Tổng ba góc của một tam giác: Định lý, ví dụ và bài tập

Tổng ba góc của một tam giác

Tổng ba góc của một tam giác bằng $180^{\circ}$.

$\triangle\text{ABC} \rightarrow \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}.$

Áp dụng vào tam giác vuông

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

$\triangle\text{ABC}$ có $\widehat{A} = 90^{\circ} \rightarrow \widehat{B} + \widehat{C} = 90^{\circ}.$

Góc ngoài của tam giác

Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác đó.

Góc ACx là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC.

Các góc A, B, C của tam giác ABC gọi là các góc trong.

Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tồng hai góc trong không kề với nó.

$\widehat{A C X}=\widehat{A}+\widehat{B}$

Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

$$\widehat{A C X}>\widehat{A} \text { và } \widehat{A C X}>\widehat{B} .$$

Các dạng bài tính tổng các góc trong tam giác

Dưới đây là các dạng bài tính tổng các góc trong tam giác thường gặp cùng phương pháp giải và ví dụ minh họa.

Tính số đo góc của một tam giác

Phương pháp giải: Lập các đẳng thức thể hiện:

- Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

- Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Từ đó, tính số đo góc cần tìm.

Ví dụ: Cho tam giác $\triangle \mathrm{ABC}$ có $\widehat{A}=48^{\circ}$ và $\widehat{B}=62^{\circ}$. Tính góc đo còn lại của tam giác?

Lời giải

Xét $\triangle \mathrm{ABC}$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\rightarrow 48^{\circ}+62^{\circ}+\widehat{C}=180^{\circ} \rightarrow 110^{\circ}+\widehat{C}=180^{\circ} \rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

Nhận biết tam giác vuông

Phương pháp giải: Để nhận biết một tam giác vuông, ta chỉ cần xác định tam giác đó có một góc bằng 90°. Trong tam giác vuông, hai góc nhọn có tổng số đo bằng 90°.

Ví dụ: Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=35^{\circ}, \widehat{N}=55^{\circ}$. Hỏi tam giác MNP có phải là tam giác vuông không?

Lời giải

Ta có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\rightarrow 35^{\circ}+55^{\circ}+\widehat{P}=180^{\circ} \rightarrow 90^{\circ}+\widehat{P}=180^{\circ} \rightarrow \widehat{P}=90^{\circ}$

Vậy nên, tam giác MNP là tam giác vuông tại P.

So sánh các góc của tam giác

Phương pháp giải: Áp dụng tính chất “Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó”.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có góc ngoài tại A là $\widehat{D}=120^{\circ}, \widehat{B}=50^{\circ}$. So sánh góc C với góc B.

Lời giải

Ta có: $\widehat{D}=\widehat{B}+\widehat{C} \rightarrow 120^{\circ}=50^{\circ}+\widehat{C} \rightarrow \widehat{C}=120^{\circ}-50^{\circ}=70^{\circ}$.

$$\rightarrow \widehat{C}>\widehat{B} .$$

Bài tập ứng dụng tổng 3 góc trong tam giác

Các bài tập ứng dụng tổng 3 góc trong tam giác giúp con củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng tính toán, suy luận hình học.

A. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng bao nhiêu?

A. 90°

B. 180°

C. 270°

D. 360°

Câu 2. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=50^{\circ}, \widehat{B}=60^{\circ}$. Số đo góc C là:
A. $60^\circ$

B. $70^\circ$

C. $80^\circ$

D. $90^\circ$

Câu 3. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=2 \mathrm{x}^{\circ}, \widehat{B}=3 \mathrm{x}^{\circ}, \widehat{C}=4 \mathrm{x}^{\circ}$. Số đo góc B là:
A. $40^\circ$

B. $50^\circ$

C. $60^\circ$

D. $70^\circ$

Câu 4. Tam giác ABC có góc A lớn hơn góc B 20°, góc C lớn hơn góc B 10°. Số đo góc B là:

A. 40°

B. 45°

C. 50°

D. 55°

Câu 5. Một tam giác có ba góc lần lượt tỉ lệ với 2:3:4. Góc lớn nhất của tam giác bằng:

A. 60°

B. 70°

C. 80°

D. 90°

Câu 6. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A chia góc A thành hai góc bằng nhau. Biết một trong hai góc đó bằng 25° và góc B bằng 65°. Góc C bằng:

A. 55°

B. 60°

C. 65°

D. 70°

Câu 7. Một tam giác có góc lớn nhất bằng 2 lần góc nhỏ nhất. Góc còn lại lớn hơn góc nhỏ nhất 20°. Góc lớn nhất bằng:

A. 70°

B. 75°

C. 80°

D. 90°

Câu 7. Cho tam giác ABC, biết: $\widehat{A}=3 \mathrm{x}-5^{\circ}, \widehat{B}=2 \mathrm{x}+15^{\circ}, \widehat{C}=\mathrm{x}+20^{\circ}$.
Nếu tăng góc A thêm 10° và giảm góc B đi 5°, góc C cần thay đổi bao nhiêu để ba góc vẫn tạo thành một tam giác?

$\text{A. Giảm } 5^\circ$

$\text{B. Giảm } 10^\circ$

$\text{C. Tăng } 5^\circ$

$\text{D. Tăng } 10^\circ$

Câu 8. Cho tam giác ABC. Tia AD nằm trong góc A và chia góc A thành hai góc có số đo lần lượt là $\mathrm{x}^{\circ}$ và $(\mathrm{x}+20)^{\circ}$. Biết $\widehat{B}=2 \mathrm{x}^{\circ}$ và $\widehat{C}=40^{\circ}$. Số đo góc lớn hơn do tia AD tạo ra là:

$\text{A. } 30^\circ$

$\text{B. } 40^\circ$

$\text{C. } 50^\circ$

$\text{D. } 60^\circ$

Câu 9. Cho tam giác ABC , biết $\mathrm{A}=50^{\circ}$. Tia AD nằm trong góc A , với $\widehat{B A D}=20^{\circ}$. Biết góc tạo bởi AD và AC bằng tồng của góc $\widehat{B}$ và 10°. Góc C bằng:

$\text{A. } 40^\circ$

$\text{B. } 50^\circ$

$\text{C. } 60^\circ$

$\text{D. } 70^\circ$

Câu 10. Cho tam giác ABC. Một tia AD nằm trong góc A sao cho: $\widehat{B A D}=\widehat{2 D A C}$. Biết $\widehat{B}=50^{\circ}$ và $\widehat{C}=70^{\circ}$. Số đo góc $\widehat{B A D}$ là:

$\text{A. } 30^{\circ}$

$\text{B. } 40^{\circ}$

$\text{C. } 50^{\circ}$

$\text{D. } 60^{\circ}$

Câu 11. Cho tam giác ABC. Góc A được chia thành hai phần có số đo lần lượt là 20° và 40°. Góc B được chia thành hai phần bằng nhau. Biết mỗi phần của góc B bằng một trong hai phần của góc A. Góc C bằng:

A. 40°

B. 60°

C. 80°

D. 100°

Câu 12. Cho tam giác ABC . Tia AD nằm trong góc A sao cho: $\widehat{B A D}=21 \widehat{A}$. Biết $\widehat{D A C}$ lớn hơn $\widehat{B} 10^{\circ}$, còn $\widehat{C}$ lớn hơn $\widehat{B} 20^{\circ}$. Số đo góc B là:

A. $25^\circ$

B. $30^\circ$

C. $35^\circ$

D. $40^\circ$

B. Phần tự luận

Bài 1: Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=70^{\circ}$ và $\widehat{N}=45^{\circ}$. Tính số đo góc P .

Bài 2: Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng $50^{\circ}$, số đo góc B bằng $60^{\circ}$.

a) Tính số đo góc C .

b) Cho biết tam giác ABC là tam giác nhọn, tam giác vuông hay tam giác tù.

Bài 3: Cho tam giác ABC , biết $\widehat{A}-\widehat{B}=18^{\circ}$ và $\widehat{B}-\widehat{C}=18^{\circ}$.

Bài 4: Tính các góc của tam giác MNP biết:

a) $\frac{M}{3} = \frac{N}{4} = \frac{P}{5}$

b) $M = 2N = 6P$

Bài 5: Cho tam giác MNP , tia phân giác MQ của góc M cắt NP tại Q . Tính góc MQN biết $\widehat{N}-\widehat{P}=40^{\circ}$.

Bài 6: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ biết: $\mathrm{A}: \mathrm{B}: \mathrm{C}=1: 3: 5$.

$\text{a) Tính các góc của tam giác ABC.}$

$\text{b) Tia phân giác ngoài tại D cắt AC tại E. Tính } \widehat{AED}.$

Bài 7: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ nhọn có trực tâm H. Gọi $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ lần lượt là chân đường cao từ $\mathrm{B}, \mathrm{C}$. Chứng minh rằng hai góc $\widehat{D H E}$ và $\widehat{B A C}$ bù nhau.

Bài 8: Cho góc xOy , điểm M thuộc tia Ox . Kẻ MN vuông góc với $\mathrm{Ox}(\mathrm{N} \in \mathrm{Oy}), \mathrm{NP}$ vuông góc với $\mathrm{Oy}(\mathrm{P} \in \mathrm{Ox}), \mathrm{PQ}$ vuông góc với $\mathrm{Ox}(\mathrm{Q} \in \mathrm{Oy})$. Chứng minh: $\widehat{M N O}=$ $\widehat{Q P O}$ và $\widehat{M P O}=\widehat{Q N O}$.

Bài 9: Cho tam giác MNP vuông tại M . Kẻ MQ vuông góc với NP tại Q . Vẽ My là tia đối của tia MP. Chứng minh:

a) $\widehat{N M Q} = \widehat{P}$

b) $\widehat{y M Q}$ và $\widehat{N}$ bù nhau.

Bài 10: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}$. Vẽ tia phân giác AD.

a) Chứng minh $\widehat{ADC} - \widehat{ADB} = \widehat{B} - \widehat{C}$.

b) Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài đỉnh A của tam giác ABC, cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng $\widehat{AEC} = \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2}$.

Bài 11: Cho tam giác MNP điểm O nằm trong tam giác.

a) Chứng minh rằng $\widehat{NOP} = \widehat{M} + \widehat{OMN} + \widehat{OPN}$.

b) Biết $\widehat{OMN} + \widehat{OPN} = 90^{\circ} - \frac{\widehat{M}}{2}$ và tia NO là tia phân giác của góc N. Chứng minh rằng tia PO là tia phân giác của góc P.

Bài 12: Cho tam giác ABC, tia AD là tia phân giác của $\widehat{A}$. Biết $\widehat{B A D}=35^{\circ}$ và $\widehat{B}$ lớn hơn $\widehat{C} 20^{\circ}$. Tính số đo ba góc của tam giác ABC .

Hy vọng phần tổng hợp trên đã giúp học sinh nắm được kiến thức trọng tâm về tổng ba góc của một tam giác và biết cách vận dụng để tìm số đo các góc trong bài toán. Nếu cần hệ thống lại kiến thức và luyện tập Toán 7 một cách có phương pháp, khóa học Toán lớp 7 của Học là Giỏi sẽ là nguồn học tập hữu ích dành cho con.