Tổng quát kiến thức về hình bình hành lớp 8

Kiến thức cần nhớ

Hình bình hành là một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau.

Ví dụ: Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AB // CD và AD // BC

Từ định nghĩa trên, có thể suy ra rằng: Đây là một trường hợp đặc biệt của hình thang (trong đó các cạnh bên cũng song song với nhau).

Tính chất 

Đây là hình có các tính chất đặc biệt hơn so với hình thang thông thường. Dưới đây là các tính chất đó:

Trong hình bình hành sẽ chứa:

+ Các cạnh đối bằng nhau

+ Các góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại E. Khi đó:

• AB = CD, AD = BC

•$\widehat{BAD }$= $\widehat{BCD}$; $\widehat{ABC }$= $\widehat{ADC}$

• EA = EC, EB = ED

Dấu hiệu nhận biết 

Dấu hiệu nhận biết là những yếu tố giúp bạn chứng minh một tứ giác là hình bình hành. Các dấu hiệu nhận biết bao gồm:

+ Tứ giác có các cạnh đối song song 

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau 

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau 

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau 

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Công thức tính chu vi 

Chu vi của hình bình hành được tính bằng tổng độ dài bốn cạnh của hình đó. Ngoài ra ta có thể nói chu vi sẽ bằng hai lần tổng độ dài một cặp cạnh kề nhau bất kì. Ta có công thức sau:

P = a + a + b + b = 2(a + b)

Trong đó, a và b là độ dài của hai cạnh kề nhau.

Công thức tính diện tích 

Để tính diện tích của hình bình hành, bạn cần nhân chiều cao với cạnh đáy tương ứng. Ta có công thức sau:

S=a×h

Trong đó:

+ a là độ dài cạnh đáy.

+ h là chiều cao của hình, tức là khoảng cách vuông góc từ đỉnh đối diện xuống cạnh đáy.

Bài tập vận dụng

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho hình bình hành có cạnh đáy bằng 12cm, cạnh bên bằng 7cm, chiều cao bằng 5cm. Hãy tính chu vi và diện tích của hình đó?

Giải

Chu vi của hình là:

P = 2( 12 + 7) = 38 (cm)

Diện tích hình là:

S = a.h = 12.5 = 60 ($c{m}^2$)

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a. Chứng minh: AF // CE

b. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE. Chứng minh: DM = MN = NB

Giải

a. Vì ABCD là hình bình hành:

⇒ AB = CD (tính chất)

mà E thuộc AB và F thuộc DC ⇒ AE // FC

Vì E, F là trung điểm của AB và CD

⇒ AE = EB = DF = FC

Xét tứ giác AECF có:

AE = FC và AE // FC

⇒ AECF là hình bình hành (DHNB) ⇒ AF // EC (tính chất)

b. Gọi AC giao BD tại O

Xét tam giác ADC có:

DO, AF là trung tuyến (AO = OC, DF = FC)

AF giao DO tại M

⇒ M là trọng tâm của tam giác ADC

⇒ DM = 2/3 DO = 2/3 BO (1)

và OM = 1/3 DO = 1/3 BO (2) (do DO = BO)

Xét tam giác ABC có:

BO, CE là trung tuyến

BO giao CE tại N

⇒ N là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ BN = 2/3 BO (3)

và ON = 1/3 BO (4)

Từ (2), (4) ⇒ MN = OM + ON = 1/3 BO + 1/3 BO = 2/3 BO (5)

Từ (1), (3) và (5) ⇒ DM = BN = MN

Bài tập nâng cao

Bài 3: Hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung điểm của OD và OB.

a. Chứng minh: AE // CF

b. Gọi AE giao CD tại K. Chứng minh: DK = 1/2 KC

Giải

a. AC giao BD tại O ⇒ OD = BO

Vì E, F là trung điểm của DO và BO ⇒ DE = EO = OF = FB

Xét tứ giác AFCE có:

AC giao EF tại O

OA = OC

OE = OF

⇒ AFCE là hình bình hành (DHNB)

⇒ AE // CF (tính chất)

b. Từ O kẻ OM // EK

Xét tam giác DOM có:

OM // EK

và E là trung điểm của DO

⇒ K là tung điểm của DM ⇒ DK = KM (1)

Xét tam giác CDK có:

OM // AK 

và O là trung điểm của AC

⇒ M là trung điểm của KC ⇒ CM = KM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KM = CM

mà KM + CM = KC

⇒ DK = 1/2 KC

Bài 4: Tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD.

a. Chứng minh: EFGH là hình bình hành

b. Cho AD = a, BC = b. Tính chu vi hình hình hành EFGH

Giải

a. Xét tam giác ABD có:

F và E lần lượt là trung điểm của AB, BD ⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABD

⇒ EF // AD (1)

và EF = 1/2 AD (2)

Tương tự, ta có GH là đường trung bình của tam giác ACD

⇒ GH // AD (3)

và GH = 1/2 AD (4)

Từ (1) và (3) ⇒ EF // GH

(2) và (4) ⇒ EF = GH

⇒ tứ giác GHEF là hình bình hành

b. Ta có: GH = EF = 1/2 AD = 1/2 a

FG = HE = 1/2 BC = 1/2 b

Chu vi của GFEH là:

C = (1/2 a + 1/2 b) .2 = a + b

Bài 5: Cho tam giác ABH, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh:

a. BDCH là hình bình hành

b. $\widehat{BAC }$+ $\widehat{BDC }$= 180°

c. H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm BC)

Giải

a. Ta có: CH ⊥ AB

và BD ⊥ AB 

⇒ CH // DB (1)

Lại có: BH ⊥ AC

và CD ⊥ AC

⇒ BH // CD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BHCD là hình bình hành (DHNB)

b. Tứ giác ABCD có:

$\widehat{BAC}$+ $\widehat{ABD}$ + $\widehat{BDC }$+ $\widehat{ACD}$ = 360°

⇒ $\widehat{BAC }$+ 90° + BDC + 90° = 360°

⇒ $\widehat{BAC }$+ $\widehat{BDC }$= 180°

c. Vì BHCD là hình bình hành nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

Ta có: M là tung điểm của BC

⇒ M là trung điểm của HD

⇒ H, M, D thẳng hàng

Xem thêm:

Hình thang

Hình thang cân

Kết luận

Thông qua các khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết và cả các bài tập liên quan, bạn thấy rằng hình bình hành xuất hiện phổ biến qua các bài toán hình học và thử thách về không gian, đường chéo, và những mối liên hệ toán học sâu sắc. Qua bài học này, trung tâm gia sư online Học là Giỏi hi vọng bạn đã hiểu rõ kiến thức về hình đặc biệt này và dễ dàng ứng dụng trong các bài toán sau này.