3 đường Conic: Phân biệt Elip, Hypebol và Parabol dễ hiểu

Đường Conic là gì?

Đường Conic là một tập hợp các đường cong được tạo ra bằng cách cho một mặt phẳng cắt một hình nón. Tùy thuộc vào góc cắt của mặt phẳng ta sẽ thu được các loại đường conic khác nhau.

Phân loại 3 đường Conic

Định nghĩa thống nhất qua tâm sai

Các đường Conic được định nghĩa thống nhất dựa trên khoảng cách: Đường Conic là tập hợp các điểm M sao cho tỉ số giữa khoảng cách từ M đến một điểm cố định F (tiêu điểm) và khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định $∆$ (đường chuẩn) là một hằng số e không đổi. Hằng số e này gọi là tâm sai.

$\frac{M F}{d(M ; \Delta)}=e$

Nếu $\mathrm{e}<1$ : Đường đó là Elip.

Nếu $\mathrm{e}=1$ : Đường đó là Parabol.

Nếu $\mathrm{e}>1$ : Đường đó là Hyperbol.

Đường Elip là gì?

Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ (tiêu điểm) là một hằng số (bằng 2a).

$M F_1+M F_2=2 \mathrm{a}$

Xét phương trình chính tắc của Elip trong hệ trục tọa độ Oxy :

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$$

Các thành phần quan trọng bao gồm:

- Bán trục lớn: a

- Bán trục nhỏ: b

- Tiêu cư: $\mathrm{c}=\sqrt{a^2-b^2}$

- 2 tiêu điểm: $F_1(-\mathrm{c} ; 0), F_2(\mathrm{c} ; 0)$

- Đỉnh trên trục lớn: $A_1(-\mathrm{a} ; 0), A_2(\mathrm{a} ; 0)$

- Đinh trên trục nhỏ: $B_1(0 ;-\mathrm{b}), B_2(0 ; \mathrm{b})$

- Tâm sai: $\mathrm{e}=\frac{c}{a}<1$

- Bán kính qua tiêu: $r_1=\mathrm{a}+\mathrm{ex}, r_2=\mathrm{a}-\mathrm{ex}$

Đặc điểm nhận biết hình Elip:

- Hình oval (bầu dục) khép kín

- Đối xứng qua tâm O

- Đối xứng qua các trục Ox và Oy

- Nằm trong hình chữ nhật có các đỉnh ( $\pm \mathrm{a} ; \pm \mathrm{b}$ )

Đường Hypebol là gì?

Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ (tiêu điểm) là một hằng số dương (bằng 2a).

$\left|M F_1-M F_2\right|=2 \mathrm{a}$

Xét phương trình chính tắc của Hypebol trong hệ trục tọa độ Oxy :

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$$

Các thành phần quan trọng bao gồm:

- Bán trục thực: a

- Bán trục ảo: b

- Tiêu cư: $\mathrm{c}=\sqrt{a^2+b^2}$

- 2 tiêu điểm: $F_1(-\mathrm{c} ; 0), F_2(\mathrm{c} ; 0)$

- Đinh: $A_1(-\mathrm{a} ; 0), A_2(\mathrm{a} ; 0)$

- Tâm sai: $\mathrm{e}=\frac{c}{a}>1$

- Đường tiệm cận: $\mathrm{y}= \pm \frac{b}{a} \mathrm{x}$

- Bán kính qua tiêu: $r_1=|\mathrm{a}+\mathrm{ex}|, r_2=|\mathrm{a}-\mathrm{ex}|$

Đặc điểm nhận biết hình Hypebol:

- Gồm hai nhánh đối xứng

- Đối xứng qua tâm O , trục Ox , trục Oy

- Tiến dần đến đường tiệm cận nhưng không cắt

- Mỗi nhánh nằm trong một góc tạo bởi hai đường tiệm cận

Đường Parabol là gì?

Parabol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định F (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định △ (đường chuẩn) không đi qua F .

$M F=\mathrm{d}(\mathrm{M} ; \triangle)$

Xét phương trình chính tắc của Parabol trong hệ trục tọa độ Oxy :

$$y^2=2 p x(p>0)$$

Các thành phần quan trọng bao gồm:

- Tham số: p (là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn)

- 1 tiêu điểm: $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$

- Đường chuẩn: $\mathrm{x}=-\frac{p}{2}$

- Đinh: Gốc tọa độ $\mathrm{O}(0 ; 0)$

- Trục đối xứng: Trục hoành Ox (đường thẳng $\mathrm{y}=0$ )

- Tâm sai: $\mathrm{e}=1$

- Bán kính qua tiêu: $\mathrm{r}=\mathrm{MF}=\mathrm{x}+\frac{p}{2}$

Đặc điểm nhận biết hình Parabol:

- Một đường cong mở kéo dài vô tận

- Đối xứng qua trục Ox

- Đinh Parabol đi qua tọa độ O

- Đi càng xa đường Parabol càng rộng

Bảng tóm tắt công thức 3 đường Conic quan trọng

Luyện tập 3 đường Conic trong mặt phẳng tọa độ

Để củng cố kiến thức về các đường Ellipse, Hyperbola và Parabola, phần luyện tập dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững các phương trình chính tắc và kỹ năng giải quyết các bài toán tọa độ liên quan.

Dạng bài 1: Elip

Ví dụ: Cho elip (E) có phương trình: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Hãy xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ tiêu điểm và tính tâm sai.

Lời giải

Từ phương trình chính tắc của elip (E), ta có:
- $a^2=100 \rightarrow \mathrm{a}=10$ (độ dài bán trục lớn)
- $b^2=64 \rightarrow \mathrm{~b}=8$ (độ dài bán trục nhỏ)

Áp dụng công thức tiêu cực: $\mathrm{c}=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36}=6$
→ Tọạ độ các đỉnh:
Đỉnh trên trục lớn: $A_1(-10 ; 0), A_2(10 ; 0)$
Đỉnh trên trục nhỏ: $B_1(0 ;-8), B_2(0 ; 8)$
→ Toạ độ tiêu điểm: $F_1(-6 ; 0), F_2(6 ; 0)$
→ Tâm sai: $\mathrm{e}=\frac{c}{a}=0,6$

Bài tập 1: Elip (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$. Tìm tọa độ đỉnh nằm trên trục lớn?

Bài tập 2: $\operatorname{Elip}(\mathrm{E}): \frac{x^2}{4}+4 y^2=1$. Tính tiêu điểm của (E)?

Bài tập 3: Elip (E) có độ dài trục lớn $=2 \sqrt{5}$ và tiêu cự $=2$. Viết phương trình chính tắc của ( E )?

Bài tập 4: Elip (E): $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $\Delta: 3 x+4 y-12=0$ tại hai điểm $P$, Q . Tính độ dài đoạn thẳng PQ ?

Bài tập 5: Elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ cắt đường tròn $x^2+y^2=a^2+b^2-16$ tại bao nhiêu điểm?

Dạng bài 2: Hyperbol

Ví dụ: Cho hypebol $(\mathrm{H})$ có phương trình: $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. Hãy xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ tiêu điểm và phương trình các đường tiệm cận của (H).

Lời giải

Từ phương trình chính tắc của hypebol $(\mathrm{H})$, ta có:
- $a^2=144 \rightarrow \mathrm{a}=12$
- $b^2=25 \rightarrow \mathrm{~b}=5$

Áp dựng công thức tiêu cực: $\mathrm{c}=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{169}=13$
→ Tọa độ các đỉnh: $A_1(-12 ; 0), A_2(12 ; 0)$
→ Toạ độ tiêu điểm: $F_1(-13 ; 0), F_2(13 ; 0)$
Ta có, phương trình đường tiệm cận: $\mathrm{y}= \pm \frac{b}{a} \mathrm{x}$
$\rightarrow \mathrm{y}= \pm \frac{5}{12} \mathrm{x}$

Bài tập 1: Hypebol $(\mathrm{H}): 9 x^2-y^2=1$. Tính khoảng cách giữa hai tiêu điểm?

Bài tập 2: $\operatorname{Hypebol}(\mathrm{H})$ có nửa trục thực $=4$, tiêu cự $=10$. Viết phương trình chính tắc hypebol $(\mathrm{H})$ ?

Bài tập 3: Hypebol $(\mathrm{H}): \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. Gọi M là một điểm thuộc nhánh bên phải của (H). Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M đến tiêu điểm bên trái $F_1$.

Bài tập 4: Tìm số giao điểm của hypebol $(\mathrm{H}): \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{11}=1$ và đường tròn $\mathrm{C}: x^2+y^2 =25$

Bài tập 5: Cho hypebol $(\mathrm{H})$ có phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{m^2-4 m+13}-\frac{y^2}{16}=1$. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trên (H). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{P}=\mid \mathrm{M} F_1-\mathrm{M} F_2 \mid$ bằng bao nhiêu?

Dạng bài 3: Parabol

Ví dụ: Cho parabol $(\mathrm{P})$ có phương trình chính tắc: $y^2=12 \mathrm{x}$. Hãy xác định tham số tiêu p , tọa độ tiêu điểm F và viết phương trình đường chuẩn △ của parabol đó.

Lời giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng: $y^2=2 \mathrm{px}$

$\rightarrow 12 x=2 p x \rightarrow p=6$

Tọa độ tiêu điểm của parabol được tính bằng công thức: $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right) \rightarrow \mathrm{F}(3 ; 0)$

Phương trình đường chuẩn △ có dạng: $\mathrm{x}=-\frac{p}{2} \rightarrow \mathrm{x}=-3$

Bài tập 1: Cho parabol $(\mathrm{P})$ có tiêu điểm $\mathrm{F}(3 ; 0)$. Phương trình đường chuẩn của $(\mathrm{P})$ là:

Bài tập 2: Cho parabol (P): $y^2=8 \mathrm{x}$. Tìm tọa độ điểm thuộc (P) và nằm ở góc phần tư thứ nhất?

Bài tập 3: Tìm số điểm chung của parabol (P): $y^2=2 \mathrm{x}$ và đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{x}-\mathrm{y}+4=$ 0?

Bài tập 4: Cho parabol (P): $y^2=2 \mathrm{px}$ với $\mathrm{p}>0$. Điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 3 và khoảng cách từ S đến tiêu điểm F bằng 5 . Tìm tham số tiêu p ?

Bài tập 5: Tìm tham số tiêu p để đường chuẩn của parabol (P): $y^2=2 \mathrm{px}$ cách điểm $A(p ; 2026)$ một khoảng bằng 9 đơn vị độ dài.

Hy vọng qua bài viết này, đội ngũ Gia sư Học là Giỏi đã giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các dạng bài tập về 3 đường Conic. Nếu bạn vẫn còn những "nút thắt" cần gỡ rối hay muốn tìm kiếm một lộ trình học toán thú vị. Bạn hãy tham khảo Khóa học Toán lớp 10 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi, chúng tôi cam kết đồng hành cùng bạn chinh phục môn Toán một cách dễ dàng nhất!