Cách tính số gần đúng và sai số nhanh và chính xác nhất

Lý thuyết số gần đúng và sai số toán 10

Dưới đây là phần lý thuyết “Số gần đúng và sai số” - Toán 10 theo chuẩn nội dung sách Kết nối tri thức với cuộc sống, trình bày ngắn gọn, dễ hiểu và đúng trọng tâm:

Số gần đúng là gì?

Số $\bar{a}$ biểu thị giá trị thực của một đại lượng gọi là số đúng. Số a có giá trị ít nhiều với số đúng $\bar{a}$ gọi là số gần đúng của số $\bar{a}$.

Sai số tuyệt đối là gì?

Cho a là số gần đúng của số $\bar{a}$.

Ta có $\Delta_a$ là sai số tuyệt đối của số gần đúng a, nếu $\Delta_a=|\bar{a}-a|$

Khi đó, tì số $\frac{\Delta_a}{|a|}$ là sai số tương đối của số gần đúng a

Nhận xét: Nếu $\Delta_a \leq \mathrm{d} \rightarrow \delta_a \leq \frac{d}{|a|}$. Do đó, $\frac{d}{|a|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đặc hay tính toán càng cao.

Độ chính xác của một số gần đúng

Ta không có số đúng $\bar{a}$ nên không biết sai số tuyệt đối của số gần đúng a

Ngược lại $\Delta_a$ không vượt quá $\mathrm{d} \rightarrow \Delta_a=|\bar{a}-a| \leq \mathrm{d}$

Thì $-\mathrm{d} \leq \bar{a}-a \leq \mathrm{d}$ hay $-\mathrm{d}+a \leq \bar{a} \leq \mathrm{d}+a$

Ta nói a là số gần đúng của $\bar{a}$ với độ chính xác d , được viết là: $\bar{a}=\mathrm{a} \pm \mathrm{d}$

Khi biết số gần đúng a và độ chính xác d , ta xác định được giá trị thực nằm trong khoảng [ $\mathrm{a}-\mathrm{d} ; \mathrm{a}+\mathrm{d}$ ]

Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước $\bar{a}=\mathrm{a} \pm \mathrm{d}$ : Khi làm tròn số gần đúng a với độ chính xác d mà không có yêu cầu cụ thể về hàng làm tròn, ta thực hiện làm tròn a đến hàng thấp nhất mà tại đó d vẫn nhỏ hơn một đơn vị của hàng tương ứng.

Quy tắc làm tròn số

- Làm tròn xuống (< 5): Thay các chữ số bên phải bằng số 0, giữ nguyên hàng quy tròn.

VD: Làm tròn số 1.234 đến hàng trăm.

Hàng quy tròn là số 2.

Chữ số bên phải nó là 3 (3 < 5).

Kết quả: 1.200

- Làm tròn lên (≥ 5): Thay các chữ số bên phải bằng số 0, cộng thêm một đơn vị vào hàng quy tròn.

VD: Làm tròn số 8.671 đến hàng nghìn.

Hàng quy tròn là số 8.

Chữ số bên phải nó là 6 (6 > 5).

Kết quả: 9.000 (8 cộng thêm 1 thành 9).

Chú ý:

- Khi thực hiện quy tròn số đúng a tại một hàng cụ thể, kết quả nhận được (số gần đúng a) được coi là có độ chính xác tương ứng với hàng quy tròn đó.

- Để đảm bảo kết quả cuối cùng đạt độ chính xác tới hàng $\frac{1}{10^n}$, trong các bước tính toán trung gian, ta nên lấy số liệu chi tiết hơn ít nhất một bậc, tức là chính xác đến hàng $\frac{1}{10^{n+1}}$

- Trường hợp bài toán cho số gần đúng a kèm theo độ chính xác $\mathrm{d}(\bar{a}=\mathrm{a} \pm \mathrm{d})$ mà không chỉ định hàng quy tròn, ta sẽ làm tròn a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

Xem thêm: Quy tắc đếm lớp 10 từ A - Z (Lý thuyết Toán Kết nối tri thức)

Các dạng bài tập và lời giải hướng dẫn chi tiết

Tổng hợp các dạng bài tập số gần đúng và sai số kèm lời giải chi tiết, mẹo làm nhanh, bám sát dạng kiểm tra.

Dạng 1: Tính sai số tuyệt đối, độ chính xác của một số gần đúng

Ghi nhớ: $\bar{a}=\mathrm{a} \pm \mathrm{d}$ thì số gần đúng $\bar{a}$ nằm trong khoảng $[\mathrm{a}-\mathrm{d} ; \mathrm{a}+\mathrm{d}]$

Ví dụ 1: Một túi gạo được ghi trọng lượng trên bao bì là $25 \mathrm{~kg} \pm 0,15 \mathrm{~kg}$. Trọng lượng thực tế của túi gạo này nằm trong khoảng nào?

Lời giải

Trọng lượng thực tế của túi gạo này nằm trong khoảng:

$<br>[a-d ; a+d] \rightarrow[25-0,15 ; 25+0,15]=[24,85 ; 25,15]<br>$

Ví dụ 2: Khi tính chu vi hình tròn có bán kính $R=5 \mathrm{~cm}$, nếu lấy $\pi \sim 3,141$ thì độ chính xác d của kết quả là bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: Công thức chu vi hình tròn $\bar{C}=2 \pi \mathrm{R} \rightarrow \bar{C}=10 \pi$
$\pi \sim 3,141 \rightarrow$ Ta hiểu giá trị thực của $\pi$ nằm trong khoảng: $3,141<\pi<3,142$

$<br>\rightarrow 31,41<\bar{C}<31,42<br>$

Ta có: $\Delta_C=|\bar{C}-C| \rightarrow 31,42-31,41<0,01 \rightarrow \mathrm{~d}=0,01$

Dạng 2: Sai số tương đối của số gần đúng

Ghi nhớ: Sai số tương đối của số gần đúng a là $\delta_a=\frac{\Delta_a}{|a|} \leq \frac{d}{|a|}$

Ví dụ 1: Một tấm thép có diện tích được đo là $S=250 \mathrm{~cm}^2 \pm 0,5 \mathrm{~cm}^2$. Hãy tính sai số tương đối của phép đo diện tích.

Lời giải

Giá trị gần đúng $\mathrm{a}=250$ và độ chính xác $\mathrm{d}=0,5$

Ta có: $\delta_a=\frac{\Delta_a}{|a|} \leq \frac{d}{|a|} \rightarrow \delta_a=\frac{0,5}{250}=0,002$

Ví dụ 2: Cho số gần đúng $\mathrm{a}=50$ và sai số tương đối $\delta_a=0,005$. Tính sai số tuyệt đối?

Lời giải

$<br>\delta_a=\frac{\Delta_a}{|a|} \rightarrow \Delta_a=\delta_a|\mathrm{a}|=0,005 \cdot 50=0,25<br>$

Dạng 3: Quy tròn số gần đúng

Ghi nhớ: Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.

Ví dụ 1: Quy tròn a = 12.546.293 với độ chính xác d = 5.000.

Lời giải

Vì d ở hàng nghìn, ta quy tròn a đến hàng chục nghìn.

Chữ số sau hàng quy tròn là 6 > 5 nên tăng hàng quy tròn thêm 1 đơn vị.

Kết quả: 12.550.000.

Ví dụ 2: Quy tròn a = 0,73512 với độ chính xác d = 300

Lời giải

Vì d ở hàng phần trăm, ta quy tròn a đến hàng phần mười.

Chữ số sau hàng quy tròn là 3 < 5 nên giữ nguyên hàng quy tròn.

Kết quả: 0,7.

Dạng 4: Xác định các chữ số chắc của một số gần đúng, dạng chuẩn của chữ số gần đúng và kí hiệu khoa học của một số.

Ví dụ 1: Cho số gần đúng a = 2851275 với độ chính xác d = 300. Tìm các chữ số chắc của a.

Lời giải

Ta có: d = 300.

Xét hàng của d: Hàng trăm.

Theo quy tắc, chữ số ở hàng nào mà đơn vị hàng đó lớn hơn hoặc bằng 2d thì là chữ số chắc. 

Ở đây $\mathrm{d}=300 \leq \frac{1000}{2}=500$, nên hàng nghìn (số 1) là chữ số chắc.

Các chữ số từ hàng nghìn trở về bên trái đều là chữ số chắc.

Kết quả: Các chữ số chắc là $2,8,5,1$.

Một số bài tập luyện tập về số gần đúng và sai số

Bộ bài tập trắc nghiệm luyện tập số gần đúng và sai số toán, mỗi câu hỏi đều được thiết kế theo cấu trúc chuẩn, tập trung vào các kiến thức trọng tâm. Phần đáp án được tổng hợp ở cuối để bạn dễ dàng đối chiếu, tự đánh giá mức độ hiểu bài và kỹ năng giải bài.

Câu 1: Cho giá trị gần đúng của $\frac{8}{17}$ là 0,47 . Sai số tuyệt đối của 0,47 là:
A. 0,001
B. 0,002
C. 0,003
D. 0,004

Câu 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của $\mathrm{a}=123456$ biết sai số tương đối $\delta_a=0,2 \%$
A. 146,912
B. 617280
C. 24691,2
D. 61728000

Câu 3: Hãy viết số quy tròn số gần đúng $\mathrm{a}=17658$ biết $\bar{a}=17658 \pm 16$
A. 17500
B. 17600
C. 17700
D. 17800

Câu 4: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là $\mathrm{a}=10,2 \pm 0,2 \mathrm{~cm} ; \mathrm{b}=12 \pm 0,1 \mathrm{~cm}$ và $\mathrm{c}=8 \pm 0,2 \mathrm{~cm}$. Tính chu vi của tam giác ABC .
A. $P=30,2 \pm 0,2 \mathrm{~cm}$
B. $P=30,2 \pm 2 \mathrm{~cm}$
C. $P=30,2 \pm 1 \mathrm{~cm}$
D. $P=30,2 \pm 0,5 \mathrm{~cm}$

Câu 5: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của $\sqrt{5}$ chính xác đến hàng phần trăm.
A. 2,236
B. 2,23
C. 2,2
D. 2,2360

Câu 6: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Bắc Ninh là $\mathrm{a}=$ 3114057 người với độ chính xác $\mathrm{d}=100$ người.
A. $3114.10^3$
B. $311.10^3$
C. $311405.10^3$
D. $31140.10^3$

Câu 7: Viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết $\mathrm{a}=1,4759$ sai số tương đối của $\mathrm{a}= 1 \%$.
A. 1,47
B. 1,48
C. 1,475
D. 1,4

Câu 8: Mảnh ruộng hình chữ nhật có chiều dài $\mathrm{a}=23 \pm 0,01 \mathrm{~m}$ và chiều rộng $\mathrm{b}=15 \pm 0,01 \mathrm{~m}$. Tính diện tích S của mảnh ruộng đã cho là bao nhiêu?
A. $\mathrm{S}=345 \pm 0,001 \mathrm{~m}$
B. $\mathrm{S}=345 \pm 0,3801 \mathrm{~m}$
C. $\mathrm{S}=345 \pm 0,38 \mathrm{~m}$
D. $S=345 \pm 0,01 \mathrm{~m}$

Đáp án 

Câu 1: A

Câu 2: A

Câu 3: C

Câu 4: D

Câu 5: B

Câu 6: A

Câu 7: D

Câu 8: B

Hy vọng bạn đã hiểu và vận dụng tốt số gần đúng và sai số qua bài viết này. Trong quá trình học, nếu bạn vẫn gặp khó khăn khi xử lý các dạng bài liên quan, Khóa học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng một cách bài bản và hiệu quả nhất.