Giải phương trình vô tỉ bằng cách nâng lên lũy thừa

Dạng 1. $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$

Phương pháp giải

$\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq 0\end{array}\right.} \\ f(x)=g(x)\end{array}\right.$ 

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{3 x^2+69 x+27}=\sqrt{x^2+96 x+2}$.

Bài giải

$\sqrt{3 x^2+69 x+27}=\sqrt{x^2+96 x+2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+96 x+2 \geq 0 \\ 3 x^2+69 x+27=x^2+96 x+2\end{array}\right.$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 (TM) \\ x=\dfrac{25}{2} (TM) \end{array}\right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S={1;\dfrac{25}{2}}$.

Dạng 2. $\sqrt[3]{f(x)}=\sqrt[3]{g(x)}$

Phương pháp giải

$\sqrt[3]{f(x)}=\sqrt[3]{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)$

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt[3]{x^3-2 x^2+1}=\sqrt[3]{x^3-x}$.

Bài giải

Phương trình đã cho tương đương với:

$x^3-2 x^2+1=x^3-x \Leftrightarrow 2 x^2-x-1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\dfrac{-1}{2} \end{array}\right.$

Dạng 3. $\sqrt{f(x)}=g(x)$

Phương pháp giải

$\sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=[g(x)]^2\end{array}\right.$

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{2 x+1}=3 x+1$

Bài giải

$\sqrt{2 x+1}=3 x+1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x+1 \geq 0 \\ 2 x+1=(3 x+1)^2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-\frac{1}{3} \\ 9 x^2+4 x=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-\frac{4}{9}\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S={0;-\dfrac{4}{9}}$.

Dạng 4. $\sqrt[3]{f(x)}=g(x)$

Phương pháp giải

$\sqrt[3]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow f(x)=[g(x)]^3$

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt[3]{7 x+1}=x+1$

Bài giải

Điều kiện xác định của phương trình là $x \in \mathbb{R}$. Phương trình đã cho tương đương

$7 x+1=x^3+3 x^2+3 x+1 \Leftrightarrow x^3+3 x^2-4 x=0 \Leftrightarrow(x-1)(x+4)=0 \Leftrightarrow x \in\{-4 ; 0 ; 1\}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\{-4 ; 0 ; 1\}$.

Dạng 5. $\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}$

Phương pháp giải

+ Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình bằng việc giải hệ: $\left\{\begin{array}{l}f(c) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ h(x) \geq 0\end{array}\right.$

+ Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình và đưa phương trình về dạng

$\sqrt{F(x)}=G(x) .$

+ Bước 3. Giải phương trình cơ bản $\sqrt{\mathrm{F}(\mathrm{x})}=\mathrm{G}(\mathrm{x})$ và kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình để kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{5 x^2+14 x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5 \sqrt{x+1}$.

Bài giải

Điều kiện xác định của phương trình là $x \geq 5$. Với điều kiện đó ta biến đối phương trình đã cho như sau

$\begin{aligned}& \sqrt{5 x^2+14 x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5 \sqrt{x+1} \\\Leftrightarrow & 5 x^2+14 x+9=x^2-x-20+25(x+1)+10 \sqrt{(x+1)(x+4)(x-5)} \\\Leftrightarrow & 2 x^2-5 x+2=5 \sqrt{(x+1)(x+4)(x-5)} \\\Leftrightarrow & 2(x+1)(x-5)+3(x+4)=5 \sqrt{(x+1)(x-5)}\cdot \sqrt{x+4}\end{aligned}$

Đặt $\sqrt{(x+1)(x-5)}=y ; \sqrt{x+4}=z$ với $y \geq 0 ; z \geq 3$.

Ta được $2 y^2+3 z^2=5 y z \Leftrightarrow(y-z)(2 y-3 z)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=z \\ 2 y=3 z\end{array}\right.$

- Nếu $y=z$ thì ta được $x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$ (do $x \geq 5$ ).

- Nếu $2y=3 z$ thì ta được $x=8 ;x=-\frac{7}{4}$.

Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm là $S=\left\{\frac{5+\sqrt{61}}{2} ; 8 ;-\frac{7}{4}\right\}$.

Dạng 6. $\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\sqrt[3]{h(x)}$

Phương pháp giải

+ Bước 1. Lũy thừa bậc ba hai vế của phương trình thì được

$f(x)+g(x)+3 \sqrt[3]{f(x) \cdot g(x)}(\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)})=h(x)$

+ Bước 2. Biến đổi phương trình và chú ý đến $\sqrt[3]{\mathrm{f}(\mathrm{x})}+\sqrt[3]{\mathrm{g}(\mathrm{x})}=\sqrt[3]{\mathrm{h}(\mathrm{x})}$ ta được

$3 \sqrt[3]{f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)}=h(x)-f(x)-g(x)$

+ Bước 3. Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai vế thì được phương trình

$27 \cdot f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)=[h(x)-f(x)-g(x)]^3$

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt[3]{2 x-1}+\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x-1}$.

Bài giải

Phương trình đã cho tương đương với:

$\begin{aligned}& (\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-2})^3=2 x-3 \Leftrightarrow 3 \sqrt[3]{(x-1)(x-2)}(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-2})=0 \\& \Rightarrow 3 \sqrt[3]{(x-1)(x-2)(2 x-3)}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=1 \\x=2 \\x=\frac{3}{2}\end{array}\right.\end{aligned}$.

Thử lại ta thấy các giá trị $x=1 ; x=2 ; x=\frac{3}{2}$ đều thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{1 ; 2 ; \frac{3}{2}\right\}$.

Dạng 7. $\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}+\sqrt{r(x)}$

$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}+\sqrt{r(x)}$, trong đó xảy ra một trong các trường hợp sau:

$\begin{aligned}& +\sqrt{f(x) \cdot g(x)}=\sqrt{h(x) \cdot r(x)} \\& +\sqrt{f(x) \cdot u(x)}=\sqrt{g(x) \cdot r(x)} \\& +f(x)+g(x)=h(x)+r(x)\end{aligned}$

Phương pháp giải

+ Nếu có $\sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{g}(\mathrm{x})}=\sqrt{\mathrm{h}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{r}(\mathrm{x})}$ thì sử dụng phép biến đổi tương đương

$[\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}]^2=[\sqrt{h(x)}+\sqrt{r(x)}]^2$

+ Nếu có $\sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{u}(\mathrm{x})}=\sqrt{\mathrm{g}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{r}(\mathrm{x})}$ thì sử dụng phép biến đổi hệ quả

$[\sqrt{f(x)}-\sqrt{u(x)}]^2=[\sqrt{g(x)}-\sqrt{r(x)}]^2$

+ Nếu có $\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{h}(\mathrm{x})+\mathrm{r}(\mathrm{x})$ thì sử dụng phép biến đổi tương đương

$[\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}]^2=[\sqrt{h(x)}+\sqrt{r(x)}]^2$

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}$.

Bài giải

Điều kiện $x \geq-1$. Phương trình đā cho tương đương với:

$\begin{aligned}& \left(\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+3}\right)^2=\left(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)^2 \Leftrightarrow \frac{x^3+1}{x+3}+2 \sqrt{x^3+1}+(x+3)=\left(x^2-x+1\right)+ \\& 2 \sqrt{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}+(x+1) \Leftrightarrow \frac{x^3+1}{x+3}=x^2-x-1 \Leftrightarrow x^2-2 x-2=0 \Leftrightarrow x=1 \pm \sqrt{3} .\end{aligned}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đā cho là $S=\{1-\sqrt{3} ; 1+\sqrt{3}\}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

$\sqrt{\frac{x^3+8}{2 x+1}}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x^2-2 x+4}+\sqrt{2 x+1}$.

Bài giải

Điều kiện $x>-\frac{1}{2}$. Phương trình đā cho tương đương với:

$\begin{aligned}& \sqrt{\frac{x^3+8}{2 x+1}}-\sqrt{2 x+1}=\sqrt{x^2-2 x+4}-\sqrt{x+2} \Rightarrow \frac{x^3+8}{2 x+1}-2 \sqrt{x^3+8}+(2 x+1)=\left(x^2-2 x+4\right)- \\

& 2 \sqrt{(x+2)\left(x^2-2 x+4\right)}+(x+2) \Leftrightarrow x^3-5 x^2+7 x-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\x=3\end{array}\right.\end{aligned}$

Thử lại ta thấy nghiệm của phương trình đā cho chỉ có giá trị $x=1$.

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{x+3}+\sqrt{3 x+1}=2 \sqrt{x}+\sqrt{2 x+2}$.

Bài giải

Nhận xét: Ta thấy $(x+3)+4 x=(3 x+1)+(2 x+2)$ nếu ta biến đổi phương trình về dạng: $\sqrt{x+3}-$ $\sqrt{4 x}=\sqrt{2 x+2}-\sqrt{3 x+1}$ và nâng lên lūy thừa với phép biến đổi hệ quả.

Điều kiện $x \geq 0$. Phương trình đã cho tương đương với:

$\begin{aligned}& \sqrt{x+3}-\sqrt{4 x}=\sqrt{2 x+2}-\sqrt{3 x+1} \Rightarrow 5 x+3-2 \sqrt{4 x(x+3)}=5 x+3-2 \sqrt{(2 x+2)(3 x+1)} \\& \Leftrightarrow \sqrt{4 x(x+3)}=\sqrt{(2 x+2)(3 x+1)} \Leftrightarrow x^2-2 x+1=0 \Leftrightarrow x=1\end{aligned}$

Thử lại ta thấy $x=1$ thỏa mān phương trình ban đầu.

Như vậy, Học là Giỏi đã hệ thống lại các dạng bài tập giải phương trình bằng phương pháp nâng lên lũy thừa. Học là Giỏi hi vọng rằng, nó sẽ giúp ích cho các bạn trong việc giải phương trình vô tỉ nhé . Chúng các bạn học tốt!

Xem thêm:

Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó