Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp

Khái niệm góc nội tiếp

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn, với hai cạnh đi qua và chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Phần cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn bởi góc này.

Ví dụ: Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB.

Định lý góc nội tiếp

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn bởi góc đó.

Ví dụ: Cho hình vẽ dưới đây:

Góc $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC (hình 1) hoặc chắn cung lớn BC (hình 2).

Theo tính chất góc nội tiếp:

$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\text{sđ cung BC}\mathrm{.}$

Tính chất góc nội tiếp

Trong một đường tròn, các tính chất sau được thỏa mãn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau sẽ chắn các cung bằng nhau.

b) Nếu các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung có độ dài bằng nhau, thì các góc này cũng bằng nhau.

c) Một góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90∘ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn là góc vuông.

Bài tập góc nội tiếp

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác △ABC cân tại A với $\hat{A}=90^{\circ }$. Vẽ đường tròn đường kính AB, đường tròn này cắt BC tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng tam giác △DBE cân.

Giải

Ta có:

$\begin{array}{cccc} & \widehat{EBD}=\frac{1}{2}\text{sđ cung }DE,\widehat{ BED}=\frac{1}{2}\text{sđ cung }BD\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$

Góc $\widehat{BDA}=90^{\circ }$(do $\widehat{BDA}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒ AD⊥BC.

Vì tam giác △ABC cân tại A, nên AD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$.

Do đó, ta có:

$\begin{array}{cccc} & \widehat{BAD}=\widehat{DAE},\text{và }\widehat{EBD}=\widehat{BED}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$

Từ (1) và (2), suy ra:

$\widehat{DBE} = \widehat{DEB}.$

Điều này dẫn đến DE=DB.

Vậy tam giác △DBE cân tại D.

Bài 2: Cho đường tròn (O;R) có đường kính BC cố định. Điểm A di chuyển trên đường tròn, khác B và C. Vẽ đường kính AOD. Xác định vị trí của điểm A để diện tích △ABC đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\widehat{ADC} = ?$.

Giải

Vẽ đường cao AH của tam giác △ABC.

Trong tam giác △AHO vuông tại H, ta có:

AH≤AO

(dấu bằng xảy ra khi H trùng với O).

Diện tích tam giác:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC \leq \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot 2R = R^2$

(dấu bằng xảy ra khi H trùng với O).

Vậy diện tích △ABC đạt giá trị lớn nhất khi H trùng với O.

Khi đó, A là điểm chính giữa cung BC không chứa O.

Do đó, ta suy ra:

$\widehat{ADC} = 45^\circ.$

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2cm, dây CD//AB ($C\in cung AD$). Tính độ dài các cạnh của hình thang ABCD biết chu vi hình thang bằng 5cm.

Giải

Do CD//AB, ta có AC=BD, tức là AC=BD.

Tứ giác ACDB có AC//AB, nên là hình thang.

Ngoài ra, vì AC=BD, nên ACDB là hình thang cân.

Đặt $AC = BD = x \, (x > 0)$.

Chu vi hình thang cân:

AB+BD+CD+AC=5⟹2+2x+CD=5⟹CD=3−2x.

Kẻ DN và CM vuông góc với AB.

Ta có:

$NB = MA = \frac{AB - CD}{2} = \frac{2 - (3 - 2x)}{2} = x - \frac{1}{2}.$

Xét tam giác vuông △DAB, vuông tại D, với DN⊥AB:

$BD^2 = BN \cdot AB \implies x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right) \cdot 2.$

Giải phương trình:

$x^2 = 2x - 1 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1.$

Vậy:

AC=BD=1cm,CD=3−2x=1cm.

Kết luận:
Các cạnh của hình thang ABCD là:

AB=2cm, AC=BD=1cm, CD=1cm.

Xem thêm: 

Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây

Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn 

Kết luận

Thông qua bài học hôm nay, góc nội tiếp là một kiến thức quan trọng trong chương trình học giúp ta rèn luyện khả năng tư duy logic và phân tích hình học. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các tính chất của góc nội tiếp sẽ là nền tảng vững chắc để bạn hiểu biết thêm những bài toán đường tròn khó hơn. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bạn đã hiểu những kiến thức này và có thể vận dụng với các bài toán trong tương lai về góc nội tiếp trong hình tròn nhé.