Tìm hiểu đường tròn nội tiếp tam giác và cách xác định tâm đường tròn

Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của nó. Nó còn được gọi bằng cách khác là đường tròn được tam giác ngoại tiếp, do đặc điểm đường tròn này luôn tiếp xúc từ bên trong với mỗi cạnh của tam giác.

Tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác

- Mỗi tam giác chỉ có một đường tròn nội tiếp duy nhất.

- Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác bằng khoảng cách từ tâm của nó đến ba cạnh của tam giác.

- Trong một tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp.

- Tâm của đường tròn nội tiếp, còn gọi là “tâm nội tiếp”, luôn nằm trên điểm giao của ba đường phân giác trong tam giác.

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Để tìm đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác MNP, bạn có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Vẽ ba đường phân giác trong của tam giác MNP, ký hiệu lần lượt là MD, NE, và PF.

Bước 2: Xác định điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác MNP.

Bước 3: Từ tâm I, kẻ ba đường vuông góc đến ba cạnh MN, MP, và NP của tam giác MNP. Điểm I, giao của ba đường phân giác, chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Bước 4: Vẽ đường tròn tâm I với bán kính bằng khoảng cách từ I đến các điểm tiếp xúc ID = IE = IF.

Trong quá trình xác định đường tròn nội tiếp, cần chú ý đến một số trường hợp đặc biệt như: đường tròn nội tiếp của tam giác vuông, tam giác cân, và tam giác đều, vì mỗi loại tam giác này có một đặc điểm khác biệt khi xét về tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp.

Ứng dụng đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác giúp chúng ta giải quyết rất nhiều vấn đề trong các bài toán hình học mặt phẳng. Vậy, đường tròn nội tiếp này giúp chúng ta như thế nào trong từng trường hợp? Cùng tìm hiểu nhé!

Tính diện tích tam giác

Một trong những ứng dụng đầu tiên và phổ biến của đường tròn nội tiếp chính là tính diện tích tam giác. Nếu chúng ta biết bán kính của đường tròn nội tiếp và nửa chu vi của tam giác, diện tích tam giác đó.

Giải các bài toán hình học phẳng

Với việc bán kính của đường tròn nội tiếp bằng khoảng cách từ tâm đến các cạnh của tam giác, chúng ta có thể ứng dụng điều này để giải quyết nhiều bài toán yêu cầu tính toán hay chứng minh.

Ngoài ra, trong các bài toán yêu cầu tìm điểm giao của các đường phân giác, đường tròn nội tiếp cũng đóng vai trò quan trọng. Tâm của đường tròn nội tiếp, chính là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, giúp xác định và giải quyết các yêu cầu hình học phẳng.

Chứng minh các tính chất hình học

Cuối cùng, đường tròn nội tiếp giúp chứng minh nhiều tính chất hình học quan trọng. Chẳng hạn, khi cần chứng minh rằng ba đoạn thẳng nào đó có độ dài bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau, đường tròn nội tiếp có thể giúp chúng ta suy luận và đối chiếu các tính chất dễ dàng hơn.

Đặc biệt, trong các tam giác cân hoặc tam giác đều, nơi mà tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp trùng nhau, điều này có thể giúp chúng ta chứng minh thêm những đặc điểm đối xứng và đồng dạng.

Bài tập đường tròn nội tiếp tam giác

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O với bán kính AO=3cm. Ta cần tìm diện tích của tam giác ABC.

Giải

Do tam giác ABC là tam giác đều, nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm và là tâm của tam giác đó. Bán kính đường tròn ngoại tiếp cho tam giác đều là:

$AO = \frac{\sqrt{3}}{3} BC$

Với AO=3cm, ta có:

$\frac{\sqrt{3}}{3} BC = 3$

Suy ra:

$BC = 3\sqrt{3} \, \text{cm}$

Gọi H là điểm giao của đường cao AH với cạnh BC. Vì ABC là tam giác đều, nên AH vừa là trung trực, trung tuyến, đồng thời cũng là đường cao của tam giác.

Ta có:

$AO = \frac{2}{3} AH$

Do đó:

$AH = \frac{3}{2} AO = \frac{3}{2} \times 3 = 4.5 \, \text{cm}$

Diện tích của tam giác ABC được tính như sau:

$S = \frac{1}{2} \times AH \times BC = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2$

Kết luận: Diện tích của tam giác ABC là $\frac{27\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2$.

Bài 2: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G.

a) Giải thích vì sao G cũng là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp và bằng $\frac{\sqrt{3}}{6} BC$.

Giải

a) Vì tam giác ABC đều, nên ba đường trung tuyến của tam giác cũng đồng thời là các đường phân giác. Điều này có nghĩa là trọng tâm G, vốn là giao điểm của ba đường trung tuyến, cũng là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Do đó, G là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Trong tam giác đều ABC, ba đường trung tuyến cũng đồng thời là ba đường trung trực. Vì vậy, trọng tâm G của tam giác cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó, các đoạn GM và GB lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều và BG là đường phân giác của góc ABC, ta có:

$\widehat{GBM}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\times 60^{\circ }=30^{\circ }\mathrm{.}$

Do M là trung điểm của BC, ta có:

$BM = \frac{1}{2} BC.$

Xét tam giác vuông GBM vuông tại M:

Tính GM theo GB:

$GM=GB\times \sin \widehat{GBM}=GB\times \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}GB\mathrm{.}$

Tính GM theo BC:

$GM = BM \times \tan \angle GBM = \frac{1}{2} BC \times \tan 30^\circ = \frac{1}{2} BC \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} BC.$

Vậy bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bằng $\frac{\sqrt{3}}{6} BC$.

Bài tập nâng cao

Bài 3: Chứng minh rằng $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), với H là trực tâm của tam giác.

Giải

Vì OA=OB (đều là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O) của tam giác ABC), tam giác OAC là tam giác cân tại O. Do đó, ta có:

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\text{(do tính chất tam giác cân)}\mathrm{.}$

Mặt khác, trong tam giác OAC, ta có tổng ba góc:

$\widehat{OAC}+\widehat{OCA}+\widehat{AOC}=180^{\circ }\mathrm{.}$

Từ đây, suy ra:

$2\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=180^{\circ },$

nên:

$\widehat{OAC}=90^{\circ }-\frac{\widehat{AOC}}{2}\mathrm{.}\left(1\right)$

Gọi K là giao điểm của AH với BC, thì AK là đường cao của tam giác ABC.

Xét tam giác vuông ABK (vuông tại K), ta có:

$\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=90^{\circ }\mathrm{.}$

Suy ra:

$\widehat{BAK}=90^{\circ }-\widehat{ABK},$

hay:

$\widehat{BAH}=90^{\circ }-\widehat{ABC}\mathrm{.}\left(2\right)$

Trong đường tròn (O), các góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC, nên:

$\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\mathrm{.}\left(3\right)$

Từ (2) và (3), ta suy ra:

$\widehat{BAH}=90^{\circ }-\frac{\widehat{AOC}}{2}\mathrm{.}\left(4\right)$

Cuối cùng, từ (1) và (4), ta có:

$\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\mathrm{.}$

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$

Xem thêm: 

Nắm trọn kiến thức về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Khám phá vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Kết luận

Thông qua bài viết này, chúng ta đã nắm rõ được những kiến thức về tâm đường tròn nội tiếp tam giác, cách xác định tâm đường tròn và có thể áp dụng vào các bài toán hình học nâng cao. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng bạn đã hiểu được lý thuyết và sẵn sàng xử lí với các bài toán khó hơn trong tương lai về đường tròn này nhé.