Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Khám phá hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9

schedule.svg

Thứ năm, 22/8/2024 07:30 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là những công thức toán học hữu dụng để bạn có thể giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Hãy để gia sư online Học là Giỏi chia sẻ các kiến thức trong bài học này nhé.

Mục lục [Ẩn]

Giới thiệu về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một tập hợp các công thức không chỉ giúp tính toán độ dài các cạnh, mà còn giúp ta hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác. Vậy tại sao hệ thức lượng lại quan trọng? Bởi nó là cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn. Khi bạn biết cách sử dụng những công thức này, bạn không chỉ có thể giải quyết mọi bài toán liên quan đến tam giác vuông một cách dễ dàng, mà còn mở rộng khả năng của mình trong việc hiểu và ứng dụng toán học vào thế giới thực. Từ việc xây dựng nhà cửa đến đo đạc địa hình, hệ thức lượng trong tam giác vuông là công cụ không thể thiếu trong kho tàng toán học của bạn.

Các hệ thức lượng cơ bản

Các hệ thức lượng giác cơ bản giúp bạn hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác. Với việc nắm rõ từ các bước cơ bản đầu tiên, bạn sẽ giải quyết nhiều vấn đề thực tế một cách đơn giản và hiệu quả.

Hệ thức về cạnh và đường cao

 tam giác giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH vuông góc với BC

Xét tam giác vuông ABCABC vuông tại AA, đường cao AHAH vuông góc với BCBC. Ký hiệu các đoạn như sau:

BC=aBC = a: Cạnh huyền.

BA=cBA = c: Cạnh góc vuông thứ nhất.

AC=bAC = b: Cạnh góc vuông thứ hai.

BH=cBH = c': Đoạn chiếu của BABA trên cạnh huyền.

CH=bCH = b': Đoạn chiếu của ACAC trên cạnh huyền.

AH=hAH = h: Đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông AA xuống cạnh huyền.

Dưới đây là các định lý cơ bản với giải thích chi tiết:

Liên hệ giữa các đoạn chiếu và đường cao:

AH2=BHCH (h2=cb).AH^2 = BH \cdot CH \quad (h^2 = c' \cdot b').

Liên hệ giữa cạnh góc vuông và đoạn chiếu:

AB2=BHBC (c2=ca), AC2=CHBC (b2=ba).AB^2 = BH \cdot BC \quad (c^2 = c' \cdot a), \quad AC^2 = CH \cdot BC \quad (b^2 = b' \cdot a).

Tổng đoạn chiếu bằng cạnh huyền:

BH+CH=BC (c+b=a).BH + CH = BC \quad (c' + b' = a).

Định lý Pythagore:

BC2=AB2+AC2 (a2=b2+c2).BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (a^2 = b^2 + c^2).

Tích cạnh góc vuông và đường cao:

ABAC=AHBC (cb=ha).AB \cdot AC = AH \cdot BC \quad (c \cdot b = h \cdot a).

Hệ thức lượng giác về góc nhọn

Hệ thức lượng giác về góc nhọn

Định nghĩa

Hệ thức lượng giác về góc nhọn là tập hợp các mối quan hệ giữa các góc nhọn và các cạnh của tam giác vuông. Chúng được biểu diễn thông qua

tỉ số lượng giác và bao gồm các giá trị đặc trưng như sin, cos, tan, và cot, được định nghĩa dựa trên mối liên hệ giữa cạnh góc vuông, cạnh huyền

và góc nhọn.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Sin (Sine): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.

sin α=Cạnh đối Cạnh huyền

Cos (Cosine): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.

cos α=Cạnh kềCạnh huyền

Tan (Tangent): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề.

tan α=Cạnh đốiCạnh huyền

Cot (Cotangent): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

cot α=Cạnh kềCạnh đối

Các công thức quan trọng

Sin và Cos:

sin2α+cos2α=1\sin^2α + \cos^2α = 1

Tan và Cot:

tanαcotα=1\tan α \cdot \cot α = 1

Góc đặc biệt:

sin30=12, cos30=32, tan30=33\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

sin45=cos45=22, tan45=1\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1

sin60=32, cos60=12, tan60=3\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}

So sánh tỉ số lượng giác của các góc

Trong tam giác vuông ABC\triangle ABC, nếu có hai góc nhọn α\alpha và β\beta mà α<β\alpha < \beta, thì các tỉ số lượng giác của hai góc này có các mối quan hệ sau:

Sin và cos:

sinα<sinβ\sin \alpha < \sin \beta: Góc nhỏ hơn thì sin nhỏ hơn.

cosα>cosβ\cos \alpha > \cos \beta: Góc nhỏ hơn thì cos lớn hơn.

Tan và cot:

tanα<tanβ\tan \alpha < \tan \beta: Góc nhỏ hơn thì tan nhỏ hơn.

cotα>cotβ\cot \alpha > \cot \beta: Góc nhỏ hơn thì cot lớn hơn.

Lưu ý dễ nhớ

Sin và tan tăng khi góc lớn hơn.

Cos và cot giảm khi góc lớn hơn.

Hiểu đơn giản là: góc càng lớn, cạnh đối càng dài, làm cho sin và tan tăng, trong khi cos và cot giảm.

Hệ thức về góc và cạnh

Xét tam giác ABC có góc A=90°, ta có các hệ thức sau:

Đối với cạnh AC:

Công thứcAC=BCsin B  hoặc  AC=BCcos C

Cạnh ACAC (cạnh góc vuông đối diện với góc B) có thể được tính bằng tích của cạnh huyền BCBC và sin của góc B hoặc cos của góc C.

Đối với cạnh AB:

Công thứcAB=BCsin C  hoặc  AB=BCcos B

Cạnh ABAB (cạnh góc vuông đối diện với góc C) có thể được tính bằng tích của cạnh huyền BCBC và sin của góc C hoặc cos của góc B.

Đối với mối quan hệ giữa AC và AB:

Công thứcAC=ABtan B  hoặc  AC=ABcot C

Mối quan hệ giữa hai cạnh góc vuông có thể được biểu diễn bằng tang của góc B hoặc cotang của góc C.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài tập 1

Cho tam giác vuông ABC\triangle ABC, vuông tại AA. Biết rằng:

AB=6cmAB = 6 \, \text{cm}AC=8cmAC = 8 \, \text{cm}
Tính:
a) Cạnh huyền BCBC.
b) Đường cao AHAH từ AA xuống cạnh huyền.

Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pythagore:

BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2

BC2=62+82=36+64=100    BC=100=10cm.BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies BC = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}.

b) Áp dụng công thức liên hệ giữa đường cao và các cạnh:

AH2=ABACAH^2 = AB \cdot AC

AH2=68=48    AH=48=43cm.AH^2 = 6 \cdot 8 = 48 \implies AH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{cm}.

Bài tập 2

Cho tam giác vuông ABC\triangle ABC, vuông tại AA. Biết rằng:

BC=13cmBC = 13 \, \text{cm}AB=5cmAB = 5 \, \text{cm}.
Tính:
a) Cạnh ACAC.
b) Tỉ số lượng giác của góc B\angle B.

Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pythagore:

BC2=AB2+AC2    AC2=BC2AB2BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies AC^2 = BC^2 - AB^2

AC2=13252=16925=144    AC=144=12cm.AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \implies AC = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}.

b) Tính tỉ số lượng giác:

Sin B\angle B:

sin B=Cạnh đốiCạnh huyền=ACBC=1213.

Cos B\angle B:

cos B=Cạnh kềCạnh huyền=ABBC=513.

Tan B\angle B:

tan B=Cạnh đốiCạnh kề=ACAB=125.

Bài tập 3

Một chiếc thang dài 5m5 \, \text{m} được đặt nghiêng vào tường, phần chân thang cách tường 3m3 \, \text{m}.
Tính góc giữa thang và mặt đất (góc α\alpha).

Lời giải:
Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác:

cos α=Cạnh kềCạnh huyền=35.

Suy ra góc α\alpha:

α=arccos(35)53.\alpha = \arccos \left( \frac{3}{5} \right) \approx 53^\circ.

Bài tập 4

Một cây cột điện cao 10m10 \, \text{m} tạo với mặt đất một góc 6060^\circ khi nhìn từ đầu dây chéo kéo căng xuống đất.
Tính chiều dài dây chéo.

Lời giải:
Áp dụng công thức:

sin 60=Cạnh đốiCạnh huyền   Cạnh huyền=Cạnh đốisin 60.

Thay số:

Cạnh huyền=10sin 60=1032=20311.55m.

Bài tập 5

Cho tam giác vuông ABC\triangle ABC, vuông tại AA. Biết:

AB=6cmAB = 6 \, \text{cm}BC=10cmBC = 10 \, \text{cm}

Tính:
a) Góc ACB\angle ACB.
b) Đường cao AHAH.

Lời giải:
a) Áp dụng định nghĩa sin:

sin ACB=Cạnh đốiCạnh huyền=ABBC=610=0.6.

Suy ra góc ACB\angle ACB:

ACB=arcsin(0.6)37.\angle ACB = \arcsin(0.6) \approx 37^\circ.

b) Áp dụng liên hệ giữa đường cao và các cạnh:

AH=ABACBC.AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}.

Trước tiên, tính ACAC:

AC2=BC2AB2=10262=10036=64    AC=64=8cm.AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies AC = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}.

Thay vào:

AH=6810=4.8cm.AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \, \text{cm}.

Tất cả các bài tập trên đều liên hệ trực tiếp với các công thức hệ thức lượng đã học, giúp rèn luyện tư duy toán học và ứng dụng trong thực tế.

Ứng đụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải tam giác vuông: Khi bạn biết hai yếu tố (ít nhất một yếu tố về cạnh), bạn có thể tìm yếu tố còn lại. Sử dụng hệ thức Py-ta-go hoặc lượng

giác, bạn có thể xác định chiều cao của vật thể hoặc khoảng cách giữa hai điểm không thể đo trực tiếp.

Tìm cạnh chưa biết khi biết hai yếu tố: Ví dụ, nếu bạn biết cạnh aa và góc BB, bạn có thể tính cạnh bb bằng:

b=asin B  hoặc  b=acos C

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông này giúp xác định chiều dài của cạnh còn lại khi đã biết một cạnh và góc tương ứng.

Tìm góc chưa biết khi biết hai yếu tố: Nếu bạn biết hai cạnh aa và bb, bạn có thể tính góc CC bằng:

sin C=ac  hoặc  cos C=bc

Đây là cách sử dụng hệ thức lượng để xác định góc còn lại trong tam giác vuông khi đã biết hai cạnh.

Ứng dụng thực tế: Hệ thức lượng trong tam giác vuông giúp bạn tính chiều cao của công trình hoặc khoảng cách từ một điểm đến một 

đỉnh không thể đo trực tiếp. Sử dụng các góc nhọn và hệ thức lượng để tính toán chính xác.

Kết Luận

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một công cụ toán học hữu ích, giúp bạn giải quyết bài toán hình học từ cơ bản đến phức tạp. Nhờ vào

các công thức này, bạn có thể xác định chính xác độ dài các cạnh, góc nhọn, hoặc thậm chí cả những yếu tố không thể đo đạc trực tiếp trong

thực tế. Hi vọng với kiến thức mà gia sư Học là Giỏi vừa chia sẻ sẽ giúp bạn thành công trong việc hiểu rõ về các công thức lượng giác và áp

dụng hiệu quả trong thực tiễn.

Xem thêm:

Tổng hợp kiến thức về đường tròn lượng giác

Tổng hợp các công thức lượng giác thường gặp

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị
schedule

Thứ ba, 11/3/2025 07:55 AM

Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị

Bảng nhân 4 là một trong những kiến thức quan trọng trong toán học tiểu học, giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng tính nhẩm nhanh. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững bảng nhân 4 trong bài viết để bạn áp dụng phép nhân đối với các bài tập một cách hiệu quả.

Học thuộc bảng nhân 3 chỉ trong vài phút
schedule

Thứ ba, 11/3/2025 06:54 AM

Học thuộc bảng nhân 3 chỉ trong vài phút

Bảng nhân 3 là một trong những bảng cửu chương quan trọng giúp chúng ta ghi nhớ phép nhân với số 3 dễ dàng. Trong bài viết dưới đây, gia sư online Học là Giỏi sẽ hướng dẫn chi tiết về bảng nhân 3 để bạn áp dụng phép nhân này hiệu quả nhé.

Bảng nhân 2 là gì? Các phép tính trong bảng nhân 2
schedule

Thứ hai, 10/3/2025 09:32 AM

Bảng nhân 2 là gì? Các phép tính trong bảng nhân 2

Bảng nhân 2 giúp bạn tính nhanh và giải toán dễ dàng hơn cho phép nhân với số 2. Trong bài viết dưới đây, gia sư online Học là Giỏi sẽ cung cấp chi tiết về bảng nhân 2 để bạn có thể nắm vững phép nhân này nhé.

Cách học bảng cửu chương nhân, chia nhanh chóng và hiệu quả
schedule

Thứ sáu, 7/3/2025 10:10 AM

Cách học bảng cửu chương nhân, chia nhanh chóng và hiệu quả

Bảng cửu chương là một công cụ tính toán giúp bạn giải quyết nhanh gọn mọi bài toán trong học tập và cuộc sống. Thành thạo bảng cửu chương hỗ trợ bạn tư duy logic, tính toán linh hoạt và áp dụng vào thực tế dễ dàng hơn. Gia sư online Học là Giỏi mang đến cho bạn bảng cửu chương chi tiết dưới đây để giúp việc ghi nhớ hay học thuộc trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

Tổng hợp các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 mới nhất
schedule

Thứ tư, 12/2/2025 06:38 AM

Tổng hợp các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 mới nhất

Hệ thức Vi-ét là một công cụ quan trọng giúp giải nhanh các bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai. Việc nắm vững các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy toán học để dễ dàng giải đề thi. Hôm nay cùng gia sư online Học là Giỏi sẽ hệ thống lại các phương pháp, đưa ra ví dụ cụ thể để giúp bạn làm chủ dạng toán này một cách hiệu quả.

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
schedule

Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.

message.svg zalo.png