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

$\begin{aligned}& A \sqrt{B}=\sqrt{A^2 B}(\text { với } A \geq 0) \\& A \sqrt{B}=-\sqrt{A^2 B}(\text{ với } A<0)\end{aligned}$

+) Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai:

Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là một bình phương.

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A \cdot B}{B^2}}=\frac{\sqrt{A \cdot B}}{|B|}(\text { với } B \neq 0, A \cdot B \geq 0)$

+) Trục căn thức ở mẫu số:

Trường hợp 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với căn thức.

$\begin{gathered}\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A \sqrt{B}}{B} \quad(B>0) \\ \frac{A}{a \sqrt{B}}=\frac{A \cdot \sqrt{B}}{a \cdot(\sqrt{B})^2}=\frac{A \cdot \sqrt{B}}{a \cdot B}\end{gathered}$

Trường hợp 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

- $A - B$ và $A+\mathrm{B}$ là hai biểu thức liên hợp với nhau.

- $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$

- $\frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A-B^2} \quad\left(A \geq 0 ; A \neq B^2\right)$

- $\frac{m}{A+\sqrt{B}}=\frac{m\cdot(A-\sqrt{B})}{(A+\sqrt{B})(A-\sqrt{B})}=\frac{m\cdot(A-\sqrt{B})}{A^2-B}$

- $\frac{m}{A-\sqrt{B}}=\frac{m\cdot(A+\sqrt{B})}{(A-\sqrt{B})(A+\sqrt{B})}=\frac{m\cdot(A+\sqrt{B})}{A^2-B}$

- $\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B} \quad(A \geq 0 ; B \geq 0 ; A \neq B)$

- $\frac{m}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{m\cdot(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{A}-\sqrt{B})}=\frac{m \cdot(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}$.

- $\frac{m}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{m\cdot(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}=\frac{m \cdot(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}$.

Phương trình chứa căn bậc hai

(1) $\sqrt{A^2}=0 \Leftrightarrow|A|=0 \Leftrightarrow A=0$

(2) $\sqrt{A}=\sqrt{B} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B\end{array}(\right.$ hoặc $A \geq 0)$

(3) $\sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^2\end{array}\right.$

(4) $\sqrt{A}+\sqrt{B}=0 \Leftrightarrow A=0$ và $B=0$

Căn bậc ba

$\begin{aligned} & \text { +) }(\sqrt[3]{a})^3=\sqrt[3]{a^3}=a \\ & \text { +) } \mathrm{a}<b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b} \\ & \text { +) } \sqrt[3]{a b}=\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \\ & \text { +) Với } b \neq 0, \text { ta có } \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\end{aligned}$

Xem thêm:

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong Toán lớp 8

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi
 

Bài viết trên đây tổng hợp các công thức toán đại số 9 học kì 1 bộ Cánh Diều, Học là Giỏi hi vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn ôn luyện thật tốt. Đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo và cập nhật những kiến thức liên quan khác. Chúc bạn thành công!