Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là những công thức toán học hữu dụng để bạn có thể giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Hãy để gia sư online Học là Giỏi chia sẻ các kiến thức trong bài học này nhé.
Mục lục [Ẩn]
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một tập hợp các công thức không chỉ giúp tính toán độ dài các cạnh, mà còn giúp ta hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác. Vậy tại sao hệ thức lượng lại quan trọng? Bởi nó là cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn. Khi bạn biết cách sử dụng những công thức này, bạn không chỉ có thể giải quyết mọi bài toán liên quan đến tam giác vuông một cách dễ dàng, mà còn mở rộng khả năng của mình trong việc hiểu và ứng dụng toán học vào thế giới thực. Từ việc xây dựng nhà cửa đến đo đạc địa hình, hệ thức lượng trong tam giác vuông là công cụ không thể thiếu trong kho tàng toán học của bạn.
Các hệ thức lượng giác cơ bản giúp bạn hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác. Với việc nắm rõ từ các bước cơ bản đầu tiên, bạn sẽ giải quyết nhiều vấn đề thực tế một cách đơn giản và hiệu quả.
Xét tam giác vuông vuông tại , đường cao vuông góc với . Ký hiệu các đoạn như sau:
: Cạnh huyền.
: Cạnh góc vuông thứ nhất.
: Cạnh góc vuông thứ hai.
: Đoạn chiếu của trên cạnh huyền.
: Đoạn chiếu của trên cạnh huyền.
: Đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.
Dưới đây là các định lý cơ bản với giải thích chi tiết:
Liên hệ giữa các đoạn chiếu và đường cao:
Liên hệ giữa cạnh góc vuông và đoạn chiếu:
Tổng đoạn chiếu bằng cạnh huyền:
Định lý Pythagore:
Tích cạnh góc vuông và đường cao:
Hệ thức lượng giác về góc nhọn là tập hợp các mối quan hệ giữa các góc nhọn và các cạnh của tam giác vuông. Chúng được biểu diễn thông qua
tỉ số lượng giác và bao gồm các giá trị đặc trưng như sin, cos, tan, và cot, được định nghĩa dựa trên mối liên hệ giữa cạnh góc vuông, cạnh huyền
và góc nhọn.
Sin (Sine): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
Cos (Cosine): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
Tan (Tangent): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
Cot (Cotangent): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.
Sin và Cos:
Tan và Cot:
Góc đặc biệt:
Trong tam giác vuông , nếu có hai góc nhọn và mà , thì các tỉ số lượng giác của hai góc này có các mối quan hệ sau:
Sin và cos:
: Góc nhỏ hơn thì sin nhỏ hơn.
: Góc nhỏ hơn thì cos lớn hơn.
Tan và cot:
: Góc nhỏ hơn thì tan nhỏ hơn.
: Góc nhỏ hơn thì cot lớn hơn.
Lưu ý dễ nhớ
Sin và tan tăng khi góc lớn hơn.
Cos và cot giảm khi góc lớn hơn.
Hiểu đơn giản là: góc càng lớn, cạnh đối càng dài, làm cho sin và tan tăng, trong khi cos và cot giảm.
Xét tam giác ABC có góc A=90°, ta có các hệ thức sau:
Công thức:
Cạnh (cạnh góc vuông đối diện với góc B) có thể được tính bằng tích của cạnh huyền và sin của góc B hoặc cos của góc C.
Công thức:
Cạnh (cạnh góc vuông đối diện với góc C) có thể được tính bằng tích của cạnh huyền và sin của góc C hoặc cos của góc B.
Công thức:
Mối quan hệ giữa hai cạnh góc vuông có thể được biểu diễn bằng tang của góc B hoặc cotang của góc C.
Bài tập 1
Cho tam giác vuông , vuông tại . Biết rằng:
,
Tính:
a) Cạnh huyền .
b) Đường cao từ xuống cạnh huyền.
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pythagore:
b) Áp dụng công thức liên hệ giữa đường cao và các cạnh:
Bài tập 2
Cho tam giác vuông , vuông tại . Biết rằng:
.
Tính:
a) Cạnh .
b) Tỉ số lượng giác của góc .
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pythagore:
b) Tính tỉ số lượng giác:
Sin :
Cos :
Tan :
Bài tập 3
Một chiếc thang dài được đặt nghiêng vào tường, phần chân thang cách tường .
Tính góc giữa thang và mặt đất (góc ).
Lời giải:
Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác:
Suy ra góc :
Bài tập 4
Một cây cột điện cao tạo với mặt đất một góc khi nhìn từ đầu dây chéo kéo căng xuống đất.
Tính chiều dài dây chéo.
Lời giải:
Áp dụng công thức:
Thay số:
Bài tập 5
Cho tam giác vuông , vuông tại . Biết:
,
Tính:
a) Góc .
b) Đường cao .
Lời giải:
a) Áp dụng định nghĩa sin:
Suy ra góc :
b) Áp dụng liên hệ giữa đường cao và các cạnh:
Trước tiên, tính :
Thay vào:
Tất cả các bài tập trên đều liên hệ trực tiếp với các công thức hệ thức lượng đã học, giúp rèn luyện tư duy toán học và ứng dụng trong thực tế.
Giải tam giác vuông: Khi bạn biết hai yếu tố (ít nhất một yếu tố về cạnh), bạn có thể tìm yếu tố còn lại. Sử dụng hệ thức Py-ta-go hoặc lượng
giác, bạn có thể xác định chiều cao của vật thể hoặc khoảng cách giữa hai điểm không thể đo trực tiếp.
Tìm cạnh chưa biết khi biết hai yếu tố: Ví dụ, nếu bạn biết cạnh và góc , bạn có thể tính cạnh bằng:
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông này giúp xác định chiều dài của cạnh còn lại khi đã biết một cạnh và góc tương ứng.
Tìm góc chưa biết khi biết hai yếu tố: Nếu bạn biết hai cạnh và , bạn có thể tính góc bằng:
Đây là cách sử dụng hệ thức lượng để xác định góc còn lại trong tam giác vuông khi đã biết hai cạnh.
Ứng dụng thực tế: Hệ thức lượng trong tam giác vuông giúp bạn tính chiều cao của công trình hoặc khoảng cách từ một điểm đến một
đỉnh không thể đo trực tiếp. Sử dụng các góc nhọn và hệ thức lượng để tính toán chính xác.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một công cụ toán học hữu ích, giúp bạn giải quyết bài toán hình học từ cơ bản đến phức tạp. Nhờ vào
các công thức này, bạn có thể xác định chính xác độ dài các cạnh, góc nhọn, hoặc thậm chí cả những yếu tố không thể đo đạc trực tiếp trong
thực tế. Hi vọng với kiến thức mà gia sư Học là Giỏi vừa chia sẻ sẽ giúp bạn thành công trong việc hiểu rõ về các công thức lượng giác và áp
dụng hiệu quả trong thực tiễn.
Xem thêm:
Tổng hợp kiến thức về đường tròn lượng giác
Tổng hợp các công thức lượng giác thường gặp
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết xem nhiều
Khám phá các cách tính cạnh huyền tam giác vuông
Thứ ba, 24/9/2024Bí kíp chinh phục các hằng đẳng thức mở rộng
Thứ tư, 14/8/2024Tổng hợp đầy đủ về công thức lượng giác
Thứ tư, 29/5/2024Thể thơ bảy chữ: Từ truyền thống đến hiện đại
Thứ tư, 29/5/2024Thể thơ song thất lục bát trong văn chương Việt Nam
Thứ ba, 28/5/2024Khóa học liên quan
Khóa Luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ ba, 11/3/2025 07:55 AM
Bí quyết ghi nhớ bảng nhân 4 qua các bài tập thú vị
Bảng nhân 4 là một trong những kiến thức quan trọng trong toán học tiểu học, giúp học sinh rèn luyện tư duy và kỹ năng tính nhẩm nhanh. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn nắm vững bảng nhân 4 trong bài viết để bạn áp dụng phép nhân đối với các bài tập một cách hiệu quả.
Thứ ba, 11/3/2025 06:54 AM
Học thuộc bảng nhân 3 chỉ trong vài phút
Bảng nhân 3 là một trong những bảng cửu chương quan trọng giúp chúng ta ghi nhớ phép nhân với số 3 dễ dàng. Trong bài viết dưới đây, gia sư online Học là Giỏi sẽ hướng dẫn chi tiết về bảng nhân 3 để bạn áp dụng phép nhân này hiệu quả nhé.
Thứ hai, 10/3/2025 09:32 AM
Bảng nhân 2 là gì? Các phép tính trong bảng nhân 2
Bảng nhân 2 giúp bạn tính nhanh và giải toán dễ dàng hơn cho phép nhân với số 2. Trong bài viết dưới đây, gia sư online Học là Giỏi sẽ cung cấp chi tiết về bảng nhân 2 để bạn có thể nắm vững phép nhân này nhé.
Thứ sáu, 7/3/2025 10:10 AM
Cách học bảng cửu chương nhân, chia nhanh chóng và hiệu quả
Bảng cửu chương là một công cụ tính toán giúp bạn giải quyết nhanh gọn mọi bài toán trong học tập và cuộc sống. Thành thạo bảng cửu chương hỗ trợ bạn tư duy logic, tính toán linh hoạt và áp dụng vào thực tế dễ dàng hơn. Gia sư online Học là Giỏi mang đến cho bạn bảng cửu chương chi tiết dưới đây để giúp việc ghi nhớ hay học thuộc trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Thứ tư, 12/2/2025 06:38 AM
Tổng hợp các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 mới nhất
Hệ thức Vi-ét là một công cụ quan trọng giúp giải nhanh các bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai. Việc nắm vững các dạng toán Vi-ét thi vào lớp 10 sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy toán học để dễ dàng giải đề thi. Hôm nay cùng gia sư online Học là Giỏi sẽ hệ thống lại các phương pháp, đưa ra ví dụ cụ thể để giúp bạn làm chủ dạng toán này một cách hiệu quả.
Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM
Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.