Nắm trọn cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiến thức cần nhớ

Giá trị tuyệt đối là gì? Giá trị tuyệt đối là cách chúng ta đo khoảng cách của một số, một biểu thức đến số 0 mà không quan tâm nó nằm ở bên trái hay bên phải của trục số. Dưới đây là giá trị tuyệt đối của số thực và của hàm số.

Với số thực

Xét một số thực với số a, ta có: 

Trường hợp 1: a=a nếu a0

Trường hợp 2: a= -a nếu a<0

Với hàm số, hay đa thức

Với đa thức ta có:

Trường hợp 1: f(x)=f(x) nếu f(x)0

Trường hợp 2: f(x)= -f(x) nếu f(x)<0

Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Việc giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có thể khiến nhiều người cảm thấy bối rối. Dưới đây là các bước hướng dẫn chi tiết để giải phương trình:

Bước 1: Áp dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của một số không gì khác ngoài khoảng cách của số đó so với 0 trên trục số. Từ đây, nếu bạn có một phương trình dạng ∣A∣=B, thì bạn sẽ tách thành hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi A ≥ 0, ta có A=B.

Trường hợp 2: Khi A<0, ta có −A=B.

Việc xác định các trường hợp này là rất quan trọng, bởi vì nó giúp chúng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối một cách hợp lý.

Bước 2: Giải các phương trình tương ứng không có dấu giá trị tuyệt đối

Mỗi trường hợp sẽ dẫn đến một phương trình khác nhau, và nhiệm vụ của bạn là giải quyết chúng như cách bạn giải các phương trình thông thường. Đừng quên kiểm tra các điều kiện của trường hợp để đảm bảo rằng nghiệm bạn tìm được thực sự hợp lệ.

Bước 3: Dựa trên từng trường hợp xét, chọn ra các nghiệm phù hợp

Khi có được một hoặc nhiều nghiệm từ từng trường hợp, hãy xem xét điều kiện ban đầu mà chúng ta đã đặt ra. Một số nghiệm có thể không thỏa mãn điều kiện đó, hãy thử thay nghiệm vào phương trình gốc xem có đúng hay không.

Bước 4: Kết luận nghiệm

Cuối cùng, hãy tổng kết lại những nghiệm nào đã thỏa mãn tất cả điều kiện mà bạn đã đưa ra. 

Ví dụ:

Giải phương trình ∣2x−4∣=6

1. Tách trường hợp:

Trường hợp 1: 2x−4=6

Trường hợp 2: 2x−4=−6

2. Giải từng trường hợp:

Với trường hợp 1:
2x−4=6
⇒2x=10
⇒x=5

Với trường hợp 2:
2x−4=−6
⇒2x=−2
⇒x=−1

3. Kiểm tra điều kiện:

Cả hai nghiệm x=5 và x=−1 đều không vi phạm điều kiện ban đầu.

4. Kết luận:

Nghiệm của phương trình là x=5 và x=−1.

Một số dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối có thể gây ra chút bối rối nhưng nếu bạn nắm bắt được các dạng toán thì sẽ dễ dàng giải được các bài toán khó. Dưới đây là một số dạng toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối và cách giải chúng.

a. Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng ∣A(x)∣=B(x), ta cần loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi A(x)≥0, ta có phương trình A(x)=B(x).

Trường hợp 2: Khi A(x)<0, ta có phương trình −A(x)=B(x).

b. Với phương trình dạng ∣A(x)∣=m (với m>0), ta có:

∣A(x)∣ = m ⇔ A(x) = m hoặc A(x) = −m

c. Đối với phương trình dạng |A(x)| = |B(x)|, ta cần xét:

|A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = B(x) hoặc A(x) = −B(x).

d. Khi gặp phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Lập bảng xét dấu: Xác định dấu của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phá dấu giá trị tuyệt đối: Dựa vào bảng xét dấu để chia phương trình thành các trường hợp tương ứng.

Giải và so sánh: Giải các phương trình trong từng trường hợp, sau đó so sánh với điều kiện để chọn ra nghiệm phù hợp.

Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sẽ giúp ta cải thiện kĩ năng giải các bài tập đại số, dưới đây là hai dạng bài tập cơ bản và nâng cao. 

Bài tập cơ bản

Bài 1:

∣x−5∣=3

Đây là bài tập đơn giản nhất, và nó chỉ đòi hỏi bạn phá vỡ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia thành hai trường hợp:

x−5=3 ⇔ x=8,

x−5=−3 ⇔ x=2.

Vậy là, bài toán này cho ta hai nghiệm: x=8 hoặc x=2. 

Bài 2:

∣2x+1∣=7

Tương tự như bài trước, bạn chỉ cần chia nhỏ phương trình thành hai trường hợp:

2x+1=7 ⇔ x=3,

2x+1=−7 ⇔ x=−4.

Vậy là, phương trình này cũng cho hai nghiệm: x=3 và x=−4.

Bài 3: Giải phương trình ∣2x−5∣=3

Ở đây, bạn lại có hai trường hợp. Nếu 2x−5≥0:

2x−5=3  ⟹  2x=8  ⟹  x=4.

Còn khi 2x−5<0:

−(2x−5)=3  ⟹  −2x+5=3  ⟹  −2x=−2  ⟹  x=1.

Vậy nghiệm cho bài này là x=4 và x=1.

Bài tập nâng cao

Bài 4:

∣x−2∣+∣x+3∣=7

Xác định các mốc quan trọng của x, đó là x=2 và x=−3, vì ở hai điểm này giá trị tuyệt đối sẽ thay đổi. Chúng ta chia thành ba trường hợp:

Trường hợp 1: x<−3: Lúc này, cả hai biểu thức x−2 và x+3 đều âm, nên:
−(x−2)−(x+3)=7
Giải phương trình này sẽ không cho nghiệm phù hợp.

Trường hợp 2: −3≤x≤2: Biểu thức x−2 là âm và x+3 là dương, ta có:
−(x−2)+(x+3)=7
Giải phương trình này ra, ta có nghiệm x=−1.

Trường hợp 3: x>2: Lúc này, cả hai biểu thức x−2 và x+3 đều dương, nên:
(x−2)+(x+3)=7
Giải phương trình này, ta có nghiệm x=3.

Vậy, nghiệm của bài toán này là x=−1 và x=3.

Bài 5:

∣$x^2$−4∣=5

Để giải bài này, bạn cũng chia thành hai trường hợp:

Trường hợp 1: $x^2$−4=5 ⇔ $x^2$=9, từ đó ta có x=3 hoặc x=−3.

Trường hợp 2: $x^2$−4=−5 ⇔ $x^2$=−1, nhưng điều này vô lý vì không có số thực nào có bình phương âm. Vậy trường hợp này vô nghiệm.

Vậy, nghiệm của bài toán là x=3 và x=−3.

Bài 6: Giải phương trình ∣$x^2$−1∣=3
Để giải, chúng ta sẽ xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi $x^2$−1≥0:
$x^2$−1=3  ⟹ $x^2$=4  ⟹  x=2 hoặc x=−2.

Trường hợp 2: Khi $x^2$−1<0:
−($x^2$−1)=3  ⟹  −$x^2$+1=3  ⟹  −$x^2$=2 (vô lý)

Nghiệm cho bài này là x=2 và x=−2.

Xem thêm:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Phương trình bậc nhất 1 ẩn

Kết luận

Như vậy, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một phương pháp toán học hữu ích giúp chúng ta đơn giản hóa và giải quyết các bài toán phức tạp. Từ việc xác định khoảng cách cho đến việc phân tích các phương trình, nó giúp ta có cái nhìn rõ ràng hơn về các số và hàm số. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức và bài tập vừa được trình bày, bạn sẽ cảm thấy tự tin hơn trong việc làm quen và vận dụng giá trị tuyệt đối trong toán học.