Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây

Khái niệm cung và dây cung

Để hiểu rõ mối liên hệ giữa cung và dây cung, trước hết ta sẽ tìm hiểu lý thuyết và các tính chất cơ bản về cung và dây cung.

Cung của đường tròn

Trong hình học, cung tròn được hiểu là một phần của chu vi thuộc một đường tròn khép kín. Nói cách khác, cung tròn là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn, nằm giữa hai điểm mút được xác định trước. Ký hiệu “⌒” thường được sử dụng để biểu thị cung tròn.

Để tính độ dài của một cung tròn, cần đo góc tạo thành giữa hai bán kính nối tâm đường tròn với hai điểm mút, sau đó áp dụng công thức:

$\frac{\text{Số đo góc của cung}}{360^{\circ }}=\frac{L}{\text{Chu vi đường tròn}}$

Trong đó, L là độ dài cung tròn cần tính.

Dây cung của đường tròn

Dây hay dây cung là một đoạn thẳng nối liền hai điểm nằm trên cùng một đường tròn.

Nếu đường thẳng chứa dây cung này kéo dài, nó được gọi là một cát tuyến của đường tròn.

Tính chất đặc biệt của dây cung

- Hai dây cung trong cùng một đường tròn có độ dài bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách tâm đường tròn một khoảng bằng nhau.

- Đường trung trực của bất kỳ dây cung nào luôn đi qua tâm của đường tròn.

- Nếu hai đường cát tuyến tương ứng với hai dây cung cắt nhau tại một điểm, điểm đó thỏa mãn tính chất phương tích.

- Trong một đường tròn, nếu hai dây cung chắn hai góc bằng nhau hoặc nếu hai góc được chắn bởi cùng một dây cung, thì hai góc đó sẽ bằng nhau.

Mối liên hệ giữa cung và dây cung

Cung và dây cung được chia làm 2 định lý cơ bản thể hiện mối quan hệ mật thiết với nhau trong hình tròn. Dưới đây là các định lý mà bạn cần lưu ý:

Định lý 1

Trong cùng một đường tròn hoặc trong hai đường tròn có bán kính bằng nhau:

- Nếu hai cung nhỏ bằng nhau, chúng sẽ căng hai dây có độ dài bằng nhau.

- Ngược lại, nếu hai dây có độ dài bằng nhau, chúng sẽ căng hai cung nhỏ bằng nhau.

Ví dụ minh họa:

Nếu $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$, thì $AB = CD$, và ngược lại.

Định lý 2

Trong cùng một đường tròn hoặc trong hai đường tròn có bán kính bằng nhau:

- Nếu một cung lớn hơn, nó sẽ căng một dây dài hơn.

- Ngược lại, nếu một dây dài hơn, nó sẽ căng một cung lớn hơn.

Ví dụ minh họa:

Nếu $\stackrel{⏜}{AB}>\stackrel{⏜}{CD}$, thì AB>CD, và ngược lại.

Lưu ý: 

- Trong một đường tròn, nếu hai dây song song thì các cung nằm giữa chúng sẽ có độ dài bằng nhau.

- Đường kính đi qua tâm của một cung cũng sẽ đi qua trung điểm của dây cung căng cung đó.

- Nếu đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không đi qua tâm), nó cũng sẽ đi qua điểm chính giữa của cung được căng bởi dây đó.

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung sẽ vuông góc với dây cung căng cung đó, và điều này cũng đúng theo chiều ngược lại.

Bài tập liên hệ giữa cung và dây

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn tâm O với đường kính AB, cung AC có số đo nhỏ hơn $90^\circ$. Kẻ dây CD vuông góc với đường kính AB và dây DE song song với AB. Chứng minh rằng: $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BE}$.

Giải

Do CD⊥AB và AB//DE, suy ra CD⊥DE.

Từ đó, CE là đường kính của đường tròn (O).

Xét hai tam giác △AOC và △BOE:

+ OA=OB (bán kính đường tròn),

+ $\widehat{AOC}=\widehat{BOE}$ (cùng chắn cung CE),

+ OC=OE (bán kính đường tròn).

Do đó, △AOC≅△BOE (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Vậy suy ra: $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BE}$.

Bài 2: Đề bài:

a) Vẽ đường tròn (O;R=2 cm). Hướng dẫn cách vẽ cung AB có số đo $60^\circ$ và tính độ dài dây AB.
b) Hướng dẫn cách chia một đường tròn thành sáu cung bằng nhau.

Giải

a) Vẽ cung AB có số đo $60^\circ$:

Vẽ đường tròn (O;R=2 cm).

Chọn điểm A bất kỳ trên đường tròn.

Lấy A làm tâm, vẽ một đường tròn bán kính 2 cm (bằng bán kính của (O)). Đường tròn này sẽ cắt (O) tại điểm B.

Nối OA và OB.

Do OA=OB=AB=2 cm, tam giác AOB là tam giác đều. Góc ở tâm $\widehat{AOB}=60^{\circ }$, nên số đo cung AB cũng bằng $60^\circ$ (theo định lý cung chắn góc ở tâm).

Tính độ dài dây AB:
Tam giác AOB đều, nên độ dài dây AB được tính theo công thức:

$AB = R \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} \approx 3.46 \, \text{cm}.$

b) Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:

Vẽ đường tròn tâm O với bán kính bất kỳ.

Chọn điểm A bất kỳ trên đường tròn.

Lấy điểm A làm tâm, vẽ một đường tròn bán kính bằng OA. Đường tròn này sẽ cắt (O) tại điểm B.

Tiếp tục lấy điểm B làm tâm, vẽ một đường tròn bán kính bằng OB. Đường tròn này sẽ cắt (O) tại điểm C.

Lặp lại quá trình trên để lần lượt xác định các điểm D, E, và F trên đường tròn (O).

Nối các điểm A, B, C, D, E, và F với tâm O để tạo thành 6 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo $60^\circ$.

Vậy các cung AB, BC, CD, DE, EF, và FA có độ dài bằng nhau.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho tam giác △ABC. Trên tia đối của AB, lấy điểm D sao cho AD=AC. Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp △BCD. Từ tâm O, hạ các đường vuông góc OH và OK lần lượt đến BC và BD (với H∈BC và K∈BD).

a) Chứng minh rằng cung OH> cung OK.
b) So sánh hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BD} và \stackrel{⏜}{BC}$

Giải

a) Chứng minh OH>OK:

Để chứng minh OH>OK, ta cần chứng minh BC<BD.

Xét tam giác △ABC:
Theo bất đẳng thức tam giác:

BC<AB+AC.

Do AC=AD (theo giả thiết), ta có:

BC<AB+AD.

Mặt khác, AB+AD=BD, nên:

BC<BD.

Trong đường tròn (O) ngoại tiếp △BCD, dây BD lớn hơn dây BC. Theo định lý về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, dây nào lớn hơn sẽ gần tâm hơn. Do đó:

OK<OH.

Suy ra, cung $\stackrel{⏜}{OK}<\stackrel{⏜}{OH}$.

b) So sánh hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BD} và \stackrel{⏜}{BC}$:

Từ câu a, ta có OK<OH, nghĩa là BD>BC (theo định lý: dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn).

Do đó, cung $\stackrel{⏜}{BD}>\stackrel{⏜}{BC}$.

Xem thêm:

Tổng quát các kiến thức cơ bản về đường tròn

Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn

Kết luận

Qua việc khám phá mối liên hệ giữa cung và dây cung, chúng ta đã hiểu rõ hơn về các tính chất cơ bản. Những kiến thức này sẽ hỗ trợ giải quyết các bài toán đường tròn nâng cao khi có cung và dây cung. Vì vậy, Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã tiếp thu lý thuyết và sẵn sàng đối mặt với các bài toán khó hơn trong tương lai về mối liên hệ giữa cung và dây cung này nhé.